14. (★★★)已知在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 8$,$\angle BAC = 30^{\circ}$,将$\triangle ABC绕点A$旋转,使点$B落在原\triangle ABC的点C$处,此时点$C落在点D$处,延长线段$AD$,交原$\triangle ABC的边BC的延长线于点E$,那么线段$DE$的长等于。

4√3 - 4

过点C作CF⊥AE于F。
在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，∠ACB=(180°-30°)/2=75°。
旋转后AD=AC=8，∠CAD=30°（旋转角）。
E在BC延长线上，∠ACE=180°-∠ACB=105°，∠CAE=30°，故∠AEC=180°-30°-105°=45°。
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，AC=8，CF=AC·sin30°=4，AF=AC·cos30°=4√3。
在Rt△CFE中，∠AEC=45°，CF=FE=4。
AE=AF+FE=4√3+4。
DE=AE-AD=4√3+4-8=4√3-4。

15. (★★)若等腰三角形的腰长为4,面积是4,则这个等腰三角形顶角的度数为【】
A.$30^{\circ}$
B.$30^{\circ}或150^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$60^{\circ}或120^{\circ}$

B

设等腰三角形顶角为θ，腰长为4。根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin\theta$（其中$a,b$为腰长，θ为顶角），得$4 = \frac{1}{2} × 4 × 4 × \sin\theta$，即$8\sin\theta = 4$，解得$\sin\theta = \frac{1}{2}$。
∵θ为三角形顶角，∴$0° ＜ \theta ＜ 180°$，∴θ = $30°$或$150°$。

16. (★★)在$\triangle ABC$中,$AB = 2\sqrt{3}$,$AC = 2$,$\angle B = 30^{\circ}$,则$\angle C = $,$BC = $。

60°或120°；4或2

过点A作AD⊥BC于D（或BC延长线于D）。在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=2√3，∴AD=AB·sin30°=√3，BD=AB·cos30°=3。在Rt△ACD中，AC=2，AD=√3，∴DC=√(AC²-AD²)=1。
当D在BC上时，BC=BD+DC=4，∠C=arcsin(AD/AC)=60°；
当D在BC延长线上时，BC=BD-DC=2，∠C=180°-arcsin(AD/AC)=120°。

17. (★★)(2022·乐山)如图28.2 - 7,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = \sqrt{5}$,$D是AC$上一点,连接$BD$。若$\tan A = \frac{1}{2}$,$\tan \angle ABD = \frac{1}{3}$,则$CD$的长为【】

A.$2\sqrt{5}$
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.2

C

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，$BC=\sqrt{5}$，则$AC=2\sqrt{5}$。
设$CD=y$，则$AD=2\sqrt{5}-y$。过$D$作$DE\perp AB$于$E$，在$Rt\triangle ADE$中，$\tan A=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，设$DE=k$，则$AE=2k$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\tan\angle ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$，则$BE=3k$。
$AB=AE+BE=2k+3k=5k$，在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=5$，故$5k=5$，$k=1$。
$AE=2$，$DE=1$，在$Rt\triangle ADE$中，$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
$CD=AC-AD=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$。

18. (★★)(2023·武汉)如图28.2 - 8,将$45^{\circ}的\angle AOB$按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点$O$与尺下沿的端点重合,$OA$与尺下沿重合,$OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2\ cm$,若按相同的方式将$37^{\circ}的\angle AOC$放置在该刻度尺上,则$OC与尺上沿的交点C$在尺上的读数是______$cm$。(结果精确到$0.1\ cm$,参考数据$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$,$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$,$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$)

2.7

设刻度尺上下沿距离为$h$，交点读数为水平距离（沿$OA$方向）。
对于$\angle AOB = 45°$，在$Rt\triangle OBE$中（$E$为$B$在$OA$上的垂足），$\tan 45°=\frac{h}{OB_{读数}}$，即$1=\frac{h}{2}$，得$h = 2\,cm$。
对于$\angle AOC = 37°$，在$Rt\triangle OCF$中（$F$为$C$在$OA$上的垂足），$\tan 37°=\frac{h}{OC_{读数}}$，则$OC_{读数}=\frac{h}{\tan 37°}=\frac{2}{0.75}\approx2.7\,cm$。

1. (★)在视线与水平面所成的角中,视线在水平面上方的是,视线在水平面下方的是.

仰角；俯角

根据人教版数学九年级全一册中关于视线与水平面所成角的定义，视线在水平面上方的角称为仰角，视线在水平面下方的角称为俯角。

2. (★)若一个等腰梯形的下底长为4 cm,高是2 cm,下底角的正弦值是$\frac{4}{5}$,则上底长为cm,腰长是cm.

1，2.5

过等腰梯形上底顶点向下底作高，得两个全等直角三角形和一个矩形。设下底角为θ，sinθ=4/5，高h=2cm，腰长为l。在直角三角形中，sinθ=h/l，即4/5=2/l，解得l=2.5cm（或5/2cm）。由sinθ=4/5得cosθ=3/5，直角三角形底边邻边= l·cosθ=2.5×3/5=1.5cm。下底比上底长2×1.5=3cm，上底长=4 - 3=1cm。

3. (★)已知在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\sin A = \frac{1}{2}$,$AC = 2\sqrt{3}$,那么$BC$的值为【】
A.2
B.4
C.$4\sqrt{3}$
D.6

A

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，设$BC=x$，则$AB=2x$。由勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$(2\sqrt{3})^{2}+x^{2}=(2x)^{2}$，$12+x^{2}=4x^{2}$，$3x^{2}=12$，$x^{2}=4$，$x=2$（负值舍去），故$BC=2$。

4. (★)如图28.2-9,从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为$30^{\circ}$,$45^{\circ}$,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A,D,B在同一直线上,则A,B两点间的距离是【】

A.200米
B.$200\sqrt{3}$米
C.$220\sqrt{3}$米
D.$100(\sqrt{3} + 1)$米

D

由题意，热气球C处的高度$CD=100$米，点A、D、B在同一直线上。
从热气球C处测得地面A点的俯角为$30°$，测得B点的俯角为$45°$。
在直角三角形$ACD$中，$\angle A=30°$，所以：
$\tan 30° = \frac{CD}{AD} = \frac{100}{AD}$，
$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{100}{AD}$，
$AD = \frac{100 × 3}{\sqrt{3}} = 100\sqrt{3}$（米）。
在直角三角形$BCD$中，$\angle B=45°$，所以：
$\tan 45° = \frac{CD}{BD} = \frac{100}{BD}$，
$1 = \frac{100}{BD}$，
$BD = 100$（米）。
因此，A、B两点间的距离为：
$AB = AD + BD = 100\sqrt{3} + 100 = 100(\sqrt{3} + 1)$（米）。