登录
1. 化简$\sqrt{64×25}$的结果是(
A.100
B.60
C.40
D.20
C
)A.100
B.60
C.40
D.20
答案
1. C
解析
【解析】
根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），可得：
$\sqrt{64×25}=\sqrt{64}×\sqrt{25}=8×5=40$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题主要考查二次根式乘法性质的应用，运算较为基础，需准确计算非负数的算术平方根。
【难度系数】
0.9
根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），可得：
$\sqrt{64×25}=\sqrt{64}×\sqrt{25}=8×5=40$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题主要考查二次根式乘法性质的应用，运算较为基础，需准确计算非负数的算术平方根。
【难度系数】
0.9
2. 若$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，则$\sqrt{6}$可以表示为(
A.$ab$
B.$\sqrt{ab}$
C.$ab^2$
D.$a^2b$
A
)A.$ab$
B.$\sqrt{ab}$
C.$ab^2$
D.$a^2b$
答案
2. A
解析
【解析】
将$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$分别代入各选项：
选项A：$ab=\sqrt{3} × \sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，符合要求；
选项B：$\sqrt{ab}=\sqrt{\sqrt{3}×\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{6}}≠\sqrt{6}$；
选项C：$ab^2=\sqrt{3} × (\sqrt{2})^2=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}≠\sqrt{6}$；
选项D：$a^2b=(\sqrt{3})^2 × \sqrt{2}=3×\sqrt{2}=3\sqrt{2}≠\sqrt{6}$。
因此，$\sqrt{6}$可以表示为$ab$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的性质
【点评】
本题主要考查二次根式的乘法运算及性质，通过代入已知值计算各选项即可快速得出结果，属于基础题，需熟练掌握二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.9
将$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$分别代入各选项：
选项A：$ab=\sqrt{3} × \sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，符合要求；
选项B：$\sqrt{ab}=\sqrt{\sqrt{3}×\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{6}}≠\sqrt{6}$；
选项C：$ab^2=\sqrt{3} × (\sqrt{2})^2=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}≠\sqrt{6}$；
选项D：$a^2b=(\sqrt{3})^2 × \sqrt{2}=3×\sqrt{2}=3\sqrt{2}≠\sqrt{6}$。
因此，$\sqrt{6}$可以表示为$ab$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的性质
【点评】
本题主要考查二次根式的乘法运算及性质，通过代入已知值计算各选项即可快速得出结果，属于基础题，需熟练掌握二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.9
3. 下列各数中，与$\sqrt{2}$的积为无理数的是(
A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{32}$
B
)A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{32}$
答案
3. B
解析
【解析】
分别计算各选项与$\sqrt{2}$的乘积，判断结果是否为无理数：
选项A：$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{2} = \sqrt{\frac{1}{2} × 2} = \sqrt{1} = 1$，1是有理数；
选项B：$\sqrt{12} × \sqrt{2} = \sqrt{12 × 2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$，$2\sqrt{6}$是无理数；
选项C：$\sqrt{18} × \sqrt{2} = \sqrt{18 × 2} = \sqrt{36} = 6$，6是有理数；
选项D：$\sqrt{32} × \sqrt{2} = \sqrt{32 × 2} = \sqrt{64} = 8$，8是有理数。
因此，与$\sqrt{2}$的积为无理数的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法、无理数判定
【点评】
本题考查二次根式的乘法运算及无理数的判断，需熟练运用二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）进行计算，再根据无理数的定义判断结果。
【难度系数】
0.8
分别计算各选项与$\sqrt{2}$的乘积，判断结果是否为无理数：
选项A：$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{2} = \sqrt{\frac{1}{2} × 2} = \sqrt{1} = 1$，1是有理数；
选项B：$\sqrt{12} × \sqrt{2} = \sqrt{12 × 2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$，$2\sqrt{6}$是无理数；
