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5. 计算$(a - 2b + 3c)(a - 3c - 2b)$.
答案
$(a - 2b + 3c)(a - 3c - 2b)$
$= \lbrack(a - 2b) + 3c\rbrack\lbrack(a - 2b) - 3c\rbrack$
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，这里$x = a - 2b$，$y = 3c$，则：
原式$=(a - 2b)^{2}-(3c)^{2}$
根据完全平方公式$(m - n)^2=m^2-2mn + n^2$，这里$m = a$，$n = 2b$，则$(a - 2b)^{2}=a^{2}-4ab + 4b^{2}$，$(3c)^{2}=9c^{2}$。
所以原式$=a^{2}-4ab + 4b^{2}-9c^{2}$
$= \lbrack(a - 2b) + 3c\rbrack\lbrack(a - 2b) - 3c\rbrack$
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，这里$x = a - 2b$，$y = 3c$，则：
原式$=(a - 2b)^{2}-(3c)^{2}$
根据完全平方公式$(m - n)^2=m^2-2mn + n^2$，这里$m = a$，$n = 2b$，则$(a - 2b)^{2}=a^{2}-4ab + 4b^{2}$，$(3c)^{2}=9c^{2}$。
所以原式$=a^{2}-4ab + 4b^{2}-9c^{2}$
1.(易错题)下列添括号正确的是().
A.$a + b - c = a - (b - c)$
B.$a + b - c = a + (b - c)$
C.$a - b - c = a - (b - c)$
D.$a - b + c = a + (b - c)$
A.$a + b - c = a - (b - c)$
B.$a + b - c = a + (b - c)$
C.$a - b - c = a - (b - c)$
D.$a - b + c = a + (b - c)$
答案
B
解析
根据添括号法则，当括号前是“+”号时，括到括号里的各项都不变号；当括号前是“-”号时，括到括号里的各项都改变符号。
A. $a + b - c = a - (-b + c)\neq a - (b - c)$，所以A错误。
B. $a + b - c = a + (b - c)$，所以B正确。
C. $a - b - c = a - (b + c)\neq a - (b - c)$，所以C错误。
D. $a - b + c = a + (-b + c)\neq a + (b - c)$，所以D错误。
A. $a + b - c = a - (-b + c)\neq a - (b - c)$，所以A错误。
B. $a + b - c = a + (b - c)$，所以B正确。
C. $a - b - c = a - (b + c)\neq a - (b - c)$，所以C错误。
D. $a - b + c = a + (-b + c)\neq a + (b - c)$，所以D错误。
2. 在下列各式的括号内填上适当的项.
(1)$x^{3} - 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3} = x^{3} +$();
(2)$4 - x^{2} + 3xy - 2y^{2} = 4 -$().
(1)$x^{3} - 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3} = x^{3} +$();
(2)$4 - x^{2} + 3xy - 2y^{2} = 4 -$().
答案
(1)$- 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3}$，
(2)$x^{2} - 3xy + 2y^{2}$。
(2)$x^{2} - 3xy + 2y^{2}$。
解析
(1) 要将 $x^{3} - 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3}$ 写成 $x^{3} + ( 填空部分)$ 的形式，只需将后三项括起来，并保留它们的符号。即：
$x^{3} - 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3} = x^{3} + (- 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3})$
所以填空处应填：$- 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3}$。
(2) 要将 $4 - x^{2} + 3xy - 2y^{2}$ 写成 $4 - ( 填空部分)$ 的形式，需要将后三项括起来，并注意改变它们的符号。即：
$4 - x^{2} + 3xy - 2y^{2} = 4 - (x^{2} - 3xy + 2y^{2})$
所以填空处应填：$x^{2} - 3xy + 2y^{2}$。
$x^{3} - 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3} = x^{3} + (- 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3})$
所以填空处应填：$- 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3}$。
(2) 要将 $4 - x^{2} + 3xy - 2y^{2}$ 写成 $4 - ( 填空部分)$ 的形式，需要将后三项括起来，并注意改变它们的符号。即：
$4 - x^{2} + 3xy - 2y^{2} = 4 - (x^{2} - 3xy + 2y^{2})$
所以填空处应填：$x^{2} - 3xy + 2y^{2}$。
3. 已知$2a - 3b^{2} = 5$,则$10 - 2a + 3b^{2} = 10 -$()=.
