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【例2】在一次有12个队参加的足球循环赛（每两个队之间只赛一场）中，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.某队在这次循环赛中，胜场数比负场数多2场，共积18分，问：该队胜了多少场？
解：
【规律方法】
比赛积分问题中的等量关系
（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数.
（2）比赛总积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分.
|变式训练|
解：
【规律方法】
比赛积分问题中的等量关系
（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数.
（2）比赛总积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分.
|变式训练|
答案
该队胜了5场.
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的比赛规则：12个队参赛，每队需和除自己外的其余11个队各赛1场，因此该队总比赛场数为11场。解题时可先设负场数为未知数，根据“胜场数比负场数多2场”表示出胜场数，再用总场数减去胜场数、负场数得到平场数，最后结合“总积分=胜场积分+平场积分+负场积分”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：12个队进行单循环赛，每个队的总比赛场数为：$12-1=11$（场）
设该队负了$x$场，则胜了$(x+2)$场，平的场数为$11 - x - (x+2) = 9 - 2x$场。
根据总积分18分列方程：
$3(x+2) + 1×(9-2x) + 0× x = 18$
去括号得：$3x + 6 + 9 - 2x = 18$
合并同类项得：$x + 15 = 18$
解得：$x = 3$
则胜场数为：$x+2 = 3+2 = 5$（场）
验证：平场数为$9-2×3=3$场，总积分$5×3 + 3×1 = 18$，符合题意。
【答案】
该队胜了5场。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 比赛积分计算
3. 单循环赛制规则
【点评】
本题是典型的比赛积分类应用题，解题的核心是先确定总比赛场数，再根据场数关系和积分规则建立方程，求解后可反向代入验证结果是否符合实际要求，能很好地考查学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环赛制的比赛规则：12个队参赛，每队需和除自己外的其余11个队各赛1场，因此该队总比赛场数为11场。解题时可先设负场数为未知数，根据“胜场数比负场数多2场”表示出胜场数，再用总场数减去胜场数、负场数得到平场数，最后结合“总积分=胜场积分+平场积分+负场积分”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：12个队进行单循环赛，每个队的总比赛场数为：$12-1=11$（场）
设该队负了$x$场，则胜了$(x+2)$场，平的场数为$11 - x - (x+2) = 9 - 2x$场。
根据总积分18分列方程：
$3(x+2) + 1×(9-2x) + 0× x = 18$
去括号得：$3x + 6 + 9 - 2x = 18$
合并同类项得：$x + 15 = 18$
解得：$x = 3$
则胜场数为：$x+2 = 3+2 = 5$（场）
验证：平场数为$9-2×3=3$场，总积分$5×3 + 3×1 = 18$，符合题意。
【答案】
该队胜了5场。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 比赛积分计算
3. 单循环赛制规则
【点评】
本题是典型的比赛积分类应用题，解题的核心是先确定总比赛场数，再根据场数关系和积分规则建立方程，求解后可反向代入验证结果是否符合实际要求，能很好地考查学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
2.某中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.已知七(1)班在8场比赛中共得到13分，则七(1)班胜、负场数分别是多少？
答案
2.解:七(1)班胜了5场,负了3场.
