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工人师傅制作铝合金窗框分下列三个步骤进行:
(1) 先截出两对符合规格的铝合金窗料(图 8-9①),使 $ AB = CD $, $ EF = GH $;
(2) 将铝合金窗料摆放成如图 8-9②的四边形,这时窗框的形状是,依据是;
(3) 将直角尺靠紧窗框的一个角(图 8-9③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(图 8-9④),说明窗框合格,此时窗框是,依据是.
(1) 先截出两对符合规格的铝合金窗料(图 8-9①),使 $ AB = CD $, $ EF = GH $;
(2) 将铝合金窗料摆放成如图 8-9②的四边形,这时窗框的形状是,依据是;
(3) 将直角尺靠紧窗框的一个角(图 8-9③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(图 8-9④),说明窗框合格,此时窗框是,依据是.
答案
(2) 平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3) 矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(3) 矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例 如图 8-10,在$□ ABCD$中,点 $ E $, $ F $ 在 $ BC $ 上,且 $ BE = CF $, $ AF = DE $. 求证:
(1) $△ ABF≌△ DCE$;
(2) 四边形 $ ABCD $ 是矩形.
(1) $△ ABF≌△ DCE$;
(2) 四边形 $ ABCD $ 是矩形.
答案
(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD。∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE。在△ABF和△DCE中，AB=CD，BF=CE，AF=DE，∴△ABF≌△DCE（SSS）。
(2) 由(1)知△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C。∵AB//CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=90°。∵四边形ABCD是平行四边形，且有一个角是直角，∴四边形ABCD是矩形。
(2) 由(1)知△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C。∵AB//CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=90°。∵四边形ABCD是平行四边形，且有一个角是直角，∴四边形ABCD是矩形。
(1) 在$□ ABCD$中,$ AC $, $ BD $ 是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出$□ ABCD$是矩形,那么这个条件是().
A.$ AB = BC $
B.$ AC = BD $
C.$ AC⊥ BD $
D.$ AB⊥ BD $
A.$ AB = BC $
B.$ AC = BD $
C.$ AC⊥ BD $
D.$ AB⊥ BD $
答案
B
解析
矩形的判定方法之一是对角线相等的平行四边形是矩形。在平行四边形$ABCD$中，已知$AC$，$BD$是两条对角线，若$AC = BD$，满足对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理。
选项A中$AB = BC$，只能说明平行四边形有一组邻边相等，是菱形的判定条件；选项C中$AC⊥BD$，是菱形的判定条件；选项D中$AB⊥BD$，不能得出该平行四边形是矩形。
选项A中$AB = BC$，只能说明平行四边形有一组邻边相等，是菱形的判定条件；选项C中$AC⊥BD$，是菱形的判定条件；选项D中$AB⊥BD$，不能得出该平行四边形是矩形。
(2) 下列说法中,不正确的是().
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.有一组邻角相等的平行四边形是矩形
C.有一组对角互补的平行四边形是矩形
D.有三个角是直角的四边形是矩形
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.有一组邻角相等的平行四边形是矩形
C.有一组对角互补的平行四边形是矩形
D.有三个角是直角的四边形是矩形
答案
A
解析
A. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形，还可能是梯形或其它四边形，必须强调是平行四边形加上一个直角才能判定为矩形，所以该选项错误。
B. 平行四边形中，若一组邻角相等，根据平行四边形邻角互补的性质，可得出这组邻角都为90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以该选项正确。
C. 平行四边形的对角相等，若一组对角互补，也说明每一个角都是90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以该选项正确。
D .四边形中，有三个角是直角，根据四边形内角和为360°，则第四个角也是直角，四个角都是直角的四边形是矩形，所以该选项正确。
B. 平行四边形中，若一组邻角相等，根据平行四边形邻角互补的性质，可得出这组邻角都为90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以该选项正确。
C. 平行四边形的对角相等，若一组对角互补，也说明每一个角都是90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以该选项正确。
D .四边形中，有三个角是直角，根据四边形内角和为360°，则第四个角也是直角，四个角都是直角的四边形是矩形，所以该选项正确。
