8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线与$∠ ACB$的平分线交于点$F$,过点$F$作$DE // BC$交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$,给出下列结论:①$△ BDF$和$△ CEF$都是等腰三角形;②$DE=BD+CE$;③$BC=BD+CE$;④$△ ADE$的周长$=AB+AC$;⑤$BF=CF$.其中结论正确的有（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①②④⑤
D. ②④⑤

B

9. 如图，BD 是$∠ ABC$的平分线，$AD ⊥ BD$，垂足为 D，$∠ DAC = 20°$，$∠ C = 38°$，则$∠ BAD$的度数为______．

58°

10. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=45°$.
(1) 如图，点$D$在边$AB$上，点$E$在边$AC$上，$BD=CE$，$BE$与$CD$交于点$F$.求证：$BF=CF$.
(2) 若$D$是边$AB$上的一个动点，$E$是边$AC$上的一个动点，且$BD=CE$，$BE$与$CD$交于点$F$.当$△ BFD$是等腰三角形时，求$∠ FBD$的度数.

(1)证明：
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB. 在△BCD和△CBE中，
$\begin{cases}BC = CB \\\angle DBC = \angle ECB \\BD = CE\end{cases}$ ∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴∠FCB = ∠FBC，
∴BF = CF.
(2)
∵AB = AC，∠BAC = 45°，
∴∠ABC = ∠ACB = $\frac{1}{2}(180° - \angle BAC)=\frac{1}{2}\times(180° - 45°)= 67.5°，$由 (1)知，∠FBC = ∠FCB，
∴∠FBD = ∠ECF.
设∠FBD = ∠ECF = $x，$
则∠FBC = ∠FCB = $(67.5° - x)，$∠BDF = ∠ECF + ∠BAC = $x + 45°，$∠DFB = 2∠FBC = 2$(67.5° - x)=135° - 2x.$ ∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①当BD = BF时，此时∠BDF = ∠DFB，
∴$x + 45° = 135° - 2x，$ 移项可得：$x+2x=135° - 45°，$ 即$3x = 90°，$解得$x = 30°，$即∠FBD = 30°； ②当BD = DF时，此时∠FBD = ∠DFB，
∴$x = 135° - 2x，$ 移项可得：$x + 2x=135°，$ 即$3x = 135°，$解得$x = 45°，$即∠FBD = 45°； ③当BF = DF时，此时∠FBD = ∠FDB，
∴$x = x + 45°，$不符合题意，舍去. 综上所述，∠FBD的度数为30°或45°.

11. 如图，E为$△ ABC$的外角平分线上的一点，$AE // BC$，$BF=AE$。
(1)求证：$△ ABC$是等腰三角形。
(2)求证：$AF=CE$。

(1)证明：
∵AE∥BC，
∴∠DAE = ∠B，∠EAC = ∠ACB.
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE = ∠EAC，
∴∠B = ∠ACB，
∴AB = AC，
∴△ABC是等腰三角形.
(2)由
(1)知，∠B = ∠DAE = ∠CAE. 在△ABF和△CAE中，
$\begin{cases}AB = CA \\\angle B = \angle CAE \\BF = AE\end{cases}$ ∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF = CE.

12. 如图,在$△ ABC$中,$CE$平分$∠ ACB$,交$AB$于点$E$,$EG // BC$,交$AC$于点$G$.
(1)求证:$EG=CG$.
(2)延长$EG$交$CF$于点$H$,若$G$是$EH$的中点,求证:$CF$平分$∠ ACD$.

(1)证明：
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE = ∠ECB.
∵EG∥BC，
∴∠GEC = ∠ECB，
∴∠GEC = ∠ACE，
∴EG = CG.
(2)由
(1)知，EG = CG，∠GEC = ∠GCE.
∵G是EH的中点，
∴EG = GH，
∴CG = GH，
∴∠GCH = ∠GHC，
∴∠GCE + ∠GCH = 90°，
∴∠ECB + ∠HCD = 90°.
∵∠ACE = ∠ECB，
∴∠ACH = ∠HCD，
∴CF平分∠ACD.