20. 为加深对函数的认识,李老师引导同学们对函数$y = \frac{x}{x + 1}$的图象与性质进行探究,过程如下,请完成探究过程。
【初步感知】
(1)函数$y = \frac{x}{x + 1}的自变量x$的取值范围是______。
【作出图象】
(2)①列表：
| $x$ | ... | -3 | -2 | $m$ | $-\frac{3}{2}$ | $-\frac{5}{4}$ | $-\frac{3}{4}$ |
| $y$ | ... | $\frac{3}{2}$ | 2 | $\frac{7}{3}$ | 3 | 5 | -3 |
| $x$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{4}$ | 0 | 1 | 2 | 3 | ... |
| $y$ | -1 | $-\frac{1}{3}$ | $n$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{3}{4}$ | ... |

表中$m = $______,$n = $______；
②描点,连线：在平面直角坐标系中,描出以表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点画出该函数的图象。
【研究性质】
(3)小明观察图象,发现这个图象为双曲线,进一步研究后,小明将函数$y = \frac{x}{x + 1}转化为y = 1 - \frac{1}{x + 1}$,他判断该函数图象就是反比例函数$y = -\frac{1}{x}$的图象通过某种平移转化而来。反比例函数$y = -\frac{1}{x}$的图象是中心对称图形,对称中心为$(0,0)$,则函数$y = \frac{x}{x + 1}$的图象的对称中心为______。
【拓展应用】
(4)当$1 \leq x \leq 4$时,关于$x的方程kx + 1 = \frac{x}{x + 1}$有实数解,求$k$的取值范围。

1. （1）
对于函数$y = \frac{x}{x + 1}$，因为分母不能为$0$，即$x+1\neq0$，所以$x\neq - 1$。
2. （2）①
当$y=\frac{7}{3}$时，$\frac{7}{3}=\frac{x}{x + 1}$，
交叉相乘得$7(x + 1)=3x$，
展开式子：$7x+7 = 3x$，
移项：$7x-3x=-7$，
合并同类项：$4x=-7$，解得$x =-\frac{7}{4}$；
当$x = 0$时，$y=\frac{0}{0 + 1}=0$，所以$m =-\frac{7}{4}$，$n = 0$。
3. （3）
对于函数$y = 1-\frac{1}{x + 1}$，它是由$y =-\frac{1}{x}$向左平移$1$个单位，再向上平移$1$个单位得到的。
设$y =-\frac{1}{x}$上一点$(x,y)$平移后为$(x',y')$，则$\begin{cases}x'=x - 1\\y'=y + 1\end{cases}$，$y =-\frac{1}{x}$的对称中心$(0,0)$，那么$x = 0$，$y = 0$时，$x'=-1$，$y'=1$，所以函数$y=\frac{x}{x + 1}$的图象的对称中心为$(-1,1)$。
4. （4）
已知$kx + 1=\frac{x}{x + 1}$，移项可得$kx=\frac{x}{x + 1}-1$，进一步化简：
$kx=\frac{x-(x + 1)}{x + 1}=\frac{x-x - 1}{x + 1}=-\frac{1}{x + 1}$，所以$k=-\frac{1}{x(x + 1)}$。
设$y = x(x + 1)=x^{2}+x=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$，当$1\leq x\leq4$时，$y = x(x + 1)$在$[1,4]$上单调递增。
当$x = 1$时，$y=1×(1 + 1)=2$；当$x = 4$时，$y=4×(4 + 1)=20$。
所以$2\leq x(x + 1)\leq20$，则$\frac{1}{20}\leq\frac{1}{x(x + 1)}\leq\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}\leq-\frac{1}{x(x + 1)}\leq-\frac{1}{20}$。
综上，答案依次为：（1）$x\neq - 1$；（2）①$-\frac{7}{4}$，$0$；（3）$(-1,1)$；（4）$-\frac{1}{2}\leq k\leq-\frac{1}{20}$。