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1.已知直角三角形的两条直角边的长度和为18，则当三角形的面积最大时，其中一条直角边的长x的值为（
A.8
B.9
C.10
D.12
B
）A.8
B.9
C.10
D.12
答案
1.B
解析
【分析】
要解决该问题，首先结合已知条件把三角形面积表示为关于直角边长x的函数：已知一条直角边长为x，两条直角边和为18，因此另一条直角边长为18-x，再根据直角三角形面积公式得到面积的表达式，该表达式为二次函数，由于二次项系数小于0，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值，计算对称轴对应的x值即可得到答案。
【解析】
设其中一条直角边长为x，则另一条直角边长为$18-x$，设三角形面积为$S$。
根据直角三角形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(18-x)\\&=-\frac{1}{2}x^2+9x\end{aligned}$
该式为二次函数，其中$a=-\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$S$取最大值。
将$a=-\frac{1}{2}$、$b=9$代入对称轴公式得：
$x=-\frac{9}{2×(-\frac{1}{2})}=9$
即当$x=9$时，三角形面积最大。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值，三角形面积计算
【点评】
本题是几何最值与二次函数结合的基础题型，解题核心是将几何面积问题转化为二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，首先结合已知条件把三角形面积表示为关于直角边长x的函数：已知一条直角边长为x，两条直角边和为18，因此另一条直角边长为18-x，再根据直角三角形面积公式得到面积的表达式，该表达式为二次函数，由于二次项系数小于0，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值，计算对称轴对应的x值即可得到答案。
【解析】
设其中一条直角边长为x，则另一条直角边长为$18-x$，设三角形面积为$S$。
根据直角三角形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(18-x)\\&=-\frac{1}{2}x^2+9x\end{aligned}$
该式为二次函数，其中$a=-\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$S$取最大值。
将$a=-\frac{1}{2}$、$b=9$代入对称轴公式得：
$x=-\frac{9}{2×(-\frac{1}{2})}=9$
即当$x=9$时，三角形面积最大。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值，三角形面积计算
【点评】
本题是几何最值与二次函数结合的基础题型，解题核心是将几何面积问题转化为二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD=16，则四边形ABCD面积的最大值是
32
。答案
2. 32
解析
【分析】
首先回忆对角线互相垂直的四边形的面积计算公式：该类四边形的面积等于两条对角线乘积的一半。已知两条对角线的和为定值16，要求面积最大值，本质是求两条对角线乘积的最大值。我们可以设其中一条对角线长度为x，将另一条对角线长度用含x的代数式表示，再把面积转化为关于x的函数，最后求函数的最大值即可。
【解析】
设AC的长度为$x$（$0＜x＜16$），则BD的长度为$16-x$。
因为四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积为：
$S=\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2}x(16-x)$
整理得：$S=-\frac{1}{2}x^2 + 8x$
这是开口向下的二次函数，其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-\frac{1}{2})}=8$，符合x的取值范围。
将$x=8$代入面积公式，得最大值：
$S_{max}=\frac{1}{2}×8×(16-8)=32$
【答案】
32
【知识点】
1. 对角线垂直四边形面积计算
2. 二次函数最值求解
3. 和定积最值规律
【点评】
本题是几何与代数结合的典型最值问题，解题核心是先利用几何性质得到面积表达式，再通过代数方法求解最值，能有效锻炼数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
首先回忆对角线互相垂直的四边形的面积计算公式：该类四边形的面积等于两条对角线乘积的一半。已知两条对角线的和为定值16，要求面积最大值，本质是求两条对角线乘积的最大值。我们可以设其中一条对角线长度为x，将另一条对角线长度用含x的代数式表示，再把面积转化为关于x的函数，最后求函数的最大值即可。
【解析】
设AC的长度为$x$（$0＜x＜16$），则BD的长度为$16-x$。
因为四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，所以四边形ABCD的面积为：
$S=\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2}x(16-x)$
整理得：$S=-\frac{1}{2}x^2 + 8x$
这是开口向下的二次函数，其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-\frac{1}{2})}=8$，符合x的取值范围。
将$x=8$代入面积公式，得最大值：
$S_{max}=\frac{1}{2}×8×(16-8)=32$
【答案】
32
【知识点】
1. 对角线垂直四边形面积计算
2. 二次函数最值求解
3. 和定积最值规律
【点评】
本题是几何与代数结合的典型最值问题，解题核心是先利用几何性质得到面积表达式，再通过代数方法求解最值，能有效锻炼数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
3. 如图，利用$135°$的墙角修建一个四边形的储料场，已知$AD// BC$，$∠ C=90°$，新建的墙BCD总长为24 m.设边$CD=x$ m，四边形ABCD的面积为$y$ m².
