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1. 如图所示,已知点 $ C $,$ D $ 为线段 $ AB $ 上顺次两点,$ M $,$ N $ 分别是 $ AC $,$ BD $ 的中点。
(1) 若 $ AB = 24 $,$ CD = 10 $,求 $ MN $ 的长；
(2) 若 $ AB = a $,$ CD = b $,请用含 $ a $,$ b $ 的式子表示出 $ MN $ 的长。
(1) 若 $ AB = 24 $,$ CD = 10 $,求 $ MN $ 的长；
(2) 若 $ AB = a $,$ CD = b $,请用含 $ a $,$ b $ 的式子表示出 $ MN $ 的长。
答案
1.解:
(1)因为AB=24,CD=10,
所以AC+DB=14.
因为M,N分别为AC,BD的中点,
所以CM=$\frac{1}{2}$AC,DN=$\frac{1}{2}$BD.
所以MC+DN=$\frac{1}{2}$(AC+DB)=7.
所以MN=MC+DN+CD=17.
(2)因为AB=a,CD=b,
所以AC+DB=a-b.
因为M,N分别为AC,BD的中点,
所以MC=$\frac{1}{2}$AC,DN=$\frac{1}{2}$BD.
所以MC+DN=$\frac{1}{2}$(AC+DB)=$\frac{1}{2}$(a-b).
所以MN=MC+DN+CD=$\frac{1}{2}$(a-b)+b=$\frac{1}{2}$(a+b).
(1)因为AB=24,CD=10,
所以AC+DB=14.
因为M,N分别为AC,BD的中点,
所以CM=$\frac{1}{2}$AC,DN=$\frac{1}{2}$BD.
所以MC+DN=$\frac{1}{2}$(AC+DB)=7.
所以MN=MC+DN+CD=17.
(2)因为AB=a,CD=b,
所以AC+DB=a-b.
因为M,N分别为AC,BD的中点,
所以MC=$\frac{1}{2}$AC,DN=$\frac{1}{2}$BD.
所以MC+DN=$\frac{1}{2}$(AC+DB)=$\frac{1}{2}$(a-b).
所以MN=MC+DN+CD=$\frac{1}{2}$(a-b)+b=$\frac{1}{2}$(a+b).
解析
【分析】
解题时先观察线段MN的组成，可发现MN=MC+CD+DN，因此只需算出MC与DN的和即可。已知M、N分别是AC、BD的中点，根据中点性质可得MC是AC的一半，DN是BD的一半，因此MC+DN等于(AC+BD)的一半；而AC+BD=AB-CD，题目给出了AB和CD的长度/表达式，代入先求出AC+BD，再逐步推导就能得到MN的长，两小问思路一致，第二问将数值替换为字母按相同逻辑推导即可。
【解析】
(1) 已知AB=24，CD=10，
所以$AC + DB = AB - CD = 24 - 10 = 14$。
因为M，N分别是AC，BD的中点，
所以$CM = \frac{1}{2}AC$，$DN = \frac{1}{2}BD$，
因此$MC + DN = \frac{1}{2}(AC + DB) = \frac{1}{2}×14 =7$。
可得$MN = MC + DN + CD =7 +10=17$。
(2) 已知AB=a，CD=b，
所以$AC + DB = AB - CD = a - b$。
因为M，N分别是AC，BD的中点，
所以$CM = \frac{1}{2}AC$，$DN = \frac{1}{2}BD$，
因此$MC + DN = \frac{1}{2}(AC + DB) = \frac{1}{2}(a - b)$。
可得$MN = MC + DN + CD = \frac{1}{2}(a - b) + b = \frac{1}{2}(a + b)$。
【答案】
(1) $\boxed{17}$
(2) $\boxed{\frac{1}{2}(a+b)}$
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，代数式表示
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题关键是将所求线段合理拆分为已知线段和可求线段的和，结合线段中点的性质简化计算，同时体现了从特殊到一般的推导思想，掌握拆分方法可快速解决同类线段计算问题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察线段MN的组成，可发现MN=MC+CD+DN，因此只需算出MC与DN的和即可。已知M、N分别是AC、BD的中点，根据中点性质可得MC是AC的一半，DN是BD的一半，因此MC+DN等于(AC+BD)的一半；而AC+BD=AB-CD，题目给出了AB和CD的长度/表达式，代入先求出AC+BD，再逐步推导就能得到MN的长，两小问思路一致，第二问将数值替换为字母按相同逻辑推导即可。
【解析】
(1) 已知AB=24，CD=10，
所以$AC + DB = AB - CD = 24 - 10 = 14$。
因为M，N分别是AC，BD的中点，
所以$CM = \frac{1}{2}AC$，$DN = \frac{1}{2}BD$，
因此$MC + DN = \frac{1}{2}(AC + DB) = \frac{1}{2}×14 =7$。
可得$MN = MC + DN + CD =7 +10=17$。