选项C：$\sqrt{18} × \sqrt{2} = \sqrt{18 × 2} = \sqrt{36} = 6$，6是有理数；
选项D：$\sqrt{32} × \sqrt{2} = \sqrt{32 × 2} = \sqrt{64} = 8$，8是有理数。
因此，与$\sqrt{2}$的积为无理数的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法、无理数判定
【点评】
本题考查二次根式的乘法运算及无理数的判断，需熟练运用二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）进行计算，再根据无理数的定义判断结果。
【难度系数】
0.8
4. 如果$\sqrt{x}·\sqrt{x - 6}=\sqrt{x(x - 6)}$，那么(
A.$x≥0$
B.$x≥6$
C.$0≤ x≤6$
D.$x$为一切实数
B
)A.$x≥0$
B.$x≥6$
C.$0≤ x≤6$
D.$x$为一切实数
答案
4. B
解析
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数：
1. 对于$\sqrt{x}$，需$x≥0$；
2. 对于$\sqrt{x-6}$，需$x-6≥0$，即$x≥6$；
3. 对于$\sqrt{x(x-6)}$，需$x(x-6)≥0$，解得$x≤0$或$x≥6$。
综合以上条件，取交集得$x≥6$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件，需注意多个二次根式同时存在时，要保证每个根式的被开方数均为非负数，不能仅依据乘积式的被开方数条件判断，避免漏看单个根式的限制条件。
【难度系数】
0.6
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数：
1. 对于$\sqrt{x}$，需$x≥0$；
2. 对于$\sqrt{x-6}$，需$x-6≥0$，即$x≥6$；
3. 对于$\sqrt{x(x-6)}$，需$x(x-6)≥0$，解得$x≤0$或$x≥6$。
综合以上条件，取交集得$x≥6$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件，需注意多个二次根式同时存在时，要保证每个根式的被开方数均为非负数，不能仅依据乘积式的被开方数条件判断，避免漏看单个根式的限制条件。
【难度系数】
0.6
5. 下列运算正确的是(
A.$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{7}$
B.$8\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{16}}=1$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{6}=12$
D.$\sqrt{12}×\sqrt{\frac{3}{4}}=3$
D
)A.$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{7}$
B.$8\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{16}}=1$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{6}=12$
D.$\sqrt{12}×\sqrt{\frac{3}{4}}=3$
答案
5. D
解析
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}≠\sqrt{7}$，运算错误；
选项B：$8\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{16}}=8\sqrt{2}×\frac{1}{4}=2\sqrt{2}≠1$，运算错误；
选项C：$\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{2×6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}≠12$，运算错误；
选项D：$\sqrt{12}×\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{12×\frac{3}{4}}=\sqrt{9}=3$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法法则
【点评】
本题考查二次根式的乘法运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则，准确进行计算与化简，避免因法则应用错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}≠\sqrt{7}$，运算错误；
选项B：$8\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{16}}=8\sqrt{2}×\frac{1}{4}=2\sqrt{2}≠1$，运算错误；
选项C：$\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{2×6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}≠12$，运算错误；
选项D：$\sqrt{12}×\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{12×\frac{3}{4}}=\sqrt{9}=3$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法法则
【点评】
本题考查二次根式的乘法运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则，准确进行计算与化简，避免因法则应用错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
6. 若三角形的一边长是$\sqrt{42}$cm，这条边上的高是$\sqrt{30}$cm，则这个三角形的面积是(
A.$6\sqrt{35}$cm²
