一、一次折叠问题
例 1 (1) 如图 1，将长方形纸片 $ABCD$ 折叠，使点 $D$ 与 $B$ 重合，点 $C$ 落在 $C'$ 处，折痕为 $EF$，若 $∠ AEB = 70°$，则 $∠ EFC'$ 的度数是。

(2) 如图 2，$ABCD$ 为一长方形纸带，$AB // CD$，将 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠，$A$，$D$ 两点分别与 $A'$，$D'$ 对应，若 $∠ 1 = 2∠ 2$，则 $∠ AEF$ 的度数是。

解：(1) 由折叠的性质知：$∠ BEF = ∠ DEF$，$BE // C'F$。
$\because ∠ AEB = 70°$，
$\therefore ∠ BED = 180° - ∠ AEB = 110°$，
$\therefore ∠ BEF = 55°$。
$\because BE // C'F$，
$\therefore ∠ EFC' = 180° - ∠ BEF = 125°$。
故填 $125°$。
(2) 由折叠的性质知：$∠ AEF = ∠ FEA'$。
$\because AB // CD$，$\therefore ∠ AEF = ∠ 1$。
$\because ∠ 1 = 2∠ 2$，设 $∠ 2 = x$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ 1 = ∠ FEA' = 2x$，
$\because ∠ AEA' + ∠ A'EB = 180°$，
$\therefore 2 × 2x + x = 180°$，$\therefore x = 36°$，$\therefore ∠ AEF = 2x = 72°$。
故填 $72°$。

解：(1) 由折叠的性质知：$∠BEF=∠DEF$，$BE// C'F$。
$\because ∠AEB=70°$，
$\therefore ∠BED=180°-∠AEB=110°$，
$\therefore ∠BEF=55°$。
$\because BE// C'F$，
$\therefore ∠EFC'=180°-∠BEF=125°$。
故填$125°$。
(2) 由折叠的性质知：$∠AEF=∠FEA'$。
$\because AB// CD$，$\therefore ∠AEF=∠1$。
$\because ∠1=2∠2$，设$∠2=x$，
$\therefore ∠AEF=∠1=∠FEA'=2x$，
$\because ∠AEA'+∠A'EB=180°$，
$\therefore 2×2x+x=180°$，解得$x=36°$，
$\therefore ∠AEF=2x=72°$。
故填$72°$。

二、二次折叠问题
例 2 如图 3，已知长方形纸片 $ABCD$，点 $M$，$N$ 分别在 $AD$，$BC$ 边上，将纸片沿 $MN$ 折叠，点 $C$，$D$ 分别落在点 $C_1$，$D_1$ 处，$MD_1$ 与 $BC$ 交于点 $P$，再沿 $PN$ 折叠纸片，点 $C_1$，$D_1$ 分别落在点 $C_2$，$D_2$ 处，设 $∠ BPD_2 = α$，则 $∠ MNC_2$ 的度数为()


A.$\frac{1}{3}a$
B.$90° - \frac{1}{2}a$
C.$\frac{1}{2}a$
D.$90° - \frac{3}{2}a$
解：设 $∠ MNC_2 = x$，
由题意得 $PD_2 // NC_2$，
$\therefore ∠ BNC_2 = ∠ BPD_2 = α$。
由折叠得 $∠ BNC_1 = ∠ BNC_2 = α$，
$\therefore ∠ MNC_1 = ∠ BNC_1 + ∠ BNC_2 + ∠ MNC_2 = 2α + x$。
由折叠得 $∠ MNC_1 = ∠ MNC = 2α + x$。
$\because ∠ MNC + ∠ MNC_2 + ∠ BNC_2 = 180°$，
$\therefore 2α + x + x + α = 180°$，
解得 $x = 90° - \frac{3}{2}α$，
$\therefore ∠ MNC_2 = 90° - \frac{3}{2}α$。
故选 D。

D

设$∠ MNC_2 = x$，
因为长方形对边平行，折叠后$PD_2 // NC_2$，所以$∠ BNC_2 = ∠ BPD_2 = α$；
由沿$PN$折叠的性质得$∠ BNC_1 = ∠ BNC_2 = α$，则$∠ MNC_1 = ∠ BNC_1 + ∠ BNC_2 + ∠ MNC_2 = 2α + x$；
由沿$MN$折叠的性质得$∠ MNC_1 = ∠ MNC = 2α + x$；
因为$∠ MNC + ∠ MNC_2 + ∠ BNC_2 = 180°$，代入得$2α + x + x + α = 180°$，
解得$x = 90° - \frac{3}{2}α$，即$∠ MNC_2 = 90° - \frac{3}{2}α$。