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添括号法则
(1)文字叙述:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都符号.
(2)符号叙述:$a + b + c =$;$a - b - c =$.
(1)文字叙述:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都符号.
(2)符号叙述:$a + b + c =$;$a - b - c =$.
答案
（1）不改变；改变；（2）$a+(b+c)$；$a-(b+c)$
解析
（1）根据添括号法则，括号前是正号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是负号，括到括号里的各项都改变符号。
（2）$a + b + c$添括号，括号前为正号，各项符号不变，可写成$a+(b+c)$；$a - b - c$添括号，括号前为负号，$b$和$c$的符号改变，可写成$a-(b+c)$。
（2）$a + b + c$添括号，括号前为正号，各项符号不变，可写成$a+(b+c)$；$a - b - c$添括号，括号前为负号，$b$和$c$的符号改变，可写成$a-(b+c)$。
【例1】下列添括号正确的是().
A.$-b - c = -(b - c)$
B.$-2x + 6y = -2(x - 6y)$
C.$a - b = +(a - b)$
D.$x - y - 1 = x - (y - 1)$
A.$-b - c = -(b - c)$
B.$-2x + 6y = -2(x - 6y)$
C.$a - b = +(a - b)$
D.$x - y - 1 = x - (y - 1)$
答案
C
解析
A. 对于 $-b - c$，若添加括号为 $-(b - c)$，则展开后为 $-b + c$，与原式 $-b - c$ 不相等，故 A 选项错误。
B. 对于 $-2x + 6y$，若添加括号为 $-2(x - 6y)$，则展开后为 $-2x + 12y$，与原式 $-2x + 6y$ 不相等，故 B 选项错误。
C. 对于 $a - b$，若添加括号为 $+(a - b)$，则展开后仍为 $a - b$，与原式 $a - b$ 相等，故 C 选项正确。
D. 对于 $x - y - 1$，若添加括号为 $x - (y - 1)$，则展开后为 $x - y + 1$，与原式 $x - y - 1$ 不相等，故 D 选项错误。
B. 对于 $-2x + 6y$，若添加括号为 $-2(x - 6y)$，则展开后为 $-2x + 12y$，与原式 $-2x + 6y$ 不相等，故 B 选项错误。
C. 对于 $a - b$，若添加括号为 $+(a - b)$，则展开后仍为 $a - b$，与原式 $a - b$ 相等，故 C 选项正确。
D. 对于 $x - y - 1$，若添加括号为 $x - (y - 1)$，则展开后为 $x - y + 1$，与原式 $x - y - 1$ 不相等，故 D 选项错误。
【变式1】在等号右边的括号内填上适当的项:
(1)$a + b - c + d = a +$();
(2)$a - b + c - d = a -$();
(3)$a - b - c - d = a -$();
(4)$a + b + c + d = a -$().
(1)$a + b - c + d = a +$();
(2)$a - b + c - d = a -$();
(3)$a - b - c - d = a -$();
(4)$a + b + c + d = a -$().
答案
(1)$b - c + d$；(2)$b - c + d$；(3)$b + c + d$；(4)$-b - c - d$
解析
(1)根据添括号法则，括号前是“+”，括到括号里的各项都不变号，所以$a + b - c + d = a + (b - c + d)$；
(2)括号前是“-”，括到括号里的各项都变号，$a - b + c - d = a - (b - c + d)$；
(3)同理，$a - b - c - d = a - (b + c + d)$；
(4)$a + b + c + d = a - (-b - c - d)$。
(2)括号前是“-”，括到括号里的各项都变号，$a - b + c - d = a - (b - c + d)$；
(3)同理，$a - b - c - d = a - (b + c + d)$；
(4)$a + b + c + d = a - (-b - c - d)$。
【例2】若$m^{2} + 2m - 1 = 0$,则$3 - 2m^{2} - 4m$的值是().
A.1
B.-1
C.5
D.-3
A.1
B.-1
C.5
D.-3
答案
A
解析
由已知条件 $m^{2} + 2m - 1 = 0$，可得 $m^{2} + 2m = 1$。
将表达式 $3 - 2m^{2} - 4m$ 进行变形，提取公因数$-2$，得到：
$3 - 2m^{2} - 4m = 3 - 2(m^{2} + 2m)$
将 $m^{2} + 2m = 1$ 代入上式，得到：
$3 - 2 × 1 = 3 - 2 = 1$
将表达式 $3 - 2m^{2} - 4m$ 进行变形，提取公因数$-2$，得到：
$3 - 2m^{2} - 4m = 3 - 2(m^{2} + 2m)$
将 $m^{2} + 2m = 1$ 代入上式，得到：
$3 - 2 × 1 = 3 - 2 = 1$
【变式2】计算:
(1)$(2a - b + 3c)^{2}$;
(2)$(a + b - c)(a + b + c)$.
(1)$(2a - b + 3c)^{2}$;
(2)$(a + b - c)(a + b + c)$.
