1. 下列说法错误的是()

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

D

A选项：根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，该说法正确。
B选项：根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该说法正确。
C选项：根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该说法正确。
D选项：一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，比如等腰梯形，该说法错误。

2. 依据所标数据判断，下列四边形一定为平行四边形的是()

A.
B.
C.
D.

B

选项A中，四边形内角和为360°，第四个角为360°-100°-80°-110°=70°，四个角分别为100°、80°、110°、70°，两组对角不相等，不是平行四边形；选项B中，四边均为2，即两组对边分别相等，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，是平行四边形；选项C中，仅知一组邻角互补（110°+70°=180°）和一条边，无法确定两组对边平行或相等，不是平行四边形；选项D中，虽有两个角和两条边，但未明确对边相等或两组对角相等，无法判定为平行四边形。

3. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中 $∠ ABC = 90^{\circ}$，$∠ CAB = 60^{\circ}$，$AB = 8$，点 $A$ 对应直尺的刻度为 $12$. 将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得 $△ ABC$ 移动到 $△ A'B'C'$，点 $A'$ 对应直尺的刻度为 $0$，则四边形 $ACC'A'$ 的面积是()

A.$96$

B.$96\sqrt{3}$
C.$192$
D.$160\sqrt{3}$

A

由平移性质知，AA'=12（直尺刻度差），且AA'//CC'，故四边形ACC'A'为平行四边形。在Rt△ABC中，∠CAB=60°，AB=8，∠ABC=90°，则AB⊥BC。平移过程中，AB方向不变，AA'为平移方向（沿直尺），故平行四边形ACC'A'的高为AB的长度8。面积=底×高=AA'×AB=12×8=96。

4. 在四边形 $ABCD$ 中，若 $∠ A+∠ B = 180^{\circ}$，$BC = 6\mathrm{cm}$，则当 $AD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$ 时，四边形 $ABCD$ 是平行四边形.

6

因为∠A + ∠B = 180°，所以AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。当AD = BC时，四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。已知BC = 6cm，所以AD = 6cm。

5. 如图，已知点 $E$，$F$ 在四边形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 所在的直线上，且 $BE = DF$，$AE// CF$，请再添加一个条件(不要在图中再增加其他线段和字母)，使四边形 $ABCD$ 是平行四边形. 你所添加的条件是.

AE=CF

添加条件 AE=CF。
∵AE//CF，∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）。
∵BE=DF，AE=CF，∴△AEB≌△CFD（SAS）。
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF。
∵∠ABE+∠ABD=180°，∠CDF+∠CDB=180°，∴∠ABD=∠CDB（等角的补角相等）。
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
∵AB//CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

6. 已知平面直角坐标系内有四个点 $O(0,0)$，$A(3,0)$，$B(1,1)$，$C(x,1)$，若以 $O$，$A$，$B$，$C$ 为顶点的四边形是平行四边形，则 $x=$.

4或-2

分情况讨论：
1. 当OA和BC为对边时，OA平行且等于BC。OA长度为3，B(1,1)，C(x,1)，则|x-1|=3，解得x=4或x=-2。
2. 验证对角线互相平分：
若对角线为OC和AB，OC中点为(x/2, 0.5)，AB中点为(2, 0.5)，则x/2=2，得x=4。
若对角线为OB和AC，OB中点为(0.5, 0.5)，AC中点为((3+x)/2, 0.5)，则(3+x)/2=0.5，得x=-2。
综上，x=4或-2。

7. 如图，在 $3×3$ 的正方形网格中，以线段 $AB$ 为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画个.

3

在3×3正方形网格中，以AB为对角线作平行四边形，需满足平行四边形对角线互相平分，即AB中点O为另两顶点C、D的中点。设A、B坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，则O((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)，C(x,y)时D(x₁+x₂-x,y₁+y₂-y)需为格点。经分析，在3×3网格中，符合条件的对称格点对(C,D)有3组，故最多可画3个平行四边形。

8. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AD = 5$，$BC = 18$，$E$ 是 $BC$ 的中点. 点 $P$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度从点 $A$ 出发，沿 $AD$ 向点 $D$ 运动；点 $Q$ 同时以每秒 $3$ 个单位长度的速度从点 $C$ 出发，沿 $CB$ 向点 $B$ 运动. 点 $P$ 停止运动时，点 $Q$ 也随之停止运动，当运动时间为 $t\mathrm{s}$ 时，以点 $P$，$Q$，$E$，$D$ 为顶点的四边形是平行四边形，则 $t$ 的值为.

$2$或$\frac{7}{2}$

解：
由题意得：$AP = t$，$CQ = 3t$，$AD = 5$，$BC = 18$，$E$为$BC$中点，$\therefore EC = \frac{1}{2}BC = 9$。
点$P$运动时间范围：$0 ≤ t ≤ 5$（$P$到达$D$时停止）。
情况1：$Q$在$E$右侧（$CQ ＜ EC$，即$t ＜ 3$）
此时$QE = EC - CQ = 9 - 3t$，$PD = AD - AP = 5 - t$。
$\because AD // BC$，$\therefore PD // QE$。
若四边形$PQED$为平行四边形，则$PD = QE$，即：
$5 - t = 9 - 3t$，解得$t = 2$（符合$t ＜ 3$）。
情况2：$Q$在$E$左侧（$CQ ＞ EC$，即$t ＞ 3$）
此时$QE = CQ - EC = 3t - 9$，$PD = 5 - t$。
同理，$PD // QE$，若四边形$PQED$为平行四边形，则$PD = QE$，即：
$5 - t = 3t - 9$，解得$t = 3.5$（符合$3 ＜ t ≤ 5$）。
综上，$t = 2$或$t = 3.5$。

9. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$ 在 $AD$ 上，连接 $BE$，$DF// BE$ 交 $BC$ 于点 $F$，$AF$ 与 $BE$ 交于点 $M$，$CE$ 与 $DF$ 交于点 $N$. 求证：
(1) $DE = BF$；
(2) 四边形 $MFNE$ 是平行四边形.

(1)
因为四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
所以 $AD // BC$，且 $AD = BC$，
因为点 $E$ 在 $AD$ 上，点 $F$ 在 $BC$ 上，
所以 $DE // BF$，
因为 $DF // BE$，
所以四边形 $BEDF$ 为平行四边形，
所以 $DE = BF$。
(2)
因为四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
所以 $AE // FC$，
因为 $DE = BF$，$AD = BC$，
所以 $AD - DE = BC - BF$，即 $AE = FC$，
因为 $AE // FC$，
所以四边形 $FCEA$ 为平行四边形，
所以 $AF // CE$，即 $MF // EN$，
因为 $AF // CE$，$DF // BE$，
所以四边形 $MFNE$ 为平行四边形。