解析
【分析】
这是比赛积分类的一元一次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：总比赛场数为8场，胜1场得2分，负1场得1分，总得分13分，需求胜、负场数。首先设胜场数为未知数，负场数可通过总场数减胜场数表示；再根据“胜场总得分+负场总得分=总得分”的等量关系列一元一次方程；最后解方程得到胜场数，再计算负场数，检验结果符合题意即可。
【解析】
解：设七(1)班胜了$x$场，则负了$(8-x)$场。
根据总得分的等量关系列方程：
$2x + 1×(8-x) = 13$
化简方程：
$2x + 8 - x = 13$
合并同类项得：
$x + 8 = 13$
解得：$x=5$
则负场数为：$8-5=3$（场）
检验：胜5场得分$5×2=10$分，负3场得分$3×1=3$分，总得分$10+3=13$分，符合题意。
【答案】
七(1)班胜了5场，负了3场。
【知识点】
一元一次方程应用、等量关系建立、一元一次方程求解
【点评】
本题是典型的积分类应用题，解题核心是找准总得分的等量关系，只需设一个未知数即可表示出两个未知量进而列方程求解，属于一元一次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
这是比赛积分类的一元一次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：总比赛场数为8场，胜1场得2分，负1场得1分，总得分13分，需求胜、负场数。首先设胜场数为未知数，负场数可通过总场数减胜场数表示；再根据“胜场总得分+负场总得分=总得分”的等量关系列一元一次方程；最后解方程得到胜场数，再计算负场数，检验结果符合题意即可。
【解析】
解：设七(1)班胜了$x$场，则负了$(8-x)$场。
根据总得分的等量关系列方程：
$2x + 1×(8-x) = 13$
化简方程：
$2x + 8 - x = 13$
合并同类项得：
$x + 8 = 13$
解得：$x=5$
则负场数为：$8-5=3$（场）
检验：胜5场得分$5×2=10$分，负3场得分$3×1=3$分，总得分$10+3=13$分，符合题意。
【答案】
七(1)班胜了5场，负了3场。
【知识点】
一元一次方程应用、等量关系建立、一元一次方程求解
【点评】
本题是典型的积分类应用题，解题核心是找准总得分的等量关系，只需设一个未知数即可表示出两个未知量进而列方程求解，属于一元一次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
【例3】某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1 000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7 500元.当地一家公司收获这种蔬菜140 t.该公司加工厂的生产能力：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 t；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6 t，但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制，该公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此，该公司有三种方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工.
方案二：将部分蔬菜进行精加工，其余粗加工，并恰好用15天完成.
方案三：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行精加工的蔬菜，在市场上直接出售.
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
解：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工.
方案二：将部分蔬菜进行精加工，其余粗加工，并恰好用15天完成.
方案三：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行精加工的蔬菜，在市场上直接出售.
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
解：
答案
选择第二种方案获利最多.理由如下：
设总利润为W.
方案一:因为每天粗加工16 t,140 t可以在15天内加工完，
所以总利润$W_1=4\ 500×140=630\ 000$(元).
方案二:设15天中粗加工蔬菜x天,则精加工蔬菜$(15-x)$天.
由题意,得$16x+6(15-x)=140$.
解得$x=5$.
所以粗加工5天,精加工$15-5=10$(天).
所以总利润$W_2=6×10×7\ 500+16×5×4\ 500=810\ 000$(元).
方案三:由题意,得每天精加工6 t,15天一共可以精加工$6×15=90$(t),则直接销售的蔬菜有$140-90=50$(t),
所以总利润$W_3=90×7\ 500+50×1\ 000=725\ 000$(元).
因为$W_1＜W_3＜W_2$,所以选择第二种方案获利最多.
设总利润为W.
方案一:因为每天粗加工16 t,140 t可以在15天内加工完，
所以总利润$W_1=4\ 500×140=630\ 000$(元).
方案二:设15天中粗加工蔬菜x天,则精加工蔬菜$(15-x)$天.
由题意,得$16x+6(15-x)=140$.
解得$x=5$.
所以粗加工5天,精加工$15-5=10$(天).
所以总利润$W_2=6×10×7\ 500+16×5×4\ 500=810\ 000$(元).
方案三:由题意,得每天精加工6 t,15天一共可以精加工$6×15=90$(t),则直接销售的蔬菜有$140-90=50$(t),
所以总利润$W_3=90×7\ 500+50×1\ 000=725\ 000$(元).
因为$W_1＜W_3＜W_2$,所以选择第二种方案获利最多.
