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7. （1）如图，已知 ∠AOB = 90°，∠BOC = 28°，射线 OC 在 ∠AOB 外，OM 平分 ∠AOC，ON 平分 ∠BOC，求 ∠MON 的度数；
（2）如果（1）中的 ∠AOB = α，其他条件不变，求 ∠MON 的度数；
（3）如果（1）中的 ∠BOC = β（β 为锐角），其他条件不变，求 ∠MON 的度数；
（4）你能从（1）（2）（3）的结论中得出什么新的结论？
（2）如果（1）中的 ∠AOB = α，其他条件不变，求 ∠MON 的度数；
（3）如果（1）中的 ∠BOC = β（β 为锐角），其他条件不变，求 ∠MON 的度数；
（4）你能从（1）（2）（3）的结论中得出什么新的结论？
答案
（1）因为$\angle AOB=90^{\circ}$，$\angle BOC=28^{\circ}$，所以$\angle AOC=90^{\circ}+28^{\circ}=118^{\circ}$.因为OM平分$\angle AOC$，所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC=59^{\circ}$.因为ON平分$\angle BOC$，所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC=14^{\circ}$.故$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC=45^{\circ}$.（2）因为$\angle AOB=\alpha$，$\angle BOC=28^{\circ}$，所以$\angle AOC=\alpha+28^{\circ}$.因为OM平分$\angle AOC$，所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{\alpha}{2}+14^{\circ}$.因为ON平分$\angle BOC$，所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC=14^{\circ}$.故$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC=45^{\circ}$.（4）从（1）（2）（3）的结论中能得出：在满足题干的条件下，$\angle MON$的度数始终是$\angle AOB$的度数的一半，与$\angle BOC$的度数没有关系.
解析
（1）解：因为$\angle AOB=90^{\circ}$，$\angle BOC=28^{\circ}$，所以$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=90^{\circ}+28^{\circ}=118^{\circ}$.
因为$OM$平分$\angle AOC$，所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×118^{\circ}=59^{\circ}$.
因为$ON$平分$\angle BOC$，所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}×28^{\circ}=14^{\circ}$.
故$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC=59^{\circ}-14^{\circ}=45^{\circ}$.
（2）解：因为$\angle AOB=\alpha$，$\angle BOC=28^{\circ}$，所以$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=\alpha+28^{\circ}$.
因为$OM$平分$\angle AOC$，所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}(\alpha+28^{\circ})=\frac{\alpha}{2}+14^{\circ}$.
因为$ON$平分$\angle BOC$，所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC=14^{\circ}$.
故$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC=(\frac{\alpha}{2}+14^{\circ})-14^{\circ}=\frac{\alpha}{2}$.
（3）解：因为$\angle AOB=90^{\circ}$，$\angle BOC=\beta$，所以$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=90^{\circ}+\beta$.
因为$OM$平分$\angle AOC$，所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}(90^{\circ}+\beta)=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}$.
因为$ON$平分$\angle BOC$，所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{\beta}{2}$.
故$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC=(45^{\circ}+\frac{\beta}{2})-\frac{\beta}{2}=45^{\circ}$.
（4）$\angle MON$的度数是$\angle AOB$度数的一半，与$\angle BOC$的度数无关.
因为$OM$平分$\angle AOC$，所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×118^{\circ}=59^{\circ}$.
因为$ON$平分$\angle BOC$，所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}×28^{\circ}=14^{\circ}$.
故$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC=59^{\circ}-14^{\circ}=45^{\circ}$.
（2）解：因为$\angle AOB=\alpha$，$\angle BOC=28^{\circ}$，所以$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=\alpha+28^{\circ}$.
因为$OM$平分$\angle AOC$，所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}(\alpha+28^{\circ})=\frac{\alpha}{2}+14^{\circ}$.
因为$ON$平分$\angle BOC$，所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC=14^{\circ}$.
故$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC=(\frac{\alpha}{2}+14^{\circ})-14^{\circ}=\frac{\alpha}{2}$.
（3）解：因为$\angle AOB=90^{\circ}$，$\angle BOC=\beta$，所以$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=90^{\circ}+\beta$.
因为$OM$平分$\angle AOC$，所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}(90^{\circ}+\beta)=45^{\circ}+\frac{\beta}{2}$.
因为$ON$平分$\angle BOC$，所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{\beta}{2}$.
故$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC=(45^{\circ}+\frac{\beta}{2})-\frac{\beta}{2}=45^{\circ}$.
（4）$\angle MON$的度数是$\angle AOB$度数的一半，与$\angle BOC$的度数无关.
8. 小丽遇到这样一个问题：如图（1），∠AOB = α，请画一个 ∠AOC，使 ∠AOC 与 ∠BOC 互补。小丽是这样思考的：首先通过分析明确射线 OC 在 ∠AOB 的外部，画出示意图，如图（2）所示。然后通过构造平角找到 ∠AOC 的补角 ∠COD，如图（3）所示。进而分析要使 ∠AOC 与 ∠BOC 互补，则需 ∠BOC = ∠COD。因此，小丽找到了解决问题的方法：反向延长射线 OA 得到射线 OD，利用量角器画出 ∠BOD 的平分线 OC，这样就得到了 ∠AOC 与 ∠BOC 互补。
（1）根据小丽的画法可知，如图（3），点 O 在直线 AD 上，射线 OC 平分 ∠BOD。请你说明 ∠AOC 与 ∠BOC 互补的理由。
（2）参考小丽的画法，请你在图（4）中画出一个 ∠AOH，使 ∠AOH 与 ∠BOH 互余（保留作图痕迹）。
（1）根据小丽的画法可知，如图（3），点 O 在直线 AD 上，射线 OC 平分 ∠BOD。请你说明 ∠AOC 与 ∠BOC 互补的理由。
（2）参考小丽的画法，请你在图（4）中画出一个 ∠AOH，使 ∠AOH 与 ∠BOH 互余（保留作图痕迹）。
答案
（1）题图（3）中，因为OC平分$\angle BOD$，所以$\angle BOC=\angle COD$.因为$\angle AOC+\angle COD=180^{\circ}$，所以$\angle AOC+\angle BOC=180^{\circ}$.故$\angle AOC$与$\angle BOC$互补.（2）如图，画$\angle AOT=90^{\circ}$，作$\angle BOT$的平分线OH.
解析
（1）解：因为OC平分∠BOD，所以∠BOC=∠COD。因为点O在直线AD上，所以∠AOC+∠COD=180°，因此∠AOC+∠BOC=180°，故∠AOC与∠BOC互补。
（2）如图，画∠AOT=90°，作∠BOT的平分线OH。（作图痕迹略）
（2）如图，画∠AOT=90°，作∠BOT的平分线OH。（作图痕迹略）
