例 1 找出下列多项式各项的公因式.
(1) $ ma + mb + mc $； (2) $ 8x^{2}yz^{3} - 12x^{3}y^{2}z^{2} $；
(3) $ 5(x - y) + 15y(x - y) $； (4) $ 3(a - b) + 6(b - a)^{2} $.

解：
(1) 多项式$ma + mb + mc$各项的系数的最大公约数是1，相同字母为$m$，且$m$的最低次数是1，
所以公因式是$m$。
(2) 多项式$8x^{2}yz^{3} - 12x^{3}y^{2}z^{2}$各项的系数的最大公约数是4，相同字母为$x$、$y$、$z$，其中$x$的最低次数是2，$y$的最低次数是1，$z$的最低次数是2，
所以公因式是$4x^{2}yz^{2}$。
(3) 多项式$5(x - y) + 15y(x - y)$各项的系数的最大公约数是5，相同的多项式因式为$(x-y)$，且$(x-y)$的最低次数是1，
所以公因式是$5(x - y)$。
(4) 因为$(b - a)^{2}=(a - b)^{2}$，所以原式可化为$3(a - b) + 6(a - b)^{2}$，
各项的系数的最大公约数是3，相同的多项式因式为$(a-b)$，且$(a-b)$的最低次数是1，
所以公因式是$3(a - b)$。

例 2 把下列各式分解因式：
(1) $ 15m^{3}n^{2} + 5m^{2}n - 20m^{2}n^{3} $； (2) $ 4(2y - x) + 25(x - 2y)^{2} $.

解：
(1) $15m^{3}n^{2} + 5m^{2}n - 20m^{2}n^{3}$
$=5m^{2}n · 3mn + 5m^{2}n · 1 - 5m^{2}n · 4n^{2}$
$=5m^{2}n(3mn + 1 - 4n^{2})$
(2) $4(2y - x) + 25(x - 2y)^{2}$
$=4(2y - x) + 25(2y - x)^{2}$
$=(2y - x)[4 + 25(2y - x)]$
$=(2y - x)(4 + 50y - 25x)$

1. 多项式$ - 6a^{2}b + 18a^{2}b^{3}x + 24ab^{2}y $的公因式是 ()

A.$ 2ab $
B.$ - 6ab $
C.$ - 6a^{2}b $
D.$ - 6ab^{2} $

B

1. 确定系数：各项系数-6、18、24的最大公约数是6，因多项式首项为负，公因式系数取-6；2. 确定字母：各项都含有的相同字母为a、b；3. 确定字母指数：a的最低次数是1，b的最低次数是1；综上，公因式为-6ab。

2. 已知$ xy = - 3 $，$ x + y = 2 $，则代数式$ x^{2}y + xy^{2} $的值是 ()

A.$ - 6 $
B.$ 6 $
C.$ - 5 $
D.$ - 1 $

A

先对代数式$x^{2}y + xy^{2}$提取公因式$xy$，得$xy(x+y)$；将$xy = - 3$，$x + y = 2$代入，计算得$(-3)×2=-6$。

二、填空题
3. 多项式$ 3x - 9 $，$ x^{2} - 9 $与$ x^{2} - 6x + 9 $的公因式为.

解：
$3x - 9 = 3(x - 3)$
$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
所以多项式$3x - 9$，$x^2 - 9$与$x^2 - 6x + 9$的公因式为$x - 3$。

4. $ (-2)^{100} + (-2)^{101} = $.

$-2^{100}$

利用提公因式法，提取公因式$(-2)^{100}$：
原式$=(-2)^{100} + (-2)^{100}×(-2)=(-2)^{100}×(1-2)=2^{100}×(-1)=-2^{100}$