解析
【分析】
这是一道方案优化类的利润应用题，解题核心是分别计算三种方案的总利润，再比较大小选出获利最多的方案，思考步骤如下：1. 计算方案一利润：先判断140吨蔬菜全粗加工能否在15天内完成，若可以，直接用总吨数乘粗加工每吨利润即可；2. 计算方案二利润：已知两种加工方式总用时15天、总加工量140吨，设粗加工天数为未知数，根据“粗加工总量+精加工总量=140吨”列一元一次方程，求出两种加工的天数后，分别计算两部分利润相加得总利润；3. 计算方案三利润：尽可能多精加工即15天全部做精加工，先算出15天精加工的总吨数，剩余蔬菜直接销售，分别计算两部分利润相加得总利润；4. 比较三个方案总利润，数值最大的即为最优方案。
【解析】
设总利润为W，分别计算三个方案的利润：
方案一：粗加工每天可加工16t，15天可加工总量为$16×15=240\mathrm{t}$，$240\mathrm{t}＞140\mathrm{t}$，140t可在15天内全部粗加工完成。
总利润$W_1=4500×140=630000$元。
方案二：设15天中粗加工蔬菜x天，则精加工蔬菜$(15-x)$天。
根据总加工量为140t列方程：
$16x + 6(15 - x) = 140$
展开得：$16x + 90 - 6x = 140$
合并同类项得：$10x = 50$
解得：$x=5$
因此粗加工5天，精加工$15-5=10$天。
总利润$W_2=6×10×7500 + 16×5×4500 = 810000$元。
方案三：15天全部进行精加工，可加工总量为$6×15=90\mathrm{t}$，剩余直接销售的蔬菜为$140-90=50\mathrm{t}$。
总利润$W_3=90×7500 + 50×1000 = 725000$元。
比较得$630000 ＜ 725000 ＜ 810000$，即$W_1 ＜ W_3 ＜ W_2$。
【答案】
选择第二种方案获利最多。三种方案获利分别为630000元、810000元、725000元，方案二利润最高。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 方案优化问题 3. 利润计算
【点评】
本题属于典型的经营决策类应用题，解题关键是理清每个方案的约束条件（时间、加工量），准确梳理数量关系计算各方案总利润，解题时需注意计算的准确性，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.7
这是一道方案优化类的利润应用题，解题核心是分别计算三种方案的总利润，再比较大小选出获利最多的方案，思考步骤如下：1. 计算方案一利润：先判断140吨蔬菜全粗加工能否在15天内完成，若可以，直接用总吨数乘粗加工每吨利润即可；2. 计算方案二利润：已知两种加工方式总用时15天、总加工量140吨，设粗加工天数为未知数，根据“粗加工总量+精加工总量=140吨”列一元一次方程，求出两种加工的天数后，分别计算两部分利润相加得总利润；3. 计算方案三利润：尽可能多精加工即15天全部做精加工，先算出15天精加工的总吨数，剩余蔬菜直接销售，分别计算两部分利润相加得总利润；4. 比较三个方案总利润，数值最大的即为最优方案。
【解析】
设总利润为W，分别计算三个方案的利润：
方案一：粗加工每天可加工16t，15天可加工总量为$16×15=240\mathrm{t}$，$240\mathrm{t}＞140\mathrm{t}$，140t可在15天内全部粗加工完成。
总利润$W_1=4500×140=630000$元。
方案二：设15天中粗加工蔬菜x天，则精加工蔬菜$(15-x)$天。
根据总加工量为140t列方程：
$16x + 6(15 - x) = 140$
展开得：$16x + 90 - 6x = 140$
合并同类项得：$10x = 50$
解得：$x=5$
因此粗加工5天，精加工$15-5=10$天。
总利润$W_2=6×10×7500 + 16×5×4500 = 810000$元。
方案三：15天全部进行精加工，可加工总量为$6×15=90\mathrm{t}$，剩余直接销售的蔬菜为$140-90=50\mathrm{t}$。
总利润$W_3=90×7500 + 50×1000 = 725000$元。
比较得$630000 ＜ 725000 ＜ 810000$，即$W_1 ＜ W_3 ＜ W_2$。
【答案】
选择第二种方案获利最多。三种方案获利分别为630000元、810000元、725000元，方案二利润最高。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 方案优化问题 3. 利润计算
【点评】
本题属于典型的经营决策类应用题，解题关键是理清每个方案的约束条件（时间、加工量），准确梳理数量关系计算各方案总利润，解题时需注意计算的准确性，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3.小明用的数学练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是2元/本，元旦期间两家商店均打折促销.甲商店全部按标价的80％出售，乙商店的优惠方案是购买12本以上，从第13本开始按标价的70％出售.设小明要购买x(x＞12)本练习本.
(1)当小明到甲商店购买时，需付款多少元(用含x的代数式表示)?
(2)购买多少本练习本时，两家商店的收费相同?
(3)小明准备买50本练习本，为了节约开支，在哪家商店购买更划算?
(1)当小明到甲商店购买时，需付款多少元(用含x的代数式表示)?
(2)购买多少本练习本时，两家商店的收费相同?
(3)小明准备买50本练习本，为了节约开支，在哪家商店购买更划算?
答案
3.解:(1)依题意,得小明到甲商店购买需付款$2×80\%x=1.6x$(元).
(2)小明到乙商店购买需付款$2×12+2×70\%(x-12)=(1.4x+7.2)$元.
