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10. 某消防队训练,两个小组从某栋楼一楼同一起点同时开始攀登,该栋楼共6层(每层楼的高度约为3.2m,不考虑实际楼层高度差异),第一小组的攀登速度是第二小组的2倍,第一小组比第二小组早1min到达顶楼.
(1) 求第二小组的攀登速度.
(2) 两个小组在顶楼休息片刻后同时下楼,他们下楼速度都比各自上楼的速度快$m$m/min,哪个小组先回到一楼起点？比另一个小组快多长时间？
(1) 求第二小组的攀登速度.
(2) 两个小组在顶楼休息片刻后同时下楼,他们下楼速度都比各自上楼的速度快$m$m/min,哪个小组先回到一楼起点？比另一个小组快多长时间？
答案
10.解:
(1)设第二小组的攀登速度为x m/min,则第一小组的攀登速度为2x m/min.因为该栋楼共6层,每层楼的高度约为3.2 m,所以攀登的高度为5层楼的高度,即3.2×5=16(m).依题意,得$\frac{16}{x}-\frac{16}{2x}=1$,解得x=8.经检验,x=8是所列分式方程的解,且符合题意.所以第二小组的攀登速度是8 m/min.
(2)由
(1),知第一小组的攀登速度是2×8=16(m/min).所以第一小组的下楼速度是(16+m)m/min,下楼所用的时间为$\frac{16}{16+m}$min;第二小组的下楼速度是(8+m)m/min,下楼所用的时间是$\frac{16}{8+m}$min.所以$\frac{16}{8+m}-\frac{16}{16+m}=\frac{16(16+m)}{(8+m)(16+m)}-\frac{16(8+m)}{(8+m)(16+m)}=\frac{128}{(8+m)(16+m)}$(min).答:第一小组先回到一楼起点,比第二小组快$\frac{128}{(8+m)(16+m)}$min.
(1)设第二小组的攀登速度为x m/min,则第一小组的攀登速度为2x m/min.因为该栋楼共6层,每层楼的高度约为3.2 m,所以攀登的高度为5层楼的高度,即3.2×5=16(m).依题意,得$\frac{16}{x}-\frac{16}{2x}=1$,解得x=8.经检验,x=8是所列分式方程的解,且符合题意.所以第二小组的攀登速度是8 m/min.
(2)由
(1),知第一小组的攀登速度是2×8=16(m/min).所以第一小组的下楼速度是(16+m)m/min,下楼所用的时间为$\frac{16}{16+m}$min;第二小组的下楼速度是(8+m)m/min,下楼所用的时间是$\frac{16}{8+m}$min.所以$\frac{16}{8+m}-\frac{16}{16+m}=\frac{16(16+m)}{(8+m)(16+m)}-\frac{16(8+m)}{(8+m)(16+m)}=\frac{128}{(8+m)(16+m)}$(min).答:第一小组先回到一楼起点,比第二小组快$\frac{128}{(8+m)(16+m)}$min.
11. 甲、乙两工程队参与某项工程,甲队单独施工需18个月才能完成任务,若乙队先单独施工2个月,甲、乙两队再合作10个月可完成这项工程.甲队每月施工费8万元,乙队每月施工费5万元.
(1) 乙队单独施工需几个月才能完成任务？
(2) 计划两年内完工且为了降低成本,甲、乙两队同时施工,甲队完成部分工程用$a$个月,乙队完成另一部分用$b$个月,甲队施工不超过6个月,乙队不超过24个月,$a$,$b$为正整数,则施工方案有几种？哪种方案的费用最低？
(1) 乙队单独施工需几个月才能完成任务？
(2) 计划两年内完工且为了降低成本,甲、乙两队同时施工,甲队完成部分工程用$a$个月,乙队完成另一部分用$b$个月,甲队施工不超过6个月,乙队不超过24个月,$a$,$b$为正整数,则施工方案有几种？哪种方案的费用最低？
答案
11.解:
(1)设乙队单独施工需x个月才能完成任务,记总工作量为1.根据题意,得$\frac{2}{x}+10×(\frac{1}{18}+\frac{1}{x})=1$,解得x=27.经检验,x=27是所列分式方程的解,且符合题意.答:乙队单独施工需27个月才能完成任务.
(2)由题意,得$\frac{a}{18}+\frac{b}{27}=1$,所以3a+2b=54,所以a=18-$\frac{2}{3}$b.因为0＜a≤6,0＜b≤24,所以$\begin{cases}0＜18-\frac{2}{3}b\leq6,\\0＜b\leq24,\end{cases}$解得18≤b≤24.因为a,b都为正整数,所以b为3的倍数,即$\begin{cases}a=6,\\b=18\end{cases}$或$\begin{cases}a=4,\\b=21\end{cases}$或$\begin{cases}a=2,\\b=24.\end{cases}$所以甲、乙两队的施工方案有3种.方案①:安排甲队施工6个月,乙队施工18个月,费用为6×8+18×5=138(万元);方案②:安排甲队施工4个月,乙队施工21个月,费用为4×8+21×5=137(万元);方案③:安排甲队施工2个月,乙队施工24个月,费用为2×8+24×5=136(万元).所以安排甲队施工2个月,乙队施工24个月,所支付费用最低.
(1)设乙队单独施工需x个月才能完成任务,记总工作量为1.根据题意,得$\frac{2}{x}+10×(\frac{1}{18}+\frac{1}{x})=1$,解得x=27.经检验,x=27是所列分式方程的解,且符合题意.答:乙队单独施工需27个月才能完成任务.
(2)由题意,得$\frac{a}{18}+\frac{b}{27}=1$,所以3a+2b=54,所以a=18-$\frac{2}{3}$b.因为0＜a≤6,0＜b≤24,所以$\begin{cases}0＜18-\frac{2}{3}b\leq6,\\0＜b\leq24,\end{cases}$解得18≤b≤24.因为a,b都为正整数,所以b为3的倍数,即$\begin{cases}a=6,\\b=18\end{cases}$或$\begin{cases}a=4,\\b=21\end{cases}$或$\begin{cases}a=2,\\b=24.\end{cases}$所以甲、乙两队的施工方案有3种.方案①:安排甲队施工6个月,乙队施工18个月,费用为6×8+18×5=138(万元);方案②:安排甲队施工4个月,乙队施工21个月,费用为4×8+21×5=137(万元);方案③:安排甲队施工2个月,乙队施工24个月,费用为2×8+24×5=136(万元).所以安排甲队施工2个月,乙队施工24个月,所支付费用最低.