(2) 已知AB=a，CD=b，
所以$AC + DB = AB - CD = a - b$。
因为M，N分别是AC，BD的中点，
所以$CM = \frac{1}{2}AC$，$DN = \frac{1}{2}BD$，
因此$MC + DN = \frac{1}{2}(AC + DB) = \frac{1}{2}(a - b)$。
可得$MN = MC + DN + CD = \frac{1}{2}(a - b) + b = \frac{1}{2}(a + b)$。
【答案】
(1) $\boxed{17}$
(2) $\boxed{\frac{1}{2}(a+b)}$
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，代数式表示
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题关键是将所求线段合理拆分为已知线段和可求线段的和，结合线段中点的性质简化计算，同时体现了从特殊到一般的推导思想，掌握拆分方法可快速解决同类线段计算问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示,点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上,$ AC : BC = 3 : 2 $,点 $ M $ 是 $ AB $ 的中点,点 $ N $ 是 $ BC $ 的中点。若 $ MN = 3 $,求线段 $ AB $ 的长。
答案
2.解:因为AC:BC=3:2,
所以设AC=3x,则BC=2x.
所以AB=AC+BC=3x+2x=5x.
因为点M是AB的中点,点N是BC的中点,
所以BM=2.5x,BN=x.
所以MN=BM-BN=1.5x.
因为MN=3,所以1.5x=3,
解得x=2.
所以AB=10.
所以设AC=3x,则BC=2x.
所以AB=AC+BC=3x+2x=5x.
因为点M是AB的中点,点N是BC的中点,
所以BM=2.5x,BN=x.
所以MN=BM-BN=1.5x.
因为MN=3,所以1.5x=3,
解得x=2.
所以AB=10.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的线段比例关系，采用设参数的方法将AC、BC用含相同未知数的式子表示，进而得到AB的表达式；再结合线段中点的性质，分别表示出BM、BN的长度；接着根据线段的差的关系得到MN的表达式，结合MN=3的已知条件列方程求出参数的值，最后代入AB的表达式即可得到结果。
【解析】
解：
∵ AC:BC = 3:2，
∴ 设AC = 3x，BC = 2x，
则AB = AC + BC = 3x + 2x = 5x。
∵ 点M是AB的中点，点N是BC的中点，
∴ BM = $\frac{1}{2}$AB = 2.5x，BN = $\frac{1}{2}$BC = x，
∴ MN = BM - BN = 2.5x - x = 1.5x。
又
∵ MN = 3，
∴ 1.5x = 3，
解得x = 2，
∴ AB = 5x = 5×2 = 10。
【答案】
10
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，将比例设参、方程思想与线段的性质结合考查，解题时通过设未知数将抽象的比例关系转化为具体的线段表达式，再结合已知条件建立等量关系求解，能有效提升数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的线段比例关系，采用设参数的方法将AC、BC用含相同未知数的式子表示，进而得到AB的表达式；再结合线段中点的性质，分别表示出BM、BN的长度；接着根据线段的差的关系得到MN的表达式，结合MN=3的已知条件列方程求出参数的值，最后代入AB的表达式即可得到结果。
【解析】
解：
∵ AC:BC = 3:2，
∴ 设AC = 3x，BC = 2x，
则AB = AC + BC = 3x + 2x = 5x。
∵ 点M是AB的中点，点N是BC的中点，
∴ BM = $\frac{1}{2}$AB = 2.5x，BN = $\frac{1}{2}$BC = x，
∴ MN = BM - BN = 2.5x - x = 1.5x。
又
∵ MN = 3，
∴ 1.5x = 3，
解得x = 2，
∴ AB = 5x = 5×2 = 10。
【答案】
10
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，将比例设参、方程思想与线段的性质结合考查，解题时通过设未知数将抽象的比例关系转化为具体的线段表达式，再结合已知条件建立等量关系求解，能有效提升数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图所示,$ C $ 为线段 $ AB $ 上一点,点 $ D $ 为 $ BC $ 的中点,且 $ AB = 18 $,$ AC = 4CD $,
(1) 求线段 $ AC $ 的长；
(2) 若点 $ E $ 在直线 $ AB $ 上,且 $ AE = 2 $,求线段 $ CE $ 的长。
(1) 求线段 $ AC $ 的长；
(2) 若点 $ E $ 在直线 $ AB $ 上,且 $ AE = 2 $,求线段 $ CE $ 的长。
答案
3.解:
(1)因为点D为BC的中点,所以BC=2CD.
