7. 如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$A(-2,0)$和点$B$,顶点为$C(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{9}{4})$,则下列是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的为 （ ）
A. $2$
B. $1$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{3}{2}$

B

8. (2024·齐齐哈尔改编)如图,二次函数$y=ax^2+bx+2(a≠0)$的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$,$(x_1,0)$,其中$2＜x_1＜3$.结合图象给出下列结论:① $ab＞0$;② $a-b=-2$;③ 当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小;④ 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+2=0(a≠0)$的另一个根是$-\dfrac{2}{a}$.其中,正确的个数是
$(\quad)$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

C

9. 若关于$ x $的一元二次方程$ a(x+m)^2 - 3 = 0 $的两个实数根分别为$ x_1 = -1, x_2 = 3 $，则抛物线$ y = a(x + m - 2)^2 - 3 $与$ x $轴的交点坐标为______．

$(1,0),(5,0)$

10. 二次函数$y=ax^2+bx$的图象如图所示.若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+m=0$的两个实数根异号,则$m$的取值范围是______.

$m\lt0$

11. (教材 P47 习题 22.2 第 5 题变式)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示.
（1）写出关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根；
（2）写出关于 $ x $ 的不等式 $ ax^2 + bx + c ＜ 0 $ 的解集；
（3）若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = k $ 有两个不等的实数根，求 $ k $ 的取值范围.

解：（1）由图象可知，一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根为$x_1 = 1，$$x_2 = 3。$ （2）由图象可知，不等式$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集为$x\lt1$或$x\gt3。$ （3）因为二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的顶点纵坐标为$2，$若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = k$有两个不等的实数根，则$k\lt2。$

12. 已知二次函数 $ y = x^2 - 2mx + m^2 - 1 $（$ m $ 是常数）.
（1）求证：不论 $ m $ 为何值，该函数的图象与 $ x $ 轴总有两个公共点；
（2）若该抛物线 $ y = x^2 - 2mx + m^2 - 1 $ 与 $ x $ 轴的两个交点坐标分别为 $ (x_1,0),(x_2,0) $，且 $ x_1^2 + x_2^2 = 4 $，求 $ m $ 的值.

解：（1）令$y = 0，$则$x^{2}-2mx + m^{2}-1 = 0。$ 因为$\Delta=(-2m)^{2}-4(m^{2}-1)=4m^{2}-4m^{2}+4 = 4\gt0，$ 所以不论$m$为何值，该一元二次方程总有两个不等的实数根，即不论$m$为何值，该函数的图象与$x$轴总有两个公共点。 （2）令$y = 0，$则$x^{2}-2mx + m^{2}-1 = 0，$ 由韦达定理得$x_1 + x_2 = 2m，$$x_1x_2 = m^{2}-1。$ 因为$x_1^{2}+x_2^{2}=4，$且$x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1 + x_2)^{2}-2x_1x_2，$ 所以$4m^{2}-2(m^{2}-1)=4，$ 即$4m^{2}-2m^{2}+2 = 4，$ $2m^{2}=2，$ $m^{2}=1，$ 解得$m_1 = 1，$$m_2 = -1。$ 综上所述，$m$的值为$1$或$-1。$