答案
$2a - 3b^{2}$（第一个空），$5$（第二个空）
解析
已知$2a-3b^2=5$。
原式$10-2a+3b^2$可以变形为$10-(2a-3b^2)$，
将$2a-3b^2=5$代入，
则$10-(2a-3b^2)=10 - 5=5$，
所以$10 - 2a + 3b^2=10-(2a - 3b^2)=5$。
原式$10-2a+3b^2$可以变形为$10-(2a-3b^2)$，
将$2a-3b^2=5$代入，
则$10-(2a-3b^2)=10 - 5=5$，
所以$10 - 2a + 3b^2=10-(2a - 3b^2)=5$。
4. 为了运用平方差公式计算$(m - n + 1)(m - n - 1)$,下列变形正确的是().
A.$[(m - n) - 1]^{2}$
B.$[m - (n - 1)]^{2}$
C.$[(m - n) + 1][(m - n) - 1]$
D.$[m - (n - 1)][m - (n + 1)]$
A.$[(m - n) - 1]^{2}$
B.$[m - (n - 1)]^{2}$
C.$[(m - n) + 1][(m - n) - 1]$
D.$[m - (n - 1)][m - (n + 1)]$
答案
C
解析
平方差公式为$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，需将原式构造成两数和与两数差的乘积形式。观察$(m - n + 1)(m - n - 1)$，可把$(m - n)$看作一个整体，那么原式变形为$[(m - n) + 1][(m - n) - 1]$，符合平方差公式结构。选项A、B是完全平方形式，不符合；选项D变形后为$(m - n + 1)(m - n - 1)$，虽结果一致，但未直接体现平方差公式所需的$(a + b)(a - b)$结构，C选项最直接正确。
5. 若$x = 5 - y$,则$5 - x^{2} - 2xy - y^{2}$的值为.
答案
（这里假设是填空题，直接填数值）-20
解析
已知$x = 5 - y$，移项可得$x + y = 5$。
对$5 - x^{2} - 2xy - y^{2}$进行变形可得：
$5 - x^{2} - 2xy - y^{2}=5-(x^{2}+2xy + y^{2})$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这里$a = x$，$b = y$，则$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^{2}$。
所以$5-(x^{2}+2xy + y^{2})=5-(x + y)^{2}$。
把$x + y = 5$代入$5-(x + y)^{2}$可得：
$5 - 5^{2}=5 - 25=-20$。
对$5 - x^{2} - 2xy - y^{2}$进行变形可得：
$5 - x^{2} - 2xy - y^{2}=5-(x^{2}+2xy + y^{2})$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，这里$a = x$，$b = y$，则$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^{2}$。
所以$5-(x^{2}+2xy + y^{2})=5-(x + y)^{2}$。
把$x + y = 5$代入$5-(x + y)^{2}$可得：
$5 - 5^{2}=5 - 25=-20$。
6. 计算:
(1)$(x - 3y - 1)(x - 3y + 1)$;
(2)$(a + b - c)^{2}$.
(1)$(x - 3y - 1)(x - 3y + 1)$;
(2)$(a + b - c)^{2}$.