因为AB=AC+BC,AC=4CD,AB=18,
所以4CD+2CD=18,解得CD=3.
所以AC=4×3=12.
(2)①如图①所示,当点E在点A的右侧时，
因为AC=12,AE=2,
所以CE=AC-AE=12-2=10;
②如图②所示,当点E在点A的左侧时，
因为AC=12,AE=2,
所以CE=AC+AE=12+2=14.
综上所述,CE的长为10或14.
解析
【分析】
（1）求解AC长度时，先根据点D是BC中点的性质，得到BC=2CD，再结合已知AC=4CD、AB=AC+BC=18，将AC、BC都用CD表示，建立关于CD的方程求解，再计算AC的长度即可。
（2）求解CE长度时，注意点E在直线AB上，位置存在两种情况：①点E在点A的右侧；②点E在点A的左侧，分别结合线段的和差关系计算CE的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
（1）
∵点D为BC的中点，
∴BC=2CD，
又
∵AB=AC+BC，AC=4CD，AB=18，
∴4CD + 2CD = 18，
解得CD=3，
∴AC=4×3=12。
（2）点E在直线AB上，分两种情况讨论：
①当点E在点A的右侧时，
∵AC=12，AE=2，
∴CE=AC - AE=12 - 2=10；
②当点E在点A的左侧时，
∵AC=12，AE=2，
∴CE=AC + AE=12 + 2=14。
综上所述，CE的长为10或14。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AC=12}$；
（2）线段$CE$的长为$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{14}$，对应情况如下：
①当点E在点A右侧时：
②当点E在点A左侧时：
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，第一问通过线段中点性质转化线段关系，利用方程思想即可求解；第二问需注意“直线AB”的条件，直线上的点位置不唯一，需分情况讨论，避免漏解，解题时可结合图形辅助分析。
【难度系数】
0.7
（1）求解AC长度时，先根据点D是BC中点的性质，得到BC=2CD，再结合已知AC=4CD、AB=AC+BC=18，将AC、BC都用CD表示，建立关于CD的方程求解，再计算AC的长度即可。
（2）求解CE长度时，注意点E在直线AB上，位置存在两种情况：①点E在点A的右侧；②点E在点A的左侧，分别结合线段的和差关系计算CE的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
（1）
∵点D为BC的中点，
∴BC=2CD，
又
∵AB=AC+BC，AC=4CD，AB=18，
∴4CD + 2CD = 18，
解得CD=3，
∴AC=4×3=12。
（2）点E在直线AB上，分两种情况讨论：
①当点E在点A的右侧时，
∵AC=12，AE=2，
∴CE=AC - AE=12 - 2=10；
②当点E在点A的左侧时，
∵AC=12，AE=2，
∴CE=AC + AE=12 + 2=14。
综上所述，CE的长为10或14。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AC=12}$；
（2）线段$CE$的长为$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{14}$，对应情况如下：
①当点E在点A右侧时：
②当点E在点A左侧时：
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，第一问通过线段中点性质转化线段关系，利用方程思想即可求解；第二问需注意“直线AB”的条件，直线上的点位置不唯一，需分情况讨论，避免漏解，解题时可结合图形辅助分析。
【难度系数】
0.7
