3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC=2∠AOB。已知AC=1.8，求AB的长。

0.9

∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=1.8，OA=OC=OB=OD（矩形对角线相等且互相平分），
∴OA=OB=1/2AC=0.9。
∵∠BOC=2∠AOB，且∠AOB+∠BOC=180°（邻补角互补），
∴∠AOB+2∠AOB=180°，
解得∠AOB=60°。
∴△AOB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB=OA=0.9。

4. 如图，在矩形ABCD中，点E，F在边AB上，且AF=BE。求证：DE=CF。

DE=CF

∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠A=∠B=90°。∵AF=BE，∴AF+FE=BE+FE，即AE=BF。在△ADE和△BCF中，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF，∴△ADE≌△BCF(SAS)，∴DE=CF。

5. 如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD。求证：AD=2AB。

AD=2AB

∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD，AD=BC。设M为BC中点，令BM=MC=x，则BC=2x，AD=2x，设AB=CD=y。在Rt△ABM中，MA²=AB²+BM²=y²+x²；在Rt△DCM中，MD²=CD²+MC²=y²+x²，∴MA=MD。∵MA⊥MD，∴AD²=MA²+MD²，即(2x)²=2(y²+x²)，化简得4x²=2y²+2x²，∴x²=y²，x=y。故AD=2x=2y=2AB。

6. 如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步 先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图①；
第二步 延AE折叠，使点B落在折痕线MN上，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图②；
第三步 沿EB'折叠，折痕为EF，如图③；
第四步 将纸片展开，如图④。
回答下列问题：
(1) △AEF是什么三角形？证明你的结论。
(2) 对于任意一个矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？若能，请说明理由；若不能，请举反例。

(1) △AEF是等边三角形。
证明：设矩形ABCD中，AB=2c，对折后折痕MN为中位线，M为AB中点，AM=c。沿AE折叠B至MN上B'，则AB'=AB=2c。在Rt△AMB'中，AM=c，AB'=2c，故∠B'AM=60°，∠BAE=∠B'AE=30°。设AD为矩形的长，E在BC上，在Rt△ABE中，∠BAE=30°，则AE=AB/cos30°=4c/√3。沿EB'折叠得F在AD上，由折叠性质及坐标计算得AF=AE=4c/√3，且∠EAF=60°，故△AEF是等边三角形。
(2) 不能。反例：正方形（或长小于(2√3/3)宽的矩形）。当矩形长小于AF（4c/√3）时，F点落在AD延长线上，无法折出。