例1 下列式子中是方程的有.是一元一次方程的有.
①$3x - 2 = 7$； ②$4 + 8 = 12$； ③$3 - x$；
④$2m - 3n = 0$； ⑤$3x^{2} - 2x - 1 = 0$；
⑥$x + 2 \neq 3$； ⑦$\frac{1}{x} + 1 = 3$.
【思路导析】含有未知数的等式是方程；一元一次方程只含有一个未知数并且未知数的次数是1.

方程有①④⑤⑦；一元一次方程有①

1. 方程的定义为含有未知数的等式。
①$3x - 2 = 7$，是含有未知数$x$的等式，所以是方程。
②$4 + 8 = 12$，不含有未知数，所以不是方程。
③$3 - x$，不是等式，所以不是方程。
④$2m - 3n = 0$，是含有未知数$m$和$n$的等式，所以是方程。
⑤$3x^{2}-2x - 1 = 0$，是含有未知数$x$的等式，所以是方程。
⑥$x + 2\neq3$，不是等式，所以不是方程。
⑦$\frac{1}{x}+1 = 3$，是含有未知数$x$的等式，所以是方程。
所以方程有①④⑤⑦。
2. 一元一次方程的定义为只含有一个未知数并且未知数的次数是$1$的整式方程。
①$3x - 2 = 7$，只含有一个未知数$x$，且$x$的次数是$1$，是整式方程，所以是一元一次方程。
④$2m - 3n = 0$，含有两个未知数，所以不是一元一次方程。
⑤$3x^{2}-2x - 1 = 0$，未知数$x$的最高次数是$2$，所以不是一元一次方程。
⑦$\frac{1}{x}+1 = 3$，$\frac{1}{x}$是分式，不是整式，所以不是一元一次方程。
所以一元一次方程只有①。

例2 一个数的2倍减去1等于这个数加上5.
【思路导析】设这个数为$x$.

设这个数为$x$。
根据题意，可列方程：$2x - 1 = x + 5$
移项，得：$2x - x = 5 + 1$
合并同类项，得：$x = 6$
结论：这个数是$6$。

例3 判断$x = - 2$,$x = 4是不是方程\frac{1}{2}x + 1 = x - 1$的解.
【思路导析】把$x = - 2$,$x = 4分别代入方程\frac{1}{2}x + 1 = x - 1$验算,若使方程左右两边的值相等,则该值是方程的解.

答题卡：
当 $x = -2$ 时：
左边：$\frac{1}{2} × (-2) + 1 = 0$，
右边：$-2 - 1 = -3$，
因为左边 $\neq$ 右边，所以 $x = -2$ 不是方程 $\frac{1}{2}x + 1 = x - 1$ 的解。
当 $x = 4$ 时：
左边：$\frac{1}{2} × 4 + 1 = 3$，
右边：$4 - 1 = 3$，
因为左边 $=$ 右边，所以 $x = 4$ 是方程 $\frac{1}{2}x + 1 = x - 1$ 的解。
综上，$x = -2$ 不是方程的解，$x = 4$ 是方程的解。

例4 若方程$(|m| - 2)x^{2} - (m + 2)x - 6 = 0是关于x$的一元一次方程.
(1)求$m$的值；
(2)判断$x = 3$,$x = - \frac{3}{2}$,$x = \frac{2}{3}$是不是方程的解.
【思路导析】(1)当$|m| - 2 = 0且 - (m + 2) \neq 0$时,方程是一元一次方程；(2)确定一元一次方程,并把$x = 3$,$x = - \frac{3}{2}$,$x = \frac{2}{3}$代入方程检验.
【规范解答】(1)依题意知$|m| - 2 = 0$,即$|m| = 2$,解得$m = \pm 2$.
当$m = - 2$时,$ - (m + 2) = - ( - 2 + 2) = 0$,舍去.
故$m = 2$,此时方程为$ - 4x - 6 = 0$.
(2)当$x = 3$时,$ - 4 × 3 - 6 = - 18 \neq 0$.所以$x = 3$不是方程的解；
当$x = - \frac{3}{2}$时,$ - 4 × ( - \frac{3}{2}) - 6 = 0$,所以$x = - \frac{3}{2}$是方程的解；
当$x = \frac{2}{3}$时,$ - 4 × \frac{2}{3} - 6 = - \frac{26}{3}$,所以$x = \frac{2}{3}$不是方程的解.

(1)依题意得$|m| - 2 = 0$，解得$m = \pm 2$。当$m = -2$时，$-(m + 2) = 0$，不符合题意，舍去；当$m = 2$时，$-(m + 2) = -4 \neq 0$，故$m = 2$。
(2)由(1)知方程为$-4x - 6 = 0$。当$x = 3$时，左边$= -4×3 - 6 = -18 \neq 0$，不是方程的解；当$x = -\frac{3}{2}$时，左边$= -4×(-\frac{3}{2}) - 6 = 0$，是方程的解；当$x = \frac{2}{3}$时，左边$= -4×\frac{2}{3} - 6 = -\frac{26}{3} \neq 0$，不是方程的解。综上，$x = -\frac{3}{2}$是方程的解，$x = 3$，$x = \frac{2}{3}$不是方程的解。