6. (2025昆明期中)计算$(-\frac{3}{m})^2·\frac{m}{9}$，结果是().

A.$-\frac{1}{m}$
B.$-m$
C.$\frac{1}{m}$
D.$m$

C

$(-\frac{3}{m})^2·\frac{m}{9}=\frac{9}{m^2}·\frac{m}{9}=\frac{1}{m}$

7. 计算$(\frac{a - b}{b})^2·\frac{b}{a^2 - b^2}$，结果是().

A.$\frac{1}{b}$
B.$\frac{a - b}{ab + b^2}$
C.$\frac{a - b}{a + b}$
D.$\frac{1}{ab + b^2}$

B

原式$=(\frac{a - b}{b})^2·\frac{b}{a^2 - b^2}=\frac{(a - b)^2}{b^2}·\frac{b}{(a + b)(a - b)}=\frac{(a - b)^2· b}{b^2·(a + b)(a - b)}=\frac{a - b}{b(a + b)}=\frac{a - b}{ab + b^2}$

8. 计算：
(1) $(\frac{2ab^3}{-c^2d})^2÷\frac{6a^4}{b^3}·(\frac{-3c}{b^2})^2$；
(2) $\frac{2x - 6}{x^2 - 4x + 4}÷\frac{3 - x}{4x^2 - 16}·(\frac{x - 2}{x + 2})^2$.

(1)
原式$=(\frac{2ab^3}{-c^2d})^2÷\frac{6a^4}{b^3}·(\frac{-3c}{b^2})^2$
$=\frac{4a^{2}b^{6}}{c^{4}d^{2}}·\frac{b^{3}}{6a^{4}}·\frac{9c^{2}}{b^{4}}$
$=\frac{4a^{2}b^{6}· b^{3}·9c^{2}}{c^{4}d^{2}·6a^{4}· b^{4}}$
$=\frac{6b^{5}}{a^{2}c^{2}d^{2}}$
(2)
原式$=\frac{2(x - 3)}{(x - 2)^2}÷\frac{3 - x}{4(x + 2)(x - 2)}·\frac{(x - 2)^2}{(x + 2)^2}$
$=\frac{2(x - 3)}{(x - 2)^2}·\frac{4(x + 2)(x - 2)}{-(x - 3)}·\frac{(x - 2)^2}{(x + 2)^2}$
$=-\frac{8(x - 2)}{x + 2}$

9. 计算$(\frac{a + b}{a - b})^2÷(\frac{a + b}{a - b})^2·\frac{a + b}{a - b}$，结果是().

A.$\frac{a - b}{a + b}$
B.$\frac{a + b}{a - b}$
C.$(\frac{a + b}{a - b})^2$
D.$1$

B

原式可表示为：$(\frac{a + b}{a - b})^2 ÷ (\frac{a + b}{a - b})^2 · \frac{a + b}{a - b}$，
根据乘除混合运算顺序，先进行除法运算：
$(\frac{a + b}{a - b})^2 ÷ (\frac{a + b}{a - b})^2 = 1$，
再进行乘法运算：
$1 · \frac{a + b}{a - b} = \frac{a + b}{a - b}$。
所以，最终结果为$\frac{a + b}{a - b}$。

10. 下列运算中，正确的是().

A.$m^2÷ m^2 = 0$
B.$(m - n)^2 = m^2 - n^2$
C.$(\frac{n}{2m})^3 = \frac{n^3}{2m^3}$
D.$mn÷\frac{n}{m} = m^2$

D

A. 根据同底数幂的除法法则，$m^{2} ÷ m^{2} = m^{2-2} = m^{0} = 1$（$m \neq 0$），与选项中的$m^2÷ m^2 = 0$不符，所以A选项错误。
B. 根据完全平方公式，$(m - n)^{2} = m^{2} - 2mn + n^{2}$，与选项中的$(m - n)^2 = m^2 - n^2$不符，所以B选项错误。
C. 根据积的乘方法则，$(\frac{n}{2m})^{3} = \frac{n^{3}}{(2m)^{3}} = \frac{n^{3}}{8m^{3}}$，与选项中的$(\frac{n}{2m})^3 = \frac{n^3}{2m^3}$不符，所以C选项错误。
D. 根据分式的除法法则，$mn ÷ \frac{n}{m} = mn × \frac{m}{n} = m^{2}$（$n\neq0$），与选项中的$mn÷\frac{n}{m} = m^2$相符，所以D选项正确。

11. 在解答题目“已知$x = 2025$，求$\frac{x^2 - 4}{x - 2}÷\frac{x^2 + 2x}{2x^3}·(\frac{1}{x})^2$的值”时，小明误将$x = 2025$看成了$x = 2024$，但算出的结果仍然正确，你能解释原因吗？

解：
1. 化简原式：
$\frac{x^2 - 4}{x - 2}÷\frac{x^2 + 2x}{2x^3}·(\frac{1}{x})^2$
$=\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}·\frac{2x^3}{x(x + 2)}·\frac{1}{x^2}$（分解因式、除法变乘法、乘方化简）
2. 约分化简：
分子分母约去$(x - 2)$、$x$、$(x + 2)$、$x^2$，得：
$(x + 2)·\frac{2x^2}{x + 2}·\frac{1}{x^2}=2$
3. 结论：化简后结果为常数2，与$x$取值无关（$x≠0,±2$），故小明误将$x=2025$看成$x=2024$，结果仍正确。
原因：原式化简后值为2，与$x$取值无关。

12. （推理能力）给定下面一列分式：$\frac{x^3}{y}$，$-\frac{x^5}{y^2}$，$\frac{x^7}{y^3}$，$-\frac{x^9}{y^4}$，…（其中$x\neq0$，$y\neq0$）.
(1) 从第二个分式起，用任意一个分式除以前面与它相邻的一个分式，你发现了什么规律？
(2) 根据你发现的规律，试写出给定的这列分式中的第$2025$个分式.

(1)
根据题意，计算从第二个分式起，用任意一个分式除以前面与它相邻的一个分式：
$\frac{-\frac{x^5}{y^2}}{\frac{x^3}{y}} = -\frac{x^2}{y}$，
$\frac{\frac{x^7}{y^3}}{-\frac{x^5}{y^2}} = -\frac{x^2}{y}$，
$\frac{-\frac{x^9}{y^4}}{\frac{x^7}{y^3}} = -\frac{x^2}{y}$，
通过计算，发现从第二个分式起，用任意一个分式除以前面与它相邻的一个分式，结果都等于 $-\frac{x^2}{y}$。
(2)
根据(1)中发现的规律，第$n$个分式可以表示为 $(-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{y^n}$。
将$n = 2025$代入，得到第$2025$个分式为：
$(-1)^{2025+1}\frac{x^{2×2025+1}}{y^{2025}} = \frac{x^{4051}}{y^{2025}}$，
(由于$(-1)^{2026} = 1$，所以第2025个分式符号为正)。
故第$2025$个分式为$\frac{x^{4051}}{y^{2025}}$。