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式.
(2)当BC长为多少时，储料场的面积最大？最大值是多少？
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式.
(2)当BC长为多少时，储料场的面积最大？最大值是多少？
答案
3. (1)$y=-\frac{3}{2}(x-8)^2+96$
(2)当BC长为16 m时,储料场的面积最大,最大值为96 m².
(2)当BC长为16 m时,储料场的面积最大,最大值为96 m².
解析
【分析】
（1）要推导y与x的函数表达式，首先判断四边形ABCD为直角梯形，先根据新建墙总长表示出BC的长度，再作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，求出梯形上底AD的长度，最后代入梯形面积公式整理即可得到函数关系式，再配方为顶点式。
（2）二次函数二次项系数为负，开口向下，顶点对应函数的最大值，先求出取最大值时x的取值，再计算BC长度和最大面积即可。
【解析】
(1) 过点A作$AE⊥ BC$于点E：
∵ $AD// BC$，$∠ C=90°$，$AE⊥ BC$，
∴ 四边形AECD是矩形，可得$AE=CD=x\ \mathrm{m}$，$AD=EC$，$∠ DAE=90°$。
∵ $∠ BAD=135°$，
∴ $∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=135°-90°=45°$，
又$∠ AEB=90°$，故$△ ABE$是等腰直角三角形，$BE=AE=x\ \mathrm{m}$。
∵ 墙BCD总长为24 m，$CD=x\ \mathrm{m}$，
∴ $BC=(24-x)\ \mathrm{m}$，
∴ $AD=EC=BC-BE=(24-x)-x=(24-2x)\ \mathrm{m}$。
根据梯形面积公式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(AD+BC)· CD\\&=\frac{1}{2}[(24-2x)+(24-x)]· x\\&=\frac{1}{2}(48-3x)x\\&=-\frac{3}{2}x^2+24x\\&=-\frac{3}{2}(x-8)^2+96\end{aligned}$
(2) 对于函数$y=-\frac{3}{2}(x-8)^2+96$，$a=-\frac{3}{2}＜0$，函数开口向下：
当$x=8$时，$y$取最大值96，
此时$BC=24-x=24-8=16\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{2}(x-8)^2+96$
(2) 当BC长为16 m时，储料场的面积最大，最大值是96 $\mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的最值，梯形面积计算，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何场景下的二次函数应用问题，解题核心是通过作辅助线将梯形各边用含x的代数式表示，再结合二次函数的性质求解最值，需注意实际问题中自变量的取值要符合几何意义。
【难度系数】
0.65
（1）要推导y与x的函数表达式，首先判断四边形ABCD为直角梯形，先根据新建墙总长表示出BC的长度，再作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，求出梯形上底AD的长度，最后代入梯形面积公式整理即可得到函数关系式，再配方为顶点式。
（2）二次函数二次项系数为负，开口向下，顶点对应函数的最大值，先求出取最大值时x的取值，再计算BC长度和最大面积即可。
【解析】
(1) 过点A作$AE⊥ BC$于点E：
∵ $AD// BC$，$∠ C=90°$，$AE⊥ BC$，
∴ 四边形AECD是矩形，可得$AE=CD=x\ \mathrm{m}$，$AD=EC$，$∠ DAE=90°$。
∵ $∠ BAD=135°$，
∴ $∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=135°-90°=45°$，
又$∠ AEB=90°$，故$△ ABE$是等腰直角三角形，$BE=AE=x\ \mathrm{m}$。
∵ 墙BCD总长为24 m，$CD=x\ \mathrm{m}$，
∴ $BC=(24-x)\ \mathrm{m}$，
∴ $AD=EC=BC-BE=(24-x)-x=(24-2x)\ \mathrm{m}$。
根据梯形面积公式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(AD+BC)· CD\\&=\frac{1}{2}[(24-2x)+(24-x)]· x\\&=\frac{1}{2}(48-3x)x\\&=-\frac{3}{2}x^2+24x\\&=-\frac{3}{2}(x-8)^2+96\end{aligned}$
(2) 对于函数$y=-\frac{3}{2}(x-8)^2+96$，$a=-\frac{3}{2}＜0$，函数开口向下：
当$x=8$时，$y$取最大值96，
此时$BC=24-x=24-8=16\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{2}(x-8)^2+96$
(2) 当BC长为16 m时，储料场的面积最大，最大值是96 $\mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的最值，梯形面积计算，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何场景下的二次函数应用问题，解题核心是通过作辅助线将梯形各边用含x的代数式表示，再结合二次函数的性质求解最值，需注意实际问题中自变量的取值要符合几何意义。
【难度系数】
0.65
4. 某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙,围成Ⅰ,Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙).请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图1,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1 m的水池,且需保证总种植面积为32 m²,试分别确定CG, DG的长.
