5. (★)如图28.2-10,小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度,他发现绳子刚好比旗杆长11米,若把绳子往外拉直,绳子接触地面点A并与地面形成$30^{\circ}$角时,绳子末端D距点A还有1米,那么旗杆BC的高度为米.

10

设旗杆BC的高度为x米，则绳子长度为(x+11)米。由题意知，绳子末端D距地面接触点A的距离AD=1米，故BA=绳子长度-AD=(x+11)-1=x+10。在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，所以BC=BA·sin30°，即x=(x+10)·1/2。解得x=10。

6. (★★)(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度,如图28.2-11,他们在建筑物前的平地上选择一点A,在点A和建筑物之间选择一点B,测得$AB = 30$ m,用高1 m($AC = 1$ m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为$30^{\circ}$,在B处测得仰角为$60^{\circ}$,则该建筑物的高是.

$15\sqrt{3}+1$

设建筑物高度为$H$米，测角仪高度为1米，故建筑物顶部到测角仪水平线的垂直距离为$H - 1$米。设$B$到建筑物底部的水平距离为$y$米，则$A$到建筑物底部的水平距离为$y + 30$米。
在$A$处，仰角$30°$，则$\tan30°=\frac{H - 1}{y + 30}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$H - 1=\frac{\sqrt{3}}{3}(y + 30)$。
在$B$处，仰角$60°$，则$\tan60°=\frac{H - 1}{y}=\sqrt{3}$，即$H - 1=\sqrt{3}y$。
联立得$\frac{\sqrt{3}}{3}(y + 30)=\sqrt{3}y$，解得$y = 15$。
代入$H - 1=\sqrt{3}y$，得$H - 1=15\sqrt{3}$，故$H=15\sqrt{3}+1$。

7. (★★)如图28.2-12,山顶上有一个信号塔,已知信号塔高$AC = 15$米,在山脚下点B处测得塔底C的仰角$\angle CBD = 36.9^{\circ}$,塔顶A的仰角$\angle ABD = 42.0^{\circ}$,求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上).(参考数据:$\tan 36.9^{\circ} \approx 0.75$,$\sin 36.9^{\circ} \approx 0.60$,$\tan 42.0^{\circ} \approx 0.90$)

设山高 $CD = x$ 米。
在直角三角形 $BCD$ 中，由 $\angle CBD = 36.9°$，有：
$\tan 36.9° = \frac{CD}{BD} \implies BD = \frac{CD}{\tan 36.9°} = \frac{x}{0.75}$，
在直角三角形 $BAD$ 中，由 $\angle ABD = 42.0°$，有：
$\tan 42.0° = \frac{AD}{BD} = \frac{x + 15}{BD}$，
代入 $BD$ 的表达式，得：
$\tan 42.0° = \frac{x + 15}{\frac{x}{0.75}} = 0.90$，
解这个方程，有：
$0.90 = \frac{x + 15}{\frac{x}{0.75}} \implies 0.90 × \frac{x}{0.75} = x + 15 \implies 1.2x = x + 15 \implies 0.2x = 15 \implies x = 75$，
故山高 $CD$ 为 $75$ 米。

8. (★★)某宾馆为庆祝开业,在楼前悬挂了许多宣传条幅.如图28.2-13,一条幅从楼顶A处放下,在楼前点C处拉直固定.小明为了测量此条幅的长度,先在楼前点D处测得楼顶点A的仰角为$31^{\circ}$,再沿DB方向前进16米到达点E处,测得点A的仰角为$45^{\circ}$.已知点C到大厦的距离$BC = 7$米,$\angle ABD = 90^{\circ}$.请根据以上数据求条幅的长度.(结果保留整数.参考数据:$\tan 31^{\circ} \approx 0.60$,$\sin 31^{\circ} \approx 0.52$,$\cos 31^{\circ} \approx 0.86$)

设AB的高度为h米。
在Rt△ABE中，∠AEB=45°，tan45°=AB/BE=1，故BE=AB=h。
DE=16米，DB=DE+EB=16+h。
在Rt△ABD中，∠ADB=31°，tan31°=AB/DB=h/(16+h)≈0.60。
则h=0.60(16+h)，解得h=24。
在Rt△ABC中，BC=7米，AB=24米，AC=√(AB²+BC²)=√(24²+7²)=√625=25。
答：条幅的长度为25米。

9. (★)如图28.2-14,测量河宽AB(假设河的两岸平行),在点C测得$\angle ACB = 30^{\circ}$,在点D测得$\angle ADB = 60^{\circ}$,$CD = 60$ m,则河宽AB为m.(结果保留根号)

$30\sqrt{3}$

设河宽$AB = x$米。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ADB = 60°$，$\tan 60°=\frac{AB}{BD}$，则$BD=\frac{AB}{\tan 60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 30°$，$\tan 30°=\frac{AB}{BC}$，则$BC=\frac{AB}{\tan 30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$。
由题意知$C$、$D$、$B$共线，且$BC = CD + BD$，$CD = 60$米，故$\sqrt{3}x=60+\frac{x}{\sqrt{3}}$。
整理得$\sqrt{3}x-\frac{x}{\sqrt{3}}=60$，即$\frac{3x - x}{\sqrt{3}}=60$，$\frac{2x}{\sqrt{3}}=60$，解得$x = 30\sqrt{3}$。