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一、选择题
1. 下列从左到右的变形属于因式分解的是()
A. $ a(x + y)=ax + ay $
B. $ x^{2}-1=(x + 1)(x - 1) $
C. $ (2a + b)(2a - b)=4a^{2}-b^{2} $
D. $ x^{2}+2x + 1=x(x + 2)+1 $
1. 下列从左到右的变形属于因式分解的是()
A. $ a(x + y)=ax + ay $
B. $ x^{2}-1=(x + 1)(x - 1) $
C. $ (2a + b)(2a - b)=4a^{2}-b^{2} $
D. $ x^{2}+2x + 1=x(x + 2)+1 $
答案
解：
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：$a(x + y)=ax + ay$，是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解；
选项B：$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，将多项式$x^2-1$转化为两个整式$(x+1)$与$(x-1)$的乘积形式，属于因式分解；
选项C：$(2a + b)(2a - b)=4a^{2}-b^{2}$，是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解；
选项D：$x^{2}+2x + 1=x(x + 2)+1$，右边不是整式的乘积形式，不属于因式分解。
综上，答案选B。
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：$a(x + y)=ax + ay$，是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解；
选项B：$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，将多项式$x^2-1$转化为两个整式$(x+1)$与$(x-1)$的乘积形式，属于因式分解；
选项C：$(2a + b)(2a - b)=4a^{2}-b^{2}$，是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解；
选项D：$x^{2}+2x + 1=x(x + 2)+1$，右边不是整式的乘积形式，不属于因式分解。
综上，答案选B。
2. 对于① $ x - xy = x(1 - y) $；② $ (x + 2)(x - 5)=x^{2}-3x - 10 $，从左到右的变形，表述正确的是()
A.①②都是因式分解
B.①②都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
A.①②都是因式分解
B.①②都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
答案
C
解析
根据因式分解的定义，将多项式化为几个整式积的形式的变形是因式分解，将整式的积化为多项式的变形是乘法运算。①左边是多项式，右边是整式的积，属于因式分解；②左边是整式的积，右边是多项式，属于乘法运算。故①是因式分解，②是乘法运算。
二、填空题
3. 在式子的左边和右边的括号中各填入一个化简后的整式，使这个式子的左边和右边相等：（ ）=（ ）$ (x - 3) $.
3. 在式子的左边和右边的括号中各填入一个化简后的整式，使这个式子的左边和右边相等：（ ）=（ ）$ (x - 3) $.
答案
解：
设右边括号内填整式$ x $，
计算得左边括号内为$ x(x-3)=x^2 - 3x $，
则完整式子为：$\boldsymbol{(x^2 - 3x) = (x)(x - 3)}$
（注：答案不唯一，例如也可填$(2x - 6) = (2)(x - 3)$等，只要满足整式乘法与因式分解的互逆关系即可）
设右边括号内填整式$ x $，
计算得左边括号内为$ x(x-3)=x^2 - 3x $，
则完整式子为：$\boldsymbol{(x^2 - 3x) = (x)(x - 3)}$
（注：答案不唯一，例如也可填$(2x - 6) = (2)(x - 3)$等，只要满足整式乘法与因式分解的互逆关系即可）
4. 已知多项式 $ a^{2}+2a + k $可以分解为$ (a + 5) $与$ (a - 3) $的乘积，则 $ k $的值为.
答案
-15
解析
根据因式分解与整式乘法互为逆运算，计算$(a + 5)(a - 3)$，展开得$a^2 - 3a + 5a - 15 = a^2 + 2a - 15$，对比$a^2 + 2a + k$，可得$k = -15$。
三、解答题
5. 写出两个整式 $ A $与 $ B $，使得 $ A = B(x - 2) $.
5. 写出两个整式 $ A $与 $ B $，使得 $ A = B(x - 2) $.
答案
解：
取整式 $ B = x $，
则 $ A = x(x - 2) = x^2 - 2x $；
取整式 $ B = 2 $，
则 $ A = 2(x - 2) = 2x - 4 $。
（答案不唯一，符合条件即可）
取整式 $ B = x $，
则 $ A = x(x - 2) = x^2 - 2x $；
取整式 $ B = 2 $，
则 $ A = 2(x - 2) = 2x - 4 $。
（答案不唯一，符合条件即可）
6. $ \frac{1}{3}×61+\frac{1}{3}×22-\frac{1}{3}×17 $能被 11 整除吗？
答案
解：
$\frac{1}{3}×61+\frac{1}{3}×22-\frac{1}{3}×17$
$=\frac{1}{3}×(61+22-17)$
$=\frac{1}{3}×66$
$=22$
$22÷11=2$
所以$\frac{1}{3}×61+\frac{1}{3}×22-\frac{1}{3}×17$能被11整除。
$\frac{1}{3}×61+\frac{1}{3}×22-\frac{1}{3}×17$
$=\frac{1}{3}×(61+22-17)$
$=\frac{1}{3}×66$
$=22$
$22÷11=2$
所以$\frac{1}{3}×61+\frac{1}{3}×22-\frac{1}{3}×17$能被11整除。
7. 如图，有 4 块尺寸分别为 $ a× b $，$ 1× a $，$ 1× b $，$ 1×1 $的矩形卡纸.
(1) 能用这 4 块矩形卡纸拼成一个矩形吗？如果可以，画图表示拼法.
(2) 4 块卡纸的面积之和为 $ ab + a + b + 1 $，你能把这个多项式写成两个多项式乘积的形式吗？
(1) 能用这 4 块矩形卡纸拼成一个矩形吗？如果可以，画图表示拼法.
(2) 4 块卡纸的面积之和为 $ ab + a + b + 1 $，你能把这个多项式写成两个多项式乘积的形式吗？
答案
解：
(1) 可以拼成一个矩形，拼法：将四块矩形卡纸拼接成一个长为$(a+1)$、宽为$(b+1)$的矩形，拼接方式为：把$a×b$的矩形作为基础，在其上方拼接$1×a$的矩形，右侧拼接$1×b$的矩形，右上角拼接$1×1$的矩形。
(2) $ab + a + b + 1$
$=(ab + a) + (b + 1)$
$=a(b + 1) + (b + 1)$
$=(a + 1)(b + 1)$
(1) 可以拼成一个矩形，拼法：将四块矩形卡纸拼接成一个长为$(a+1)$、宽为$(b+1)$的矩形，拼接方式为：把$a×b$的矩形作为基础，在其上方拼接$1×a$的矩形，右侧拼接$1×b$的矩形，右上角拼接$1×1$的矩形。
(2) $ab + a + b + 1$
$=(ab + a) + (b + 1)$
$=a(b + 1) + (b + 1)$
$=(a + 1)(b + 1)$