答案
(1)
$\begin{aligned}&(x - 3y - 1)(x - 3y + 1)\\=&[(x - 3y)-1][(x - 3y)+1]\\=&(x - 3y)^{2}-1^{2}\\=&x^{2}-6xy + 9y^{2}-1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(a + b - c)^{2}\\=&[(a + b)-c]^{2}\\=&(a + b)^{2}-2c(a + b)+c^{2}\\=&a^{2}+2ab + b^{2}-2ac-2bc + c^{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(x - 3y - 1)(x - 3y + 1)\\=&[(x - 3y)-1][(x - 3y)+1]\\=&(x - 3y)^{2}-1^{2}\\=&x^{2}-6xy + 9y^{2}-1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(a + b - c)^{2}\\=&[(a + b)-c]^{2}\\=&(a + b)^{2}-2c(a + b)+c^{2}\\=&a^{2}+2ab + b^{2}-2ac-2bc + c^{2}\end{aligned}$
7. 当$x = 1$时,$ax + b + 1$的值为 -2,则$(a + b - 1)(1 - a - b)$的值为().
A.-16
B.-8
C.8
D.16
A.-16
B.-8
C.8
D.16
答案
A
解析
当$x=1$时，$ax + b + 1 = -2$，代入$x=1$得：$a + b + 1 = -2$，即$a + b = -3$。
原式$(a + b - 1)(1 - a - b)$可化简为$( (a + b) - 1 )( 1 - (a + b) )$。
设$a + b = -3$，则原式为$(-3 - 1)(1 - (-3)) = (-4) × 4 = -16$。
原式$(a + b - 1)(1 - a - b)$可化简为$( (a + b) - 1 )( 1 - (a + b) )$。
设$a + b = -3$，则原式为$(-3 - 1)(1 - (-3)) = (-4) × 4 = -16$。
8. 计算:
(1)$(x - 2y + 1)^{2}$;
(2)$(a - 2b + 3c)(a + 2b - 3c)$.
(1)$(x - 2y + 1)^{2}$;
(2)$(a - 2b + 3c)(a + 2b - 3c)$.
答案
(1) $(x - 2y + 1)^{2}$
$\begin{aligned}&=[(x - 2y) + 1]^{2}\\&=(x - 2y)^{2} + 2(x - 2y)·1 + 1^{2}\\&=x^{2} - 4xy + 4y^{2} + 2x - 4y + 1\end{aligned}$
(2) $(a - 2b + 3c)(a + 2b - 3c)$
$\begin{aligned}&=[a - (2b - 3c)][a + (2b - 3c)]\\&=a^{2} - (2b - 3c)^{2}\\&=a^{2} - (4b^{2} - 12bc + 9c^{2})\\&=a^{2} - 4b^{2} + 12bc - 9c^{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=[(x - 2y) + 1]^{2}\\&=(x - 2y)^{2} + 2(x - 2y)·1 + 1^{2}\\&=x^{2} - 4xy + 4y^{2} + 2x - 4y + 1\end{aligned}$
(2) $(a - 2b + 3c)(a + 2b - 3c)$
$\begin{aligned}&=[a - (2b - 3c)][a + (2b - 3c)]\\&=a^{2} - (2b - 3c)^{2}\\&=a^{2} - (4b^{2} - 12bc + 9c^{2})\\&=a^{2} - 4b^{2} + 12bc - 9c^{2}\end{aligned}$
9. (运算能力)已知$(2a + 2b + 3)(2a + 2b - 3) = 55$,求$a + b$的值.
答案
设$x = 2a + 2b$，则原式可化为$(x + 3)(x - 3) = 55$。
根据平方差公式：$x^2 - 3^2 = 55$，即$x^2 - 9 = 55$。
移项得：$x^2 = 55 + 9 = 64$，解得$x = \pm8$。
因为$x = 2a + 2b = 2(a + b)$，所以$2(a + b) = 8$或$2(a + b) = -8$。
解得$a + b = 4$或$a + b = -4$。
综上，$a + b$的值为$\pm4$。
根据平方差公式：$x^2 - 3^2 = 55$，即$x^2 - 9 = 55$。
移项得：$x^2 = 55 + 9 = 64$，解得$x = \pm8$。
因为$x = 2a + 2b = 2(a + b)$，所以$2(a + b) = 8$或$2(a + b) = -8$。
解得$a + b = 4$或$a + b = -4$。
综上，$a + b$的值为$\pm4$。
