7. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,点 $I$ 是$△ ABC$的内心,$∠ AIC=124°$,点 $E$ 在 $AD$ 的延长线上,则$∠ CDE$ 的度数为 （ ）
A. $56°$
B. $62°$
C. $68°$
D. $78°$

第7题图

第9题图

C

8.(2024·雨花台区模拟)已知$△ ABC$内接于$\odot O$,点$I$是$△ ABC$的内心.若$∠ BIC=∠ BOC$,则$∠ BAC$的度数是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.

60°或108°

9.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在平面直角坐标系中的坐标分别为$(3,6),(-3,3),(7,-2)$，则$△ ABC$内心的坐标为$\underline{\hspace{3em}}$．

(2，3)

10.等腰三角形的底边长为12,腰长为10,该等腰三角形内心和外心的距离为________.

$\frac{5}{4}$

11. 如图，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，连接CD.
(1)求∠BCD的度数；
(2)若CD=4，求DM的长.

解：​$(1)$​∵​$BC$​为​$△ABC$​的外接圆​$⊙O$​的直径， ∴​$∠BAC = 90°.$​ ∵点​$M$​为​$△ABC$​的内心， ∴​$∠BAD = \frac {1}{2}∠BAC = 45°，$​ ∴​$∠BCD = ∠BAD = 45°.$​​$ (2)$​如答图，连接​$CM.$​ ∵点​$M$​为​$△ABC$​的内心， ∴​$∠BAD = ∠CAD，$​​$∠ACM = ∠BCM.$​ ∵​$∠BAD = ∠BCD，$​ ∴​$∠DAC = ∠BCD.$​ ∵​$∠DMC = ∠DAC + ∠ACM，$​​$∠DCM = ∠BCD + ∠BCM，$​ ∴​$∠DMC = ∠DCM，$​ ∴​$CD = DM.$​ ∵​$CD = 4，$​ ∴​$DM = 4.$​ ;

12. 如图，PA是$\odot O$的切线，切点为A，AC是$\odot O$的直径，连接OP交$\odot O$于点E. 过点A作$AB⊥ PO$于点D，交$\odot O$于点B，连接BC，PB.
求证:(1)PB是$\odot O$的切线；
(2)点E为$△ PAB$的内心.

证明：​$(1)$​如答图，连接​$OB.$​ ∵​$AC$​为​$⊙O$​的直径， ∴​$∠ABC = 90°.$​ ∵​$AB⊥PO，$​ ∴​$∠ADO = ∠ABC = 90°，$​ ∴​$PO∥BC，$​ ∴​$∠AOP = ∠C，$​​$∠POB = ∠OBC.$​ ∵​$OB = OC，$​ ∴​$∠OBC = ∠C，$​ ∴​$∠AOP = ∠POB.$​​$ $​在​$△AOP $​和​$△BOP_{中}，$​ $\begin{cases}OA = OB,\\∠AOP = ∠BOP,\\PO = PO,\end{cases}$ ∴​$△AOP≌△BOP(\mathrm {SAS})，$​ ∴​$∠OBP = ∠OAP.$​ ∵​$PA$​为​$⊙O$​的切线， ∴​$∠OAP = 90°，$​ ∴​$∠OBP = 90°，$​ ∴​$PB$​是​$⊙O$​的切线​$.$​​$ (2)$​如答图，连接​$AE.$​ ∵​$PA$​为​$⊙O$​的切线， ∴​$∠PAE + ∠OAE = 90°.$​ ∵​$AD⊥ED，$​ ∴​$∠EAD + ∠AED = 90°.$​ ∵​$OE = OA，$​ ∴​$∠OAE = ∠AED，$​ ∴​$∠PAE = ∠DAE，$​即​$AE$​平分​$∠PAD.$​ ∵​$△AOP≌△BOP，$​ ∴​$∠OPA = ∠OPB，$​ ∴​$PD$​平分​$∠APB，$​ ∴点​$E$​为​$△PAB$​的内心​$.$​ ;