由题意,得$1.4x+7.2=1.6x$,
解得$x=36$.
答:购买36本练习本时,两家商店的收费相同.
(3)当$x=50$时,$1.6x=1.6×50=80$,
$1.4x+7.2=1.4×50+7.2=77.2$.
因为$80＞77.2$,
所以在乙商店购买更划算.
(2)小明到乙商店购买需付款$2×12+2×70\%(x-12)=(1.4x+7.2)$元.
由题意,得$1.4x+7.2=1.6x$,
解得$x=36$.
答:购买36本练习本时,两家商店的收费相同.
(3)当$x=50$时,$1.6x=1.6×50=80$,
$1.4x+7.2=1.4×50+7.2=77.2$.
因为$80＞77.2$,
所以在乙商店购买更划算.
解析
【分析】
(1) 甲商店全部商品按标价的80%销售，先算出甲店打折后的单本售价，再乘以购买数量x，即可得到甲店的付款金额。
(2) 要找两家收费相同的购买量，首先根据乙店的优惠规则：前12本按原价，超过12本的部分按标价70%销售，列出乙店付款的代数式，再令甲、乙两店的付款金额相等，建立一元一次方程求解即可。
(3) 判断购买50本时哪家更划算，只需将x=50分别代入甲、乙两店的付款代数式，计算出具体费用后比较大小，费用更低的店铺更划算。
【解析】
(1) 依题意，甲商店单本练习本的实际售价为$2×80\%$元，购买x本时需付款：
$2×80\%x=1.6x$（元）
(2) 乙商店购买x(x＞12)本的费用分为两部分：前12本按原价付款，超过12本的部分按7折付款，因此总费用为：
$2×12+2×70\%(x-12)=24+1.4(x-12)=1.4x+7.2$（元）
令两家商店收费相同，可得方程：
$1.4x+7.2=1.6x$
移项、合并同类项得：$0.2x=7.2$
解得：$x=36$
答：购买36本练习本时，两家商店的收费相同。
(3) 当$x=50$时，
甲商店付款：$1.6x=1.6×50=80$（元）
乙商店付款：$1.4x+7.2=1.4×50+7.2=77.2$（元）
因为$80＞77.2$，所以在乙商店购买更划算。
【答案】
(1) $1.6x$元；
(2) 36本；
(3) 乙商店。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的实际应用；最优方案选择
【点评】
本题结合日常购物优惠的实际场景设置问题，解题关键是准确理解不同优惠规则，正确列出对应费用的代数式，再通过解方程或代入求值解决问题，既考查了基础代数运算能力，也体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
(1) 甲商店全部商品按标价的80%销售，先算出甲店打折后的单本售价，再乘以购买数量x，即可得到甲店的付款金额。
(2) 要找两家收费相同的购买量，首先根据乙店的优惠规则：前12本按原价，超过12本的部分按标价70%销售，列出乙店付款的代数式，再令甲、乙两店的付款金额相等，建立一元一次方程求解即可。
(3) 判断购买50本时哪家更划算，只需将x=50分别代入甲、乙两店的付款代数式，计算出具体费用后比较大小，费用更低的店铺更划算。
【解析】
(1) 依题意，甲商店单本练习本的实际售价为$2×80\%$元，购买x本时需付款：
$2×80\%x=1.6x$（元）
(2) 乙商店购买x(x＞12)本的费用分为两部分：前12本按原价付款，超过12本的部分按7折付款，因此总费用为：
$2×12+2×70\%(x-12)=24+1.4(x-12)=1.4x+7.2$（元）
令两家商店收费相同，可得方程：
$1.4x+7.2=1.6x$
移项、合并同类项得：$0.2x=7.2$
解得：$x=36$
答：购买36本练习本时，两家商店的收费相同。
(3) 当$x=50$时，
甲商店付款：$1.6x=1.6×50=80$（元）
乙商店付款：$1.4x+7.2=1.4×50+7.2=77.2$（元）
因为$80＞77.2$，所以在乙商店购买更划算。
【答案】
(1) $1.6x$元；
(2) 36本；
(3) 乙商店。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的实际应用；最优方案选择
【点评】
本题结合日常购物优惠的实际场景设置问题，解题关键是准确理解不同优惠规则，正确列出对应费用的代数式，再通过解方程或代入求值解决问题，既考查了基础代数运算能力，也体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