B.$3\sqrt{35}$cm²
C.$\sqrt{1260}$cm²
D.$\frac{1}{3}\sqrt{1260}$cm²
B
)A.$6\sqrt{35}$cm²
B.$3\sqrt{35}$cm²
C.$\sqrt{1260}$cm²
D.$\frac{1}{3}\sqrt{1260}$cm²
答案
6. B
解析
【解析】
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底边长，$h$为这条边上的高），代入数据计算：
$S=\frac{1}{2}×\sqrt{42}×\sqrt{30}$
由二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，得：
$\sqrt{42}×\sqrt{30}=\sqrt{42×30}=\sqrt{1260}=\sqrt{36×35}=6\sqrt{35}$
则$S=\frac{1}{2}×6\sqrt{35}=3\sqrt{35}$（cm²）。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积公式，二次根式的乘法与化简
【点评】
本题考查三角形面积计算及二次根式的运算，需熟练掌握三角形面积公式和二次根式的运算法则，注意将结果化为最简形式。
【难度系数】
0.7
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底边长，$h$为这条边上的高），代入数据计算：
$S=\frac{1}{2}×\sqrt{42}×\sqrt{30}$
由二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，得：
$\sqrt{42}×\sqrt{30}=\sqrt{42×30}=\sqrt{1260}=\sqrt{36×35}=6\sqrt{35}$
则$S=\frac{1}{2}×6\sqrt{35}=3\sqrt{35}$（cm²）。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积公式，二次根式的乘法与化简
【点评】
本题考查三角形面积计算及二次根式的运算，需熟练掌握三角形面积公式和二次根式的运算法则，注意将结果化为最简形式。
【难度系数】
0.7
7. $\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{2}}=$
$\sqrt{3}$
。答案
7. $\sqrt{3}$
解析
【解析】
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{6×\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的乘法法则
【点评】
本题考查二次根式乘法的基本运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式乘法法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{6×\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的乘法法则
【点评】
本题考查二次根式乘法的基本运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式乘法法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8. 化简：
（1）$\sqrt{75}$；
（2）$\sqrt{12×27}$；
（3）$\sqrt{(-16)×144×(-8)}$。
（1）$\sqrt{75}$；
（2）$\sqrt{12×27}$；
（3）$\sqrt{(-16)×144×(-8)}$。
答案
8. 解：(1)原式$=5\sqrt{3}$。 (2)原式$=18$。
(3)原式$=96\sqrt{2}$。
(3)原式$=96\sqrt{2}$。
解析
【解析】
（1）将75分解为$25×3$，根据积的算术平方根性质：$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；
（2）先计算$12×27=324$，则$\sqrt{324}=\sqrt{18^2}=18$；或拆分计算：$\sqrt{12×27}=\sqrt{12}×\sqrt{27}=2\sqrt{3}×3\sqrt{3}=6×3=18$；
（3）先处理负号，负负得正，原式$=\sqrt{16×144×8}$，再拆分计算：$\sqrt{16}×\sqrt{144}×\sqrt{8}=4×12×2\sqrt{2}=96\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$5\sqrt{3}$；（2）$18$；（3）$96\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、积的算术平方根性质
【点评】
本题考查二次根式的化简运算，需熟练运用积的算术平方根性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），注意先将被开方数转化为非负数再化简。
【难度系数】
0.8
（1）将75分解为$25×3$，根据积的算术平方根性质：$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；
（2）先计算$12×27=324$，则$\sqrt{324}=\sqrt{18^2}=18$；或拆分计算：$\sqrt{12×27}=\sqrt{12}×\sqrt{27}=2\sqrt{3}×3\sqrt{3}=6×3=18$；
（3）先处理负号，负负得正，原式$=\sqrt{16×144×8}$，再拆分计算：$\sqrt{16}×\sqrt{144}×\sqrt{8}=4×12×2\sqrt{2}=96\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$5\sqrt{3}$；（2）$18$；（3）$96\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、积的算术平方根性质
【点评】
本题考查二次根式的化简运算，需熟练运用积的算术平方根性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），注意先将被开方数转化为非负数再化简。
