14. （12分）如图，在菱形ABCD中，AB = 2，∠DAB = 60°，E是边AD的中点，M是边AB上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD、AN.
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形.
（2）当AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由.
　　　　

(1) 在$\triangle AEM$和$\triangle DEN$中，$\begin{cases}\angle NDE=\angle MAE,\\\angle NED=\angle MEA,\\DE = AE,\end{cases}$ $\therefore\triangle DEN\cong\triangle AEM$。$\therefore$ 四边形$AMDN$是平行四边形 (2) $AM = 1$，理由略

15. （16分）△ABC是等边三角形，D是射线BC上的一个动点（点D与点B、C不重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE.
（1）如图①，当点D在线段BC上时，解答下列问题.
① 求证：△AEB≌△ADC；
② 探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形，并说明理由.
（2）如图②，当点D在BC的延长线上时，（1）中的两个结论是否成立？
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由.
　

(1) ① $\because\triangle ABC$和$\triangle ADE$是等边三角形，$\therefore AB = AC$，$AE = AD$，$\angle DAE=\angle BAC = 60^{\circ}$。$\therefore\angle DAE-\angle BAD=\angle BAC-\angle BAD$，即$\angle BAE=\angle CAD$。$\therefore\triangle AEB\cong\triangle ADC(SAS)$ ② 四边形$BCGE$是平行四边形。理由如下：由①，得$\triangle AEB\cong\triangle ADC$。$\therefore\angle ABE=\angle C = 60^{\circ}$。 又$\angle BAC=\angle C = 60^{\circ}$，$\therefore\angle ABE=\angle BAC$。$\therefore BE// AC$。又$EF// BC$，$\therefore$ 四边形$BCGE$是平行四边形 (2)(1)中的结论仍成立 (3)当$CD = CB$时，四边形$BCGE$是菱形，理由如下：由$\triangle AEB\cong\triangle ADC$，得$BE = CD$。又$CD = CB$，$\therefore BE = CB$。又知四边形$BCGE$是平行四边形，$\therefore$ 四边形$BCGE$是菱形