1. (★) 相似三角形对应高的比等于,相似三角形对应角平分线的比等于,相似三角形对应中线的比等于。

相似比，相似比，相似比

根据相似三角形的性质，相似三角形对应线段的比等于相似比。对应高、对应角平分线、对应中线均为对应线段，所以它们的比都等于相似比。

2. (★) 相似三角形面积的比等于。

相似比的平方

根据人教版数学九年级全一册27.2.2相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3. (★)(2023·重庆) 若两个相似三角形周长的比为 $ 1:4 $,则这两个三角形对应边的比是【】
A.$ 1:2 $
B.$ 1:4 $
C.$ 1:8 $
D.$ 1:16 $

B

相似三角形的周长比等于对应边的比，已知两个相似三角形周长的比为 $1:4$，因此对应边的比也为 $1:4$。

4. (★) 若两个相似三角形的面积之比为 $ 1:4 $,则它们的周长之比为【】
A.$ 1:2 $
B.$ 1:4 $
C.$ 1:5 $
D.$ 1:16 $

A

相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知面积比为$1:4$，则相似比为$\sqrt{1}:\sqrt{4}=1:2$。相似三角形的周长比等于相似比，因此周长比为$1:2$。

5. (★) 如图 27.2 - 53,已知等腰$ \triangle ABC $ 的面积为 $ 8 cm^2 $,$ D $,$ E $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的边 $ AB $,$ AC $ 的中点,则梯形 $ DBCE $ 的面积为$ cm^2 $。

$6$

由于 $D$ 和 $E$ 分别是边 $AB$ 和 $AC$ 的中点，所以 $DE$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线。
根据中位线的性质，$DE // BC$，且 $DE = \frac{1}{2} BC$。
由于 $DE // BC$，所以 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$，相似比为 $1:2$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，$\triangle ADE$ 与 $\triangle ABC$ 的面积比为 $1:4$。
已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $8 cm^2$，所以 $\triangle ADE$ 的面积为 $\frac{1}{4} × 8 = 2 cm^2$。
梯形 $DBCE$ 的面积等于 $\triangle ABC$ 的面积减去 $\triangle ADE$ 的面积，即 $8 - 2 = 6 cm^2$。

6. (★) 已知 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 相似且面积比为 $ 4:25 $,则 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 的相似比为。

$2:5$

已知两三角形相似，设相似比为 $k$。
根据相似三角形的性质，面积比为相似比的平方，即$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEF}} = k^2$。
已知面积比为 $4:25$，即$k^2 = \frac{4}{25}$。
解得 $k = \frac{2}{5}$（因为相似比为正数，所以只取正根）。
所以，$\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 的相似比为 $2:5$。

7. (★) 如图 27.2 - 54,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90° $,$ \angle A = 30° $,$ CD \perp AB $ 于点 $ D $,则 $ \triangle BCD $ 与 $ \triangle ABC $ 的周长之比为【】

A.$ 1:2 $
B.$ 1:3 $
C.$ 1:4 $
D.$ 1:5 $

A

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，则$\angle B = 60^{\circ}$。
因为$CD \perp AB$，所以$\angle CDB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle CDB = 90^{\circ}$，则$\angle BCD = 30^{\circ}$。
设$BC = x$，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，根据$30^{\circ}$所对直角边是斜边一半，可得$AB = 2x$。
由勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle BCD = 30^{\circ}$，$BC = x$，则$BD=\frac{1}{2}x$，由勾股定理$CD=\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}=\sqrt{x^{2}-(\frac{1}{2}x)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$。
$\triangle BCD$的周长为$BC + BD + CD=x+\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{3 + \sqrt{3}}{2}x$。
$\triangle ABC$的周长为$AB + BC + AC=2x + x+\sqrt{3}x=(3 + \sqrt{3})x$。
所以$\triangle BCD$与$\triangle ABC$的周长之比为$\frac{\frac{3+\sqrt{3}}{2}x}{(3 + \sqrt{3})x}=\frac{1}{2}$。

8. (★★) 如图 27.2 - 55,$ D $ 是 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC $ 上一点,已知 $ AB = 4 $,$ AD = 2 $,$ \angle DAC = \angle B $,若 $ \triangle ABD $ 的面积为 $ a $,则 $ \triangle ACD $ 的面积为【】

A.$ a $
B.$ \dfrac{1}{2}a $
C.$ \dfrac{1}{3}a $
D.$ \dfrac{2}{3}a $

C

∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC（AA相似）。
相似比为AD/AB=2/4=1/2，面积比为(1/2)²=1/4。
设△ACD面积为S，则△BAC面积=S△ABD+S△ACD=a+S。
由面积比得S/(a+S)=1/4，解得S=a/3。
又∵△ADC∽△BAC，∴DC/AC=AC/BC=AD/AB=1/2，故AC=2DC，BC=2AC=4DC。
∵BC=BD+DC，∴BD=3DC。
∵△ABD与△ACD等高，面积比=BD/DC=3/1，即a/S=3/1，∴S=a/3。

9. (★★) 如图 27.2 - 56,在 $ \triangle ABC $ 中,$ DE // BC $,若 $ S_{\triangle ADE}:S_{\triangle BDE} = 1:3 $,$ S_{\triangle ADE} = 2 $,则 $ S_{\triangle ABC} $ 等于【】

A.12
B.16
C.24
D.32

D

∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似）。
△ADE与△BDE共顶点E，底边AD、DB在同一直线AB上，高相等（E到AB的距离），
∴S△ADE:S△BDE=AD:DB=1:3（等高三角形面积比等于底之比）。
设AD=k，则DB=3k，AB=AD+DB=4k，∴AD/AB=k/4k=1/4，即△ADE与△ABC的相似比为1:4。
相似三角形面积比等于相似比的平方，∴S△ADE:S△ABC=(1/4)²=1:16。
∵S△ADE=2，∴S△ABC=2×16=32。

10. (★★) 如图 27.2 - 57,四边形 $ ABCD $ 是学校的一块学农基地,其中 $ \triangle ABC $ 是水果园,$ \triangle ACD $ 是蔬菜园,已知 $ AB // CD $,$ AB = 45 m $,$ AC = 30 m $,$ CD = 20 m $。
(1) 求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle CAD $；
(2) 若蔬菜园 $ \triangle ACD $ 的面积为 $ 200 m^2 $,求水果园 $ \triangle ABC $ 的面积。

(2) 450 m²

(1) 证明：∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD。
在△ABC和△CAD中，
$\frac{AB}{CA}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$，$\frac{CA}{CD}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AB}{CA}=\frac{CA}{CD}$，且∠BAC=∠ACD，
∴△ABC∽△CAD。
(2) ∵△ABC∽△CAD，相似比为$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CAD}}=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$。
∵$S_{\triangle CAD}=200m^2$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{9}{4}×200=450m^2$。