【难度系数】
0.8
技能点：二次根式的乘法运算
9. 计算：
（1）$\sqrt{6}×\sqrt{\frac{2}{3}}$；
（2）$\sqrt{3}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$；
（3）$2\sqrt{5a}·\sqrt{10a}$；
（4）$3\sqrt{5}×(-2\sqrt{10})$；
（5）$\frac{3}{2}\sqrt{24}×\frac{2}{3}\sqrt{18}$；
（6）$\frac{1}{3}\sqrt{2\frac{1}{9}}×(-\sqrt{\frac{4}{19}x^2y})$（$x≥0$）。
9. 计算：
（1）$\sqrt{6}×\sqrt{\frac{2}{3}}$；
（2）$\sqrt{3}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$；
（3）$2\sqrt{5a}·\sqrt{10a}$；
（4）$3\sqrt{5}×(-2\sqrt{10})$；
（5）$\frac{3}{2}\sqrt{24}×\frac{2}{3}\sqrt{18}$；
（6）$\frac{1}{3}\sqrt{2\frac{1}{9}}×(-\sqrt{\frac{4}{19}x^2y})$（$x≥0$）。
答案
9. 解：(1)2。 (2)6。 (3)$10\sqrt{2}a$。
(4)$-30\sqrt{2}$。 (5)$12\sqrt{3}$。 (6)$-\dfrac{2}{9}x\sqrt{y}$。
(4)$-30\sqrt{2}$。 (5)$12\sqrt{3}$。 (6)$-\dfrac{2}{9}x\sqrt{y}$。
解析
【解析】
（1）根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），原式$=\sqrt{6×\frac{2}{3}}=\sqrt{4}=2$；
（2）原式$=\sqrt{3×2×6}=\sqrt{36}=6$；
（3）原式$=2\sqrt{5a×10a}=2\sqrt{50a^2}=2×5a\sqrt{2}=10\sqrt{2}a$（$a≥0$）；
（4）原式$=3×(-2)×\sqrt{5×10}=-6×\sqrt{50}=-6×5\sqrt{2}=-30\sqrt{2}$；
（5）原式$=(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×\sqrt{24×18}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}$；
（6）先化简$\sqrt{2\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$，原式$=\frac{1}{3}×(-1)×\sqrt{\frac{19}{9}×\frac{4}{19}x^2y}=-\frac{1}{3}×\sqrt{\frac{4}{9}x^2y}=-\frac{2}{9}x\sqrt{y}$（$x≥0$）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；
(2) $\boldsymbol{6}$；
(3) $\boldsymbol{10\sqrt{2}a}$；
(4) $\boldsymbol{-30\sqrt{2}}$；
(5) $\boldsymbol{12\sqrt{3}}$；
(6) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{9}x\sqrt{y}}$
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式化简
【点评】
本题聚焦二次根式的乘法运算，需熟练运用$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）的法则，运算时注意系数与根式部分分别计算，结果要化为最简二次根式，含字母的题目需关注字母取值范围对结果的影响。
【难度系数】
0.7
（1）根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），原式$=\sqrt{6×\frac{2}{3}}=\sqrt{4}=2$；
（2）原式$=\sqrt{3×2×6}=\sqrt{36}=6$；
（3）原式$=2\sqrt{5a×10a}=2\sqrt{50a^2}=2×5a\sqrt{2}=10\sqrt{2}a$（$a≥0$）；
（4）原式$=3×(-2)×\sqrt{5×10}=-6×\sqrt{50}=-6×5\sqrt{2}=-30\sqrt{2}$；
（5）原式$=(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×\sqrt{24×18}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}$；
（6）先化简$\sqrt{2\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$，原式$=\frac{1}{3}×(-1)×\sqrt{\frac{19}{9}×\frac{4}{19}x^2y}=-\frac{1}{3}×\sqrt{\frac{4}{9}x^2y}=-\frac{2}{9}x\sqrt{y}$（$x≥0$）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；
(2) $\boldsymbol{6}$；
(3) $\boldsymbol{10\sqrt{2}a}$；
(4) $\boldsymbol{-30\sqrt{2}}$；
(5) $\boldsymbol{12\sqrt{3}}$；
(6) $\boldsymbol{-\dfrac{2}{9}x\sqrt{y}}$
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式化简
【点评】
本题聚焦二次根式的乘法运算，需熟练运用$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）的法则，运算时注意系数与根式部分分别计算，结果要化为最简二次根式，含字母的题目需关注字母取值范围对结果的影响。
【难度系数】
0.7