(2)方案二:如图2,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问BC应设计为多长?此时最大面积为多少?
(1)方案一:如图1,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1 m的水池,且需保证总种植面积为32 m²,试分别确定CG, DG的长.
(2)方案二:如图2,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问BC应设计为多长?此时最大面积为多少?
答案
4. (1)$\because (21-12)÷ 3=3(\mathrm{m})$,
$\therefore$Ⅰ,Ⅱ两块矩形的总面积为$12× 3=36(\mathrm{m}^2)$.
设水池的长$DG=a$ m,则水池的面积为$a× 1=a(\mathrm{m}^2)$.
依题意,得$36-a=32$,解得$a=4$,
$\therefore DG=4\ \mathrm{m}$,$\therefore CG=CD-DG=12-4=8(\mathrm{m})$.
(2)设$BC$的长为$x$ m,则$CD$的长为$(21-3x)\mathrm{m}$.
由题知总种植面积为$(21-3x)· x=-3(x^2-7x)=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4}$.
$\because -3＜0$,$\therefore$当$x=\frac{7}{2}$时,$21-3x=\frac{21}{2}(\mathrm{m})$.
$\frac{21}{2}＜12$,符合题意.
答:$BC$应设计为$\frac{7}{2}\mathrm{m}$,此时围成的两块矩形总种植面积最大,最大面积为$\frac{147}{4}\ \mathrm{m}^2$.
$\therefore$Ⅰ,Ⅱ两块矩形的总面积为$12× 3=36(\mathrm{m}^2)$.
设水池的长$DG=a$ m,则水池的面积为$a× 1=a(\mathrm{m}^2)$.
依题意,得$36-a=32$,解得$a=4$,
$\therefore DG=4\ \mathrm{m}$,$\therefore CG=CD-DG=12-4=8(\mathrm{m})$.
(2)设$BC$的长为$x$ m,则$CD$的长为$(21-3x)\mathrm{m}$.
由题知总种植面积为$(21-3x)· x=-3(x^2-7x)=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4}$.
$\because -3＜0$,$\therefore$当$x=\frac{7}{2}$时,$21-3x=\frac{21}{2}(\mathrm{m})$.
$\frac{21}{2}＜12$,符合题意.
答:$BC$应设计为$\frac{7}{2}\mathrm{m}$,此时围成的两块矩形总种植面积最大,最大面积为$\frac{147}{4}\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 方案一：首先明确全部利用围墙长度即两块矩形的长$CD=AB=12\mathrm{m}$，$12\mathrm{m}$为平行于围墙的篱笆长度，剩余篱笆对应3条垂直于围墙的边（$AD$、$GH$、$BC$）的总长度，可先求出矩形的宽（即$AD$的长度），进而算出两块矩形的总面积；再结合水池宽度$AE=1\mathrm{m}$，设$DG$长为$a\ \mathrm{m}$，可得水池面积为$a×1$，根据“总种植面积=矩形总面积-水池面积”列方程求解$DG$，再用$CD$减去$DG$即可得到$CG$的长度。
(2) 方案二：设$BC$的长为$x\ \mathrm{m}$，由于有3条垂直于围墙的边，因此平行于围墙的边长$CD$为$(21-3x)\mathrm{m}$，结合墙长限制可知$CD≤12\mathrm{m}$；再根据矩形面积公式写出总种植面积关于$x$的二次函数表达式，利用二次函数的性质求最大值，最后验证结果是否符合墙长限制即可。
【解析】
(1) $\because$ 全部利用围墙长度，$\therefore CD=AB=12\mathrm{m}$，
垂直于围墙的3条边的总长度为$21-12=9\mathrm{m}$，因此每条边的长度为$9÷3=3\mathrm{m}$，
$\therefore$ Ⅰ、Ⅱ两块矩形的总面积为$12×3=36\mathrm{m}^2$。
设$DG$的长为$a\ \mathrm{m}$，已知$AE=1\mathrm{m}$，则水池面积为$1× a=a\ \mathrm{m}^2$，
