1.（易错题）下列命题中，错误的是 （ ）
A. 弦的垂直平分线必经过圆心
B. 弦的中点和弦所对弧的中点的连线垂直于该弦
C. 平分弦的直径必垂直于该弦
D. 垂直于弦的直径必平分该弦

C

2. (2024·新疆)如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为E. 若$CD=8$，$OD=5$，则BE的长为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

B

3. 如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，$OF ⊥ BC$于点F，$∠ BOF = 65°$，则$∠ AOD$的度数为 （ ）
A. $70°$
B. $65°$
C. $50°$
D. $45°$

C

4.（教材P83练习第2题变式）如图，在$\odot O$中，$AB$，$AC$是互相垂直的两条弦，$OD ⊥ AB$于点$D$，$OE ⊥ AC$于点$E$，且$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，那么$\odot O$的半径$OA=$______$\mathrm{cm}$.

5

5. 如图，AB，AC都是$\odot O$的弦，$OM ⊥ AB$，$ON ⊥ AC$，垂足分别为M，N．若$MN=\sqrt{5}$，则$BC=$______．

$2\sqrt{5}$

6. 如图,在半径为$\sqrt{13}$的$\odot O$中,弦$AB$与$CD$交于点$E$.若$∠ DEB=75°$,$AB=6$,$AE=1$,求$CD$的长.

解：如图，过点$O$作$OF\perp CD$于点$F，$$OG\perp AB$于点$G，$连接$OB，$$OD，$$OE。$ 因为垂径定理，所以$DF = CF=\frac{1}{2}CD，$$AG = BG=\frac{1}{2}AB = 3。$ 则$EG=AG - AE=3 - 1 = 2。$ 在$Rt\triangle BOG$中，$OB = \sqrt{13}，$由勾股定理$OG=\sqrt{OB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{(\sqrt{13})^{2}-3^{2}} = 2。$ 所以$EG = OG，$那么$\triangle EOG$是等腰直角三角形。 所以$\angle OEG = 45^{\circ}，$$OE=\sqrt{2}OG = 2\sqrt{2}。$ 因为$\angle DEB = 75^{\circ}，$所以$\angle OEF=\angle DEB-\angle OEG=75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}。$ 所以$OF=\frac{1}{2}OE=\sqrt{2}。$ 在$Rt\triangle ODF$中，$OD = \sqrt{13}，$由勾股定理得$DF=\sqrt{OD^{2}-OF^{2}}=\sqrt{(\sqrt{13})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{11}。$ 所以$CD = 2DF = 2\sqrt{11}。$ ;

7. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$. 以点$C$为圆心、$CA$长为半径的圆与$AB$交于点$D$,则$AD$的长为 （ ）
A. $\dfrac{9}{5}$
B. $\dfrac{24}{5}$
C. $\dfrac{18}{5}$
D. $\dfrac{5}{2}$

C