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7. 如图,在长方形$ABCD$中不重叠、无缝隙地放入面积分别为$16\mathrm{cm}^{2}$和$12\mathrm{cm}^{2}$的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为()
A.$(16 - 8\sqrt{3})\mathrm{cm}^{2}$
B.$(-12 + 8\sqrt{3})\mathrm{cm}^{2}$
C.$(8 - 4\sqrt{3})\mathrm{cm}^{2}$
D.$(4 - 2\sqrt{3})\mathrm{cm}^{2}$
A.$(16 - 8\sqrt{3})\mathrm{cm}^{2}$
B.$(-12 + 8\sqrt{3})\mathrm{cm}^{2}$
C.$(8 - 4\sqrt{3})\mathrm{cm}^{2}$
D.$(4 - 2\sqrt{3})\mathrm{cm}^{2}$
答案
B
解析
面积为16cm²的正方形边长为√16=4cm，面积为12cm²的正方形边长为√12=2√3cm。长方形的长为两正方形边长之和，即(4+2√3)cm，宽为大正方形边长4cm。长方形面积为(4+2√3)×4=16+8√3 cm²。空白部分面积=长方形面积-两正方形面积=(16+8√3)-(16+12)=8√3-12=(-12+8√3)cm²。
8. 若三角形的三边长分别为$a$,$b$,$c$,记$p=\dfrac{a + b + c}{2}$,则其面积$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.若$p = 5$,$c = 4$,则此三角形面积的最大值为()
A.$\sqrt{5}$
B.$4$
C.$2\sqrt{5}$
D.$5$
A.$\sqrt{5}$
B.$4$
C.$2\sqrt{5}$
D.$5$
答案
C
解析
由$ p = 5 $，$ c = 4 $，得$ p = \frac{a + b + c}{2} = 5 $，则$ a + b = 2p - c = 10 - 4 = 6 $。设$ x = p - a $，$ y = p - b $，则$ x + y = 2p - (a + b) = 10 - 6 = 4 $。面积$ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{5xy · 1} = \sqrt{5xy} $。由基本不等式，$ x + y ≥ 2\sqrt{xy} $，即$ 4 ≥ 2\sqrt{xy} $，得$ xy ≤ 4 $（当$ x = y = 2 $时取等号）。此时$ S = \sqrt{5 × 4} = 2\sqrt{5} $。
9. 计算$(-\sqrt{6})^{2}$的结果是.
答案
根据乘方运算规则，$(-\sqrt{6})^{2} = (-1)^{2} × (\sqrt{6})^{2}$。
由于$(-1)^{2} = 1$，且$(\sqrt{6})^{2} = 6$。
所以，$(-\sqrt{6})^{2} = 1 × 6 = 6$。
故答案为$6$。
由于$(-1)^{2} = 1$，且$(\sqrt{6})^{2} = 6$。
所以，$(-\sqrt{6})^{2} = 1 × 6 = 6$。
故答案为$6$。
10. 计算:$\sqrt{12}-\sqrt{8}×\sqrt{6}=$.
答案
$-2\sqrt{3}$
解析
$\sqrt{12} - \sqrt{8} × \sqrt{6}$
$= 2\sqrt{3} - \sqrt{8 × 6}$
$= 2\sqrt{3} - \sqrt{48}$
$= 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}$
$= -2\sqrt{3}$
$= 2\sqrt{3} - \sqrt{8 × 6}$
$= 2\sqrt{3} - \sqrt{48}$
$= 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}$
$= -2\sqrt{3}$
11. 若$\sqrt{8 - x}$为整数,$x$为正整数,则$x$的值可以是.(写出一个即可)
答案
4
解析
要使$\sqrt{8 - x}$为整数，设$\sqrt{8 - x} = k$（$k$为整数），则$8 - x = k^2$，即$x = 8 - k^2$。
因为$x$为正整数，所以$8 - k^2 ＞ 0$，即$k^2 ＜ 8$。
$k$为整数，所以$k$的值可以为$0$，$\pm1$，$\pm2$。
当$k = 0$时，$x = 8 - 0 = 8$；
当$k = 1$时，$x = 8 - 1 = 7$；
当$k = -1$时，$x = 8 - 1 = 7$；
当$k = 2$时，$x = 8 - 4 = 4$；
当$k = -2$时，$x = 8 - 4 = 4$。
所以$x$的值可以是$4$（或$7$或$8$）。
因为$x$为正整数，所以$8 - k^2 ＞ 0$，即$k^2 ＜ 8$。
$k$为整数，所以$k$的值可以为$0$，$\pm1$，$\pm2$。
当$k = 0$时，$x = 8 - 0 = 8$；
当$k = 1$时，$x = 8 - 1 = 7$；
当$k = -1$时，$x = 8 - 1 = 7$；
当$k = 2$时，$x = 8 - 4 = 4$；
当$k = -2$时，$x = 8 - 4 = 4$。
所以$x$的值可以是$4$（或$7$或$8$）。
12. 若实数$m$在数轴上对应点的位置如图所示,则化简$\sqrt{(m - 2)^{2}}$的结果为.
