例1 如图7.2-12，已知直线 $ a // b $，$ ∠ 1 = 30° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数是。

【思路导析】两直线平行，同位角相等。
【请你解答】。

[例1]$30°$

例2 如图7.2-13，一条路两次拐弯后和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路线互相平行，那么第一次从 $ AB $ 路段拐到 $ BC $ 路段，$ ∠ ABC = 110° $，第二次从 $ BC $ 路段拐到 $ CD $ 路段，$ ∠ ABC = $，理由是。
【思路导析】两直线平行，内错角相等。
【请你解答】。

[例2]$110°$;两直线平行,内错角相等

例3 如图7.2-14，已知 $ AB // CD $，$ ∠ A = 65° $，则 $ ∠ D = $。
【思路导析】两直线平行，同旁内角互补。
【请你解答】。

[例3]$115°$

例4 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角有什么关系？
【探究点拨】如图7.2-15所示，$ ∠ 1 $ 和 $ ∠ 2 $ 的两边分别平行，由 $ AC // DE $ 能得到 $ ∠ 1 = ∠ 3 $，由 $ AB // EF $ 能得到 $ ∠ 2 = ∠ 3 $，所以可得 $ ∠ 1 = ∠ 2 $。其他三种情况，也将 $ ∠ 3 $ 作中间量求解，请同学们自己试一试。

【规范解答】如图①所示。
$ \because AC // DE $，$ AB // EF $(已知)，
$ \therefore ∠ 1 = ∠ 3 $，$ ∠ 2 = ∠ 3 $(两直线平行，同位角相等)，
$ \therefore ∠ 1 = ∠ 2 $(等量代换)。
同理，图②中，$ ∠ 1 = ∠ 2 $。
图③④中，$ ∠ 1 + ∠ 2 = 180° $。
综合以上四种情况，可知这两个角($ ∠ 1 $，$ ∠ 2 $)相等或互补。

解：
如图①，
$\because AC // DE$，$AB // EF$（已知），
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$，$∠ 2 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$（等量代换）。
如图②，
$\because$ 两组边分别平行，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等），
$∠ 2 = ∠ 3$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$（等量代换）。
如图③，
$\because$ 两组边分别平行，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等），
$∠ 2 + ∠ 3 = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$（等量代换）。
如图④，
$\because$ 两组边分别平行，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等），
$∠ 2 + ∠ 3 = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$（等量代换）。
综上，若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。

例5 如图7.2-16，四边形 $ ABCD $ 中，$ AB // CD $，$ ∠ B = ∠ D $，直线 $ EF $ 与 $ AD $，$ BC $ 的延长线分别交于点 $ E $，$ F $，求证：$ ∠ DEF = ∠ F $。

【规范解答】因为 $ AB // CD $，
所以 $ ∠ DCF = ∠ B $。(两直线平行，同位角相等)。
因为 $ ∠ B = ∠ D $，
所以 $ ∠ DCF = ∠ D $，
所以 $ AD // BC $，(内错角相等，两直线平行)，
所以 $ ∠ DEF = ∠ F $。(两直线平行，内错角相等)。
我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气，同样会发生折射现象。如图7.2-17所示是光线从空气射入水中，再从水中射入空气的示意图。已知 $ a // b $，$ c // d $，$ ∠ 1 = 60° $，求 $ ∠ 2 $ 的度数。

学后反思
如果要从角的关系得到两直线平行，运用的是平行线的判定；如果已知两直线平行，要从平行线中得到角的相等或互补关系，运用的是平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定弄混淆。

[变式探究]
由题意知$a// b$,$\therefore ∠ 4=∠ 5$.
$\because c// d$,$\therefore ∠ 4+∠ 6=∠ 5+∠ 3$,$\therefore ∠ 3=∠ 6$.
$\because ∠ 1+∠ 6=180°$,$∠ 2+∠ 3=180°$,
$\therefore ∠ 1=∠ 2=60°$.

变式题图