21. 在$\triangle ABC$中,$BE是AC$边上的中线,点$D在射线BC$上。

(1)猜想：如图①所示,若点$D在BC$边上,$BD:BC = 3:4$,$AD与BE相交于点P$,过点$A作AF // BC$,交$BE的延长线于点F$,则$\frac{AP}{PD}$的值为______。
(2)探究：如图②所示,点$D在BC$的延长线上,$AD与BE的延长线交于点P$,$CD:BC = 1:3$,求$\frac{AP}{PD}$的值。

(3)应用：如图③所示,在(2)的条件下,且$\angle ACB = 90^\circ$。若$CD = 4$,$AC = 12$,求$BP$的值。

(1) $\frac{2}{1}$
(2) 解：过点$A$作$AF// BD$交$BE$的延长线于点$F$。
$\because AF// BD$，$\therefore \angle F=\angle EBC$，$\angle FAE=\angle C$。
$\because E$是$AC$中点，$\therefore AE=CE$。
$\therefore \triangle AEF\cong \triangle CEB(AAS)$，$\therefore AF=BC$。
$\because CD:BC=1:3$，设$CD=k$，$BC=3k$，则$BD=BC+CD=4k$。
$\because AF// BD$，$\therefore \triangle AFP\sim \triangle DBP$。
$\therefore \frac{AP}{PD}=\frac{AF}{BD}=\frac{BC}{BD}=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}$。
(3) 解：$\because CD=4$，$CD:BC=1:3$，$\therefore BC=12$。
$\because \angle ACB=90^\circ$，$AC=12$，$E$为$AC$中点，$\therefore CE=6$。
在$Rt\triangle BCE$中，$BE=\sqrt{CE^2+BC^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}$。
由(2)知$\frac{AP}{PD}=\frac{3}{4}$，设$AP=3m$，$PD=4m$，则$AD=7m$。
$\because AF=BC=12$，$BD=16$，$\triangle AFP\sim \triangle DBP$，$\frac{AF}{BD}=\frac{3}{4}$，$\therefore \frac{PF}{PB}=\frac{3}{4}$。
设$PF=3n$，$PB=4n$，则$BF=PF+PB=7n$。
$\because \triangle AEF\cong \triangle CEB$，$\therefore EF=BE=6\sqrt{5}$，$\therefore BF=BE+EF=12\sqrt{5}$。
$\therefore 7n=12\sqrt{5}$，$n=\frac{12\sqrt{5}}{7}$，$\therefore BP=4n=\frac{48\sqrt{5}}{7}$。