答案
由数轴可知，$1 ＜ m ＜ 2$，则$m - 2 ＜ 0$。
因为$\sqrt{a^2} = |a|$，所以$\sqrt{(m - 2)^2} = |m - 2|$。
又因为$m - 2 ＜ 0$，所以$|m - 2| = 2 - m$。
故化简结果为$2 - m$。
$2 - m$
因为$\sqrt{a^2} = |a|$，所以$\sqrt{(m - 2)^2} = |m - 2|$。
又因为$m - 2 ＜ 0$，所以$|m - 2| = 2 - m$。
故化简结果为$2 - m$。
$2 - m$
13. 将一组数$\sqrt{2}$,$2$,$\sqrt{6}$,$2\sqrt{2}$,$···$,$4\sqrt{2}$按下列方式进行排列:
$\sqrt{2}$,$2$,$\sqrt{6}$,$2\sqrt{2}$;
$\sqrt{10}$,$2\sqrt{3}$,$\sqrt{14}$,$4$;
$···$
若$2$的位置记为$(1,2)$,$\sqrt{14}$的位置记为$(2,3)$,则$2\sqrt{7}$的位置记为.
$\sqrt{2}$,$2$,$\sqrt{6}$,$2\sqrt{2}$;
$\sqrt{10}$,$2\sqrt{3}$,$\sqrt{14}$,$4$;
$···$
若$2$的位置记为$(1,2)$,$\sqrt{14}$的位置记为$(2,3)$,则$2\sqrt{7}$的位置记为.
答案
1. 将各数统一表示为√(2n)形式：√2=√(2×1)，2=√(2×2)，√6=√(2×3)，2√2=√(2×4)，...，4√2=√32=√(2×16)，故第k个数为√(2k)，k=1,2,...,16。
2. 2√7=√28=√(2×14)，对应k=14。
3. 每行4个数，14÷4=3余2，故第14个数在第4行第2列。
(4,2)
2. 2√7=√28=√(2×14)，对应k=14。
3. 每行4个数，14÷4=3余2，故第14个数在第4行第2列。
(4,2)
14. 用$[x]$表示不超过$x$的最大整数,把$x - [x]$称为$x$的小数部分.已知$t = 2 + \sqrt{3}$,$a$是$t$的小数部分,$b$是$-t$的小数部分,则$a + b$的值为.
答案
因为$t = 2 + \sqrt{3}$，$\sqrt{3} \approx 1.732$，所以$t \approx 3.732$，则$[t] = 3$，$a = t - [t] = (2 + \sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3} - 1$。
$-t = -2 - \sqrt{3} \approx -3.732$，则$[-t] = -4$，$b = -t - [-t] = (-2 - \sqrt{3}) - (-4) = 2 - \sqrt{3}$。
$a + b = (\sqrt{3} - 1) + (2 - \sqrt{3}) = 1$。
1
$-t = -2 - \sqrt{3} \approx -3.732$，则$[-t] = -4$，$b = -t - [-t] = (-2 - \sqrt{3}) - (-4) = 2 - \sqrt{3}$。
$a + b = (\sqrt{3} - 1) + (2 - \sqrt{3}) = 1$。
1
