5.如图,用一块直径为4 m的圆形桌布平铺在对角线长为4 m的正方形桌面上,若四周下垂的最大长度相等(都为x m),则这个最大长度为m(用根号表示).

知识建构

正多边形的概念 应用 正多边形的判定
正多边形的有关计算
正多边形的画法 等分圆画正多边形

5.$(2-\sqrt{2})$

【分析】
要解决这个问题，首先明确：当四周下垂最大长度相等时，圆形桌布的圆心与正方形桌面的中心重合，下垂的最大长度x等于圆形桌布的半径减去正方形桌面的边心距（正方形中心到边的距离）。解题步骤为：①先求圆形桌布的半径；②根据正方形对角线长求出其边心距；③两者作差即可得到x的值。
【解析】
解：已知圆形桌布的直径为4m，因此桌布的半径 $ R=\frac{4}{2}=2\ \mathrm{m} $。
正方形桌面的对角线长为4m，设正方形边长为a，由勾股定理得：
$ a^2+a^2=4^2 $
$ 2a^2=16 $
解得 $ a=2\sqrt{2}\ \mathrm{m} $（边长为正，舍去负根）。
正方形的边心距（中心到任意一边的距离）d等于边长的一半，即：
$ d=\frac{a}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\ \mathrm{m} $。
下垂最大长度x为圆半径与正方形边心距的差，因此：
$ x=R-d=2-\sqrt{2}\ \mathrm{m} $。
【答案】
$ 2-\sqrt{2} $
【知识点】
正多边形的有关计算、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题结合生活场景考查正多边形与圆的综合计算，解题核心是理解下垂长度的几何含义，侧重考查学生将实际问题转化为几何问题的能力，以及对正方形性质、勾股定理的运用能力。
【难度系数】
0.7

1.下列说法正确的是 （）

A.各边相等的多边形是正多边形
B.正多边形一定是中心对称图形
C.各角相等的圆内接多边形是正多边形
D.正多边形外接圆的半径是正多边形的半径

1.D

【分析】
本题考查正多边形的相关概念及性质，解题时可采用逐个分析选项、结合反例排除错误结论的方法：首先回忆正多边形的判定条件、对称性、圆内接多边形的特点、正多边形半径的定义，对每个选项逐一验证，错误选项举出反例即可排除，最终确定正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正多边形的定义是：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。仅各边相等不能判定是正多边形，例如菱形的各边相等，但它的角不一定都相等，不属于正多边形，故A错误。
B. 中心对称图形是绕对称中心旋转180°后能和自身重合的图形。正多边形中，边数为奇数的正多边形（如正三角形）旋转180°后无法和自身重合，不属于中心对称图形，故B错误。
C. 各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，例如矩形的四个角都是直角，它是圆内接四边形，但矩形的边不一定都相等，不属于正多边形，故C错误。
D. 根据正多边形的相关定义，正多边形外接圆的半径就叫做正多边形的半径，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的定义；正多边形的性质；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握正多边形的判定、性质以及和圆相关的概念，注意运用特殊反例可以快速排除错误选项，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7

2.如图，正方形ABCD内接于$\odot O$，若$AB=4$，$\odot O$的半径为（）

A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$2$
D.$4$

2.B

【分析】
要解决本题，首先明确正方形内接于圆的性质：正方形的四个顶点都在圆上，此时正方形的对角线就是圆的直径。我们可以先利用勾股定理求出正方形的对角线长度，再除以2即可得到圆的半径。
【解析】
连接BD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此BD是⊙O的直径。
∵正方形ABCD边长AB=4，
∴AD=AB=4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的性质、勾股定理、圆周角定理推论
【点评】
本题是正多边形与圆的基础题型，解题关键是理解正方形内接于圆时，其对角线与圆直径的对应关系，结合勾股定理即可快速求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.7

3.如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，则它的内切圆半径为 （）

A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

3.D

【分析】
要计算正六边形的内切圆半径，首先明确正多边形的内切圆半径等于其边心距（即正多边形中心到任意一边的距离）。解题思路如下：1. 连接正六边形中心与相邻两个顶点，得到中心角，正六边形的中心角为360°÷6=60°，结合半径相等可判断该三角形为等边三角形，边长等于正六边形的边长2；2. 过中心作边的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理计算边心距，即为内切圆半径。
【解析】
连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，OG即为正六边形的内切圆半径。
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴ ∠AOB = 360°÷6 = 60°
又
∵ OA=OB（都是⊙O的半径）
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=OB=AB=2
∵ OG⊥AB，△AOB是等边三角形
∴ AG = $\frac{1}{2}$AB = 1
在Rt△AOG中，由勾股定理得：
OG = $\sqrt{OA^2 - AG^2}$ = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$
即正六边形的内切圆半径为$\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是明确正六边形内切圆半径与边心距的关系，利用正六边形中心角为60°的特殊性质得到等边三角形，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7

4.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点C的直径与⊙O交于点F，连接AC，则∠ACF的度数为。

