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6. 在下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（
A.$x^2+2x-1$
B.$x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$
C.$x^2+2x+4$
D.$x^2-6x+9$
D
）A.$x^2+2x-1$
B.$x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$
C.$x^2+2x+4$
D.$x^2-6x+9$
答案
6. D
解析
【分析】
要判断哪个式子能用完全平方公式因式分解，首先要明确完全平方公式因式分解的适用条件：待分解的式子需为三项式，其中有两项分别是两个数（或整式）的平方，且这两项符号相同，剩余的第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍（符号可正可负）。接下来我们将每个选项对照该条件逐一排查即可得出答案。
【解析】
完全平方公式因式分解的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A. $x^2+2x-1$：两个平方项为$x^2$和$-1$，符号一正一负，不符合完全平方公式的要求，不能用完全平方公式因式分解；
B. $x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$：两个平方项为$x^2$和$(\frac{1}{2})^2$，二者乘积的2倍为$2× x×\frac{1}{2}=x$，与中间项$\frac{1}{4}x$不相等，不符合要求，不能用完全平方公式因式分解；
C. $x^2+2x+4$：两个平方项为$x^2$和$2^2$，二者乘积的2倍为$2× x×2=4x$，与中间项$2x$不相等，不符合要求，不能用完全平方公式因式分解；
D. $x^2-6x+9$：两个平方项为$x^2$和$3^2$，二者乘积的2倍为$2× x×3=6x$，中间项为$-6x$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(x-3)^2$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题核心考查完全平方公式的结构特征，解题的关键是牢记完全平方公式中三项的对应关系，尤其要注意中间项是两个平方项底数乘积的2倍，避免因记错倍数或符号导致判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子能用完全平方公式因式分解，首先要明确完全平方公式因式分解的适用条件：待分解的式子需为三项式，其中有两项分别是两个数（或整式）的平方，且这两项符号相同，剩余的第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍（符号可正可负）。接下来我们将每个选项对照该条件逐一排查即可得出答案。
【解析】
完全平方公式因式分解的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A. $x^2+2x-1$：两个平方项为$x^2$和$-1$，符号一正一负，不符合完全平方公式的要求，不能用完全平方公式因式分解；
B. $x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$：两个平方项为$x^2$和$(\frac{1}{2})^2$，二者乘积的2倍为$2× x×\frac{1}{2}=x$，与中间项$\frac{1}{4}x$不相等，不符合要求，不能用完全平方公式因式分解；
C. $x^2+2x+4$：两个平方项为$x^2$和$2^2$，二者乘积的2倍为$2× x×2=4x$，与中间项$2x$不相等，不符合要求，不能用完全平方公式因式分解；
D. $x^2-6x+9$：两个平方项为$x^2$和$3^2$，二者乘积的2倍为$2× x×3=6x$，中间项为$-6x$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(x-3)^2$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题核心考查完全平方公式的结构特征，解题的关键是牢记完全平方公式中三项的对应关系，尤其要注意中间项是两个平方项底数乘积的2倍，避免因记错倍数或符号导致判断错误。
【难度系数】
0.8
7. 小明运用完全平方公式对 “$x^2$ 
$+4y^2$” 进行因式分解时，墨迹将其中的一项染黑了，已知最后结果为$(x+2y)^2$，则墨迹覆盖的这一部分是（
A.$+4xy$
B.$+2xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$
$+4y^2$” 进行因式分解时，墨迹将其中的一项染黑了，已知最后结果为$(x+2y)^2$，则墨迹覆盖的这一部分是（A
）A.$+4xy$
B.$+2xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$
答案
7. A
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方公式的结构特征，我们可以先把因式分解的结果$(x+2y)^2$按完全平方公式展开，再和题目给出的$x^2+4y^2$对比，二者相差的项就是被墨迹覆盖的部分。完全平方和公式的形式为两个数的和的平方，等于两个数的平方和加上两个数乘积的2倍，我们将a对应x、b对应2y代入公式展开后比对即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$(x+2y)^2$展开得：
$\begin{aligned}(x+2y)^2&=x^2+2· x·2y+(2y)^2\\&=x^2+4xy+4y^2\end{aligned}$
已知原式为$x^2 + \mathrm{（被墨迹覆盖的项）}+4y^2$，和展开后的式子对比可得，被墨迹覆盖的项为$+4xy$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对完全平方公式结构的掌握，解题时要注意区分完全平方和、完全平方差公式的中间项符号差异，熟记公式形式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆完全平方公式的结构特征，我们可以先把因式分解的结果$(x+2y)^2$按完全平方公式展开，再和题目给出的$x^2+4y^2$对比，二者相差的项就是被墨迹覆盖的部分。完全平方和公式的形式为两个数的和的平方，等于两个数的平方和加上两个数乘积的2倍，我们将a对应x、b对应2y代入公式展开后比对即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$(x+2y)^2$展开得：
$\begin{aligned}(x+2y)^2&=x^2+2· x·2y+(2y)^2\\&=x^2+4xy+4y^2\end{aligned}$
已知原式为$x^2 + \mathrm{（被墨迹覆盖的项）}+4y^2$，和展开后的式子对比可得，被墨迹覆盖的项为$+4xy$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对完全平方公式结构的掌握，解题时要注意区分完全平方和、完全平方差公式的中间项符号差异，熟记公式形式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