依题意得$36-a=32$，解得$a=4$，即$DG=4\mathrm{m}$，
$\therefore CG=CD-DG=12-4=8\mathrm{m}$。
(2) 设$BC$的长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于围墙的$CD$边长为$(21-3x)\mathrm{m}$，
总种植面积$S=x(21-3x)=-3x^2+21x$，
配方得$S=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4}$，
$\because -3＜0$，$\therefore$ 当$x=\frac{7}{2}$时，$S$取得最大值，
此时$CD=21-3×\frac{7}{2}=\frac{21}{2}=10.5\mathrm{m}＜12\mathrm{m}$，符合墙长限制。
【答案】
(1) $CG$的长为$8\mathrm{m}$，$DG$的长为$4\mathrm{m}$；
(2) $BC$应设计为$\frac{7}{2}\mathrm{m}$，此时最大面积为$\frac{147}{4}\mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元一次方程应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生活中的种植基地搭建场景，既考查了方程的实际应用，也考查了二次函数求最值的方法，解题时需注意结合墙长的实际限制条件对结果进行验证，确保答案符合实际要求。
【难度系数】
0.65
(1) 方案一：首先明确全部利用围墙长度即两块矩形的长$CD=AB=12\mathrm{m}$，$12\mathrm{m}$为平行于围墙的篱笆长度，剩余篱笆对应3条垂直于围墙的边（$AD$、$GH$、$BC$）的总长度，可先求出矩形的宽（即$AD$的长度），进而算出两块矩形的总面积；再结合水池宽度$AE=1\mathrm{m}$，设$DG$长为$a\ \mathrm{m}$，可得水池面积为$a×1$，根据“总种植面积=矩形总面积-水池面积”列方程求解$DG$，再用$CD$减去$DG$即可得到$CG$的长度。
(2) 方案二：设$BC$的长为$x\ \mathrm{m}$，由于有3条垂直于围墙的边，因此平行于围墙的边长$CD$为$(21-3x)\mathrm{m}$，结合墙长限制可知$CD≤12\mathrm{m}$；再根据矩形面积公式写出总种植面积关于$x$的二次函数表达式，利用二次函数的性质求最大值，最后验证结果是否符合墙长限制即可。
【解析】
(1) $\because$ 全部利用围墙长度，$\therefore CD=AB=12\mathrm{m}$，
垂直于围墙的3条边的总长度为$21-12=9\mathrm{m}$，因此每条边的长度为$9÷3=3\mathrm{m}$，
$\therefore$ Ⅰ、Ⅱ两块矩形的总面积为$12×3=36\mathrm{m}^2$。
设$DG$的长为$a\ \mathrm{m}$，已知$AE=1\mathrm{m}$，则水池面积为$1× a=a\ \mathrm{m}^2$，
依题意得$36-a=32$，解得$a=4$，即$DG=4\mathrm{m}$，
$\therefore CG=CD-DG=12-4=8\mathrm{m}$。
(2) 设$BC$的长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于围墙的$CD$边长为$(21-3x)\mathrm{m}$，
总种植面积$S=x(21-3x)=-3x^2+21x$，
配方得$S=-3(x-\frac{7}{2})^2+\frac{147}{4}$，
$\because -3＜0$，$\therefore$ 当$x=\frac{7}{2}$时，$S$取得最大值，
此时$CD=21-3×\frac{7}{2}=\frac{21}{2}=10.5\mathrm{m}＜12\mathrm{m}$，符合墙长限制。
【答案】
(1) $CG$的长为$8\mathrm{m}$，$DG$的长为$4\mathrm{m}$；
(2) $BC$应设计为$\frac{7}{2}\mathrm{m}$，此时最大面积为$\frac{147}{4}\mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元一次方程应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生活中的种植基地搭建场景，既考查了方程的实际应用，也考查了二次函数求最值的方法，解题时需注意结合墙长的实际限制条件对结果进行验证，确保答案符合实际要求。
【难度系数】
0.65