答案
(1)
$\begin{aligned}(2a - b + 3c)^{2} \\= [2a+(-b + 3c)]^{2} \\= (2a)^{2}+2×2a×(-b + 3c)+(-b + 3c)^{2} \\= 4a^{2}-4ab + 12ac+(b^{2}-6bc + 9c^{2}) \\= 4a^{2}-4ab + 12ac + b^{2}-6bc + 9c^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(a + b - c)(a + b + c) \\=&[(a + b)-c][(a + b)+c] \\=&(a + b)^{2}-c^{2} \\=&a^{2}+2ab + b^{2}-c^{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}(2a - b + 3c)^{2} \\= [2a+(-b + 3c)]^{2} \\= (2a)^{2}+2×2a×(-b + 3c)+(-b + 3c)^{2} \\= 4a^{2}-4ab + 12ac+(b^{2}-6bc + 9c^{2}) \\= 4a^{2}-4ab + 12ac + b^{2}-6bc + 9c^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(a + b - c)(a + b + c) \\=&[(a + b)-c][(a + b)+c] \\=&(a + b)^{2}-c^{2} \\=&a^{2}+2ab + b^{2}-c^{2}\end{aligned}$
1. 下列添括号正确的是().
A.$a - b + c = a - (b + c)$
B.$a - b + c = a - (-b - c)$
C.$a - b + c = a - (b - c)$
D.$a - b + c = a + (b - c)$
A.$a - b + c = a - (b + c)$
B.$a - b + c = a - (-b - c)$
C.$a - b + c = a - (b - c)$
D.$a - b + c = a + (b - c)$
答案
C
解析
根据添括号法则，括号前是“-”，括到括号里的各项都变号。A选项括号内应为$b - c$，错误；B选项括号内应为$b - c$，错误；C选项$a - (b - c) = a - b + c$，正确；D选项括号内应为$-b + c$，错误。
2. 运用乘法公式计算$(x + 2y - 1)(x - 2y + 1)$时,下列变形正确的是().
A.$[x - (2y + 1)]^{2}$
B.$[x + (2y - 1)][x - (2y - 1)]$
C.$[x + (2y + 1)]^{2}$
D.$[(x - 2y) + 1][(x - 2y) - 1]$
A.$[x - (2y + 1)]^{2}$
B.$[x + (2y - 1)][x - (2y - 1)]$
C.$[x + (2y + 1)]^{2}$
D.$[(x - 2y) + 1][(x - 2y) - 1]$
答案
B
解析
原式为 $(x + 2y - 1)(x - 2y + 1)$，观察发现，可以将其看作 $x$ 与 $(2y - 1)$ 的和与差的乘积，即：
$[x + (2y - 1)][x - (2y - 1)]$，这与选项B相符。
$[x + (2y - 1)][x - (2y - 1)]$，这与选项B相符。
3. 运用完全平方公式计算$(x - 3y + 2z)^{2}$,下列变形不正确的是().
A.$[(x - 3y) + 2z]^{2}$
B.$[(x + 2z) - 3y]^{2}$
C.$[x - (3y + 2z)]^{2}$
D.$[x + (2z - 3y)]^{2}$
A.$[(x - 3y) + 2z]^{2}$
B.$[(x + 2z) - 3y]^{2}$
C.$[x - (3y + 2z)]^{2}$
D.$[x + (2z - 3y)]^{2}$
答案
C
解析
本题可根据添括号法则以及完全平方公式的形式，对各选项逐一分析。
完全平方公式为$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，在运用完全平方公式计算$(x - 3y + 2z)^{2}$时，需要将其变形为两数和的平方的形式。
选项A：将$x - 3y$看作一个整体，那么$(x - 3y + 2z)^{2}=[(x - 3y)+2z]^{2}$，该变形正确。
选项B：将$x + 2z$看作一个整体，则$(x - 3y + 2z)^{2}=[(x + 2z)-3y]^{2}$，此变形正确。
选项C：$[x - (3y + 2z)]^{2}=(x - 3y - 2z)^{2}$，与原式$(x - 3y + 2z)^{2}$不相等，该变形不正确。
选项D：将$2z - 3y$看作一个整体，有$(x - 3y + 2z)^{2}=[x+(2z - 3y)]^{2}$，这个变形正确。
4. 计算:$2024^{2} - 2025×2023 =$.
答案
$1$
解析
利用平方差公式 $a^{2} - (a+1)(a-1) =a^{2} -(a^{2} - 1)= 1$，其中$a = 2024$，$2025 = 2024 + 1$，$2023 = 2024 - 1$，将其代入到原式中：
$2024^{2}-2025×2023$
$= 2024^{2} - (2024 + 1)×(2024 - 1)$
$= 2024^{2} - (2024^{2} - 1)$
$= 2024^{2} - 2024^{2} + 1$
$= 1$
$2024^{2}-2025×2023$
$= 2024^{2} - (2024 + 1)×(2024 - 1)$
$= 2024^{2} - (2024^{2} - 1)$
$= 2024^{2} - 2024^{2} + 1$
$= 1$
