7. 如图,抛物线 $ y=ax^2+c $ 与直线 $ y=kx+m $ 交于 $ A(-3,y_1),B(1,y_2) $ 两点,则关于 $ x $ 的不等式 $ ax^2+kx+c ≥ m $ 的解集是 （ ）
A. $ x ≤ -3 $ 或 $ x ≥ 1 $
B. $ x ≤ -1 $ 或 $ x ≥ 3 $
C. $ -3 ≤ x ≤ 1 $
D. $ -1 ≤ x ≤ 3 $

D

8. 抛物线$y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，且经过点$(-1,0)$.若关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c-t=0$在$-1＜x＜4$的范围内有实数根，则$t$的取值范围是______.
第7题图

$-4\leqslant t＜5$

9.(2024·如东期中)可以用如下方法求方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的实数根的范围:
利用函数$y=x^2 - 2x - 2$的图像可知,当$x=0$时,$y＜0$,当$x=-1$时,$y＞0$,所以方程有一个根在$-1$和$0$之间.
(1)参考上面的方法,求方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的另一个根在哪两个连续整数之间;
(2)若方程$x^2 - 2x + c = 0$有一个根在0和1之间,求$c$的取值范围.

解：​$(1)$​利用函数​$y = x^2-2x - 2$​的图像可知，​$ $​当​$x = 2$​时，​$y=2^2-2×2 - 2=-2＜0，$​当​$x = 3$​时，​$y=3^2-2×3 - 2=1＞0，$​​$ $​所以方程的另一个根在​$2$​和​$3$​之间。​$ (2)$​函数​$y = x^2-2x + c $​的图像的对称轴为直线​$x = 1，$​ 由题意，得​$\begin {cases}c＞0 \\1 - 2 + c＜0 \end {cases}，$​​$ $​解​$1 - 2 + c＜0，$​得​$c＜1，$​​$ $​所以不等式组的解集为​$0 ＜ c＜1。$​

10.已知二次函数 $ y=x^2+x $ 的图像如图所示.
(1)根据方程的根与函数图像之间的关系,将方程 $ x^2+x=1 $ 的根在图上近似地表示出来(描点),并观察图像,写出方程 $ x^2+x=1 $ 的根(精确到0.1);
(2)在同一平面直角坐标系中画出一次函数 $ y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} $ 的图像,观察图像写出自变量 $ x $ 取值在什么范围时,一次函数的值小于二次函数的值;
(3)如图, $ P $ 是坐标平面上的一点,并在网格的格点上,请选择一种适当的平移方法,使平移后二次函数图像的顶点落在点 $ P $ 上,写出平移后二次函数的表达式,并判断点 $ P $ 是否在函数 $ y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} $ 的图像上,请说明理由.

; 解：​$(1)$​令​$y = 0，$​得​$x^2+x = 0，$​解得​$x_{1} = 0，$​​$x_{2}=-1，$​​$ $​所以抛物线与​$x$​轴的交点坐标为​$(0，0)，$​​$(-1，0)。$​​$ $​作直线​$y = 1，$​交抛物线于​$A，$​​$B$​两点，分别过​$A，$​​$B$​两点，作​$AC\perp x$​轴，垂足为​$C，$​​$BD\perp x$​轴，垂足为​$D，$​点​$C$​和点​$D$​的横坐标即为方程的根。​$ $​根据图像可知方程的解为​$x_{1}≈- 1.6，$​​$x_{2}≈0.6。$​​$ (2)$​将​$x = 0$​代入​$y=\frac {1}{2}x+\frac {3}{2}$​得​$y=\frac {3}{2}，$​将​$x = 1$​代入，得​$y = 2，$​​$ $​所以直线​$y=\frac {1}{2}x+\frac {3}{2}$​经过点​$(0，\frac {3}{2})，$​​$(1，2)。$​​$ $​画出直线​$y=\frac {1}{2}x+\frac {3}{2}$​的图像。 由函数图像可知，当​$x ＜ - 1.5$​或​$x ＞ 1$​时，一次函数的值小于二次函数的值。​$ (3)$​二次函数​$y = x^2+x=(x+\frac {1}{2})^2-\frac {1}{4}，$​其顶点坐标为​$(-\frac {1}{2}，-\frac {1}{4})。$​​$ $​将二次函数的图像先向上平移​$\frac {5}{4}$​个单位长度，再向左平移​$\frac {1}{2}$​个单位长度，​$ $​平移后的顶点坐标为​$P(-1，1)。$​​$ $​平移后的表达式为​$y=(x + 1)^2+1，$​即​$y = x^2+2x + 2。$​​$ $​点​$P $​在​$y=\frac {1}{2}x+\frac {3}{2}$​的函数图像上。 理由：把​$x=-1$​代入​$y=\frac {1}{2}x+\frac {3}{2}，$​得​$y=\frac {1}{2}×(-1)+\frac {3}{2}=1，$​​$ $​所以点​$P $​的坐标符合直线的函数表达式，点​$P $​在函数​$y=\frac {1}{2}x+\frac {3}{2}$​的图像上。