5. 如图，在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点$D$在$AC$上，$\angle DBC = \angle A$.若$AC = 4$，$\cos A = \frac{4}{5}$，则$BD$的长度为().

A.$\frac{9}{4}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{15}{4}$
D.$4$

5.C

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=4$，$\cos A=\frac{4}{5}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$，则$AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5$，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$，
设$CD=x$，则$AD=AC-CD=4-x$，
$\because \angle DBC=\angle A$，$\angle C=\angle C$，
$\therefore \triangle BCD\sim\triangle ACB$，
$\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$，即$\frac{x}{3}=\frac{3}{4}$，解得$x=\frac{9}{4}$，
在$Rt\triangle BCD$中，$BD=\sqrt{CD^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\frac{9}{4})^{2}+3^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}+\frac{144}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$。
$\frac{15}{4}$

6. 在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 2$，$BC = 1$，则$\tan A$的值是.

6.$\frac{1}{2}$

解：在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=2$，$BC=1$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2}$

7. 如图，在$ Rt \bigtriangleup BAD$中，$\angle BAD = 90^{\circ}$，延长斜边$BD$到点$C$，使$DC = \frac{1}{2}BD$，连接$AC$.若$\tan B = \frac{5}{3}$，则$\tan \angle CAD$的值是.

7.$\frac{1}{5}$

解：设 $ AD = 5k $，$ AB = 3k $（$ k ＞ 0 $）。
在 $ Rt\triangle BAD $ 中，由勾股定理得 $ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(3k)^2 + (5k)^2} = \sqrt{34}k $。
过 $ D $ 作 $ DE \perp AD $ 交 $ AC $ 于 $ E $，则 $ DE // AB $，
$\triangle CDE \sim \triangle CBA$，$\frac{DE}{AB} = \frac{CD}{CB} = \frac{1}{3}$，故 $ DE = \frac{1}{3}AB = k $。
$\tan \angle CAD = \frac{DE}{AD} = \frac{k}{5k} = \frac{1}{5}$。
$\frac{1}{5}$

8. 在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$.以点$A$为圆心，以$BC$长为半径画弧交$AB$于点$D$.分别以点$A$，$D$为圆心，以$AB$长为半径画弧，两弧交于点$E$.连接$AE$，$DE$，则$\angle EAD$的余弦值等于.

8.$\frac{\sqrt{3}}{6}$

解：设 $ BC = x $。
在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，
$\therefore AC = 2BC = 2x$，$AB = \sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$。
由题意，$AD = BC = x$，$AE = DE = AB = \sqrt{3}x$。
过点 $ E $ 作 $ EF \perp AD $ 于点 $ F $，设 $ AF = y $，则 $ DF = AD - AF = x - y $。
在 $ Rt\triangle AEF $ 中，$EF^{2} = AE^{2}-AF^{2}=(\sqrt{3}x)^{2}-y^{2}=3x^{2}-y^{2}$。
在 $ Rt\triangle DEF $ 中，$EF^{2}=DE^{2}-DF^{2}=(\sqrt{3}x)^{2}-(x - y)^{2}=3x^{2}-(x^{2}-2xy + y^{2})=2x^{2}+2xy - y^{2}$。
$\therefore 3x^{2}-y^{2}=2x^{2}+2xy - y^{2}$，解得 $ y=\frac{x}{2} $。
$\therefore \cos\angle EAD=\frac{AF}{AE}=\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。
$\frac{\sqrt{3}}{6}$

9. 如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$\tan B = \cos \angle DAC$.
(1) 求证$AC = BD$.
(2) 若$\cos C = \frac{5}{13}$，$BC = 18$，求$AD$的长.

9.(1)$\tan B = \frac{AD}{BD}$，$\cos\angle DAC = \frac{AD}{AC}$，
$\because \tan B = \cos\angle DAC$，$\therefore AC = BD$。
(2)设$DC = 5x$。$\because \cos C = \frac{5}{13}$，
$\therefore AC = BD = 13x$，$\therefore BC = 18x = 18$，$x = 1$。
$\therefore DC = 5$，$AC = 13$，$\therefore AD = 12$。