8. 分解因式：
(1) $(a - b)^2 - 2(a - b)b + b^2$；
(2) $(x + y)^2 - 4xy$。
(1) $(a - b)^2 - 2(a - b)b + b^2$；
(2) $(x + y)^2 - 4xy$。
答案
8. 解 (1) 原式$=(a-b-b)^2=(a-2b)^2.$
(2) 原式$=x^2+2xy+y^2-4xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.$
(2) 原式$=x^2+2xy+y^2-4xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.$
解析
【分析】
(1) 观察第一小题的式子结构，可将$(a-b)$看作一个整体，发现原式刚好符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的形式，直接代入公式计算即可，无需展开原式简化计算；(2) 第二小题无法直接用整体法套用公式，因此先利用完全平方和公式展开$(x+y)^2$，合并同类项后再判断式子符合完全平方差公式的特征，再次套用公式完成分解即可。
【解析】
(1) 把$a-b$看成整体，对应完全平方差公式中的$m$，$b$对应公式中的$n$，则：
原式$=[(a-b)-b]^2=(a-b-b)^2=(a-2b)^2$
(2) 先展开完全平方项，再合并同类项后套用公式：
原式$=x^2+2xy+y^2-4xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$
【答案】
(1) $(a-2b)^2$；(2) $(x-y)^2$
【知识点】
完全平方公式，公式法因式分解，整体代换思想
【点评】
本题考查因式分解中公式法的应用，解题时要先观察式子结构，优先判断是否可通过整体代换直接套用公式，无法直接套用的可先做整式运算整理式子，再判断是否符合公式特征，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
(1) 观察第一小题的式子结构，可将$(a-b)$看作一个整体，发现原式刚好符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的形式，直接代入公式计算即可，无需展开原式简化计算；(2) 第二小题无法直接用整体法套用公式，因此先利用完全平方和公式展开$(x+y)^2$，合并同类项后再判断式子符合完全平方差公式的特征，再次套用公式完成分解即可。
【解析】
(1) 把$a-b$看成整体，对应完全平方差公式中的$m$，$b$对应公式中的$n$，则：
原式$=[(a-b)-b]^2=(a-b-b)^2=(a-2b)^2$
(2) 先展开完全平方项，再合并同类项后套用公式：
原式$=x^2+2xy+y^2-4xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$
【答案】
(1) $(a-2b)^2$；(2) $(x-y)^2$
【知识点】
完全平方公式，公式法因式分解，整体代换思想
【点评】
本题考查因式分解中公式法的应用，解题时要先观察式子结构，优先判断是否可通过整体代换直接套用公式，无法直接套用的可先做整式运算整理式子，再判断是否符合公式特征，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
9. 利用因式分解计算：
(1) $224^2 - 222^2$；
(2) $99^2 + 202 × 99 + 101^2$。
(1) $224^2 - 222^2$；
(2) $99^2 + 202 × 99 + 101^2$。
答案
9. 解 (1) 原式$=(224+222)×(224-222)=446×2=892.$
(2) 原式$=99^2+2×101×99+101^2=(99+101)^2=200^2=40000.$
(2) 原式$=99^2+2×101×99+101^2=(99+101)^2=200^2=40000.$
解析
【分析】
(1) 观察待计算的式子是两个数的平方差形式，刚好匹配平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，直接套用公式因式分解后再计算，比直接计算两个数的乘方再相减更简便。
(2) 先调整中间项的书写形式，$202×99=2×101×99$，此时式子刚好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，套用公式因式分解后再计算，可大幅降低运算量。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}224^2 - 222^2&=(224+222)×(224-222)\\&=446×2\\&=892\end{aligned}$
(2) 利用完全平方和公式计算：
$\begin{aligned}99^2 + 202 × 99 + 101^2&=99^2+2×101×99+101^2\\&=(99+101)^2\\&=200^2\\&=40000\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{892}$；(2) $\boxed{40000}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查借助因式分解简化数值运算，解题核心是准确识别式子对应的乘法公式结构，可避免复杂的乘方运算，有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
(1) 观察待计算的式子是两个数的平方差形式，刚好匹配平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，直接套用公式因式分解后再计算，比直接计算两个数的乘方再相减更简便。
(2) 先调整中间项的书写形式，$202×99=2×101×99$，此时式子刚好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，套用公式因式分解后再计算，可大幅降低运算量。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}224^2 - 222^2&=(224+222)×(224-222)\\&=446×2\\&=892\end{aligned}$
(2) 利用完全平方和公式计算：
$\begin{aligned}99^2 + 202 × 99 + 101^2&=99^2+2×101×99+101^2\\&=(99+101)^2\\&=200^2\\&=40000\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{892}$；(2) $\boxed{40000}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查借助因式分解简化数值运算，解题核心是准确识别式子对应的乘法公式结构，可避免复杂的乘方运算，有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