4.$18°$

【分析】
要求∠ACF的度数，观察可知∠ACF是⊙O的圆周角，根据圆周角定理，只需要求出它所对的弧AF的度数即可。首先利用正五边形内接于圆的性质，算出每条边对应弧的度数，再结合直径所对的弧为半圆（180°），求出弧AF的度数，最后用圆周角定理计算角度即可。
【解析】
1. 因为正五边形ABCDE内接于⊙O，正五边形各边相等，所以各边所对的弧长相等，每条边对应的弧的度数为：$ \frac{360°}{5}=72° $，即$ \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=72° $。
2. 因为CF是过圆心O的直径，所以直径所对的弧$ \overset{\frown}{CF}=180° $，由此可得：$ \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AF}=180° $。
代入弧的度数计算$ \overset{\frown}{AF} $的度数：$ \overset{\frown}{AF}=180° - 72° - 72° =36° $。
3. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，∠ACF所对的弧为$ \overset{\frown}{AF} $，因此：
$ ∠ ACF=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AF}的度数=\frac{1}{2}×36°=18° $。
【答案】
$ 18° $
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆周角定理，直径的性质
【点评】
本题考查正多边形和圆结合的角度计算，解题的核心是将角度问题转化为对应弧的度数问题，熟练掌握圆周角定理和正多边形的弧的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

5.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC.若正六边形的边长为4，则点O到AC的距离为。

5.$2$

【分析】要计算点O到AC的距离，首先利用正六边形的性质：正六边形的外接圆半径等于边长，每个中心角为60°。连接OA、OC，可得△OAC是顶角为120°的等腰三角形，过O作AC的垂线，即所求距离，结合等腰三角形三线合一的性质，将问题转化为直角三角形中求边长的问题，利用三角函数或勾股定理即可求解。
【解析】
解：连接OA、OC，过点O作OG⊥AC于点G，则OG的长度就是点O到AC的距离。
∵ 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
∴ $∠ AOC=2×60°=120°$，且正六边形的边长等于外接圆半径，即$OA=OC=4$，△OAC为等腰三角形。
根据等腰三角形三线合一的性质，OG平分$∠ AOC$，即$∠ AOG=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$。
在$Rt△ OGA$中，$∠ OGA=90°$，$∠ AOG=60°$，$OA=4$，
∴ $OG=OA·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$。
【答案】2
【知识点】正六边形的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形
【点评】本题是正多边形与三角形结合的基础题，解题的关键是熟练掌握正六边形的中心角、边长与外接圆半径的关系，结合等腰三角形的性质将未知线段转化到直角三角形中求解。
【难度系数】0.7

6.如图所示，$△ AOB$是正三角形，以点O为圆心，OA为半径作$\odot O$，直径$FC // AB$，AO，BO的延长线交$\odot O$于点D，E.求证：六边形ABCDEF为圆内接正六边形.

6.证明:因为$△ AOB$是正三角形,
所以$∠ AOB = ∠ OAB = ∠ OBA = 60°$,$OB=OA$,所以点$B$在$\odot O$上.
因为$FC// AB$,
所以$∠ FOA = ∠ OAB = 60°$,$∠ COB = ∠ OBA=60°$,
所以$∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COD = ∠ DOE=∠ EOF=∠ FOA=60°$,
所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FA}$.
所以六边形$ABCDEF$为圆内接正六边形.

【分析】
要证明六边形ABCDEF是圆内接正六边形，根据圆内接正多边形的判定规则，只需证明六个顶点将⊙O六等分，即六个圆心角相等、对应各段弧相等即可。首先利用正三角形的性质得到∠AOB=60°，再结合FC//AB的平行线性质推导∠FOA、∠COB的度数，最后利用对顶角相等推出所有圆心角均为60°，即可得到六段弧相等，完成证明。
【解析】
证明：因为$△ AOB$是正三角形，
所以$∠ AOB = ∠ OAB = ∠ OBA = 60°$，$OB=OA$，所以点$B$在$\odot O$上。
因为$FC // AB$，
所以$∠ FOA = ∠ OAB = 60°$，$∠ COB = ∠ OBA=60°$，
结合对顶角相等可得$∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COD = ∠ DOE=∠ EOF=∠ FOA=60°$，
所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FA}$。
所以六边形$ABCDEF$为圆内接正六边形。
【答案】
证明:因为$△ AOB$是正三角形,
所以$∠ AOB = ∠ OAB = ∠ OBA = 60°$,$OB=OA$,所以点$B$在$\odot O$上.
因为$FC// AB$,
所以$∠ FOA = ∠ OAB = 60°$,$∠ COB = ∠ OBA=60°$,
所以$∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COD = ∠ DOE=∠ EOF=∠ FOA=60°$,
所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FA}$.
所以六边形$ABCDEF$为圆内接正六边形.
【知识点】
正多边形与圆的判定、平行线的性质、正三角形的性质
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查圆内接正多边形的判定方法，解题关键是通过角度推导得到同圆中各圆心角相等，进而得到等弧即可判定正多边形，解题时需熟练结合正三角形、平行线的性质进行角度推导。
【难度系数】
0.75