【例1】如图，A是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上一点，过点A作$AC⊥x$轴，垂足为C.B为y轴上一点，连接AB，BC.若$△ ABC$的面积为8，则k的值是（）


A.8
B.－8
C.16
D.－16
【规律方法】
计算与双曲线上的点有关的图形面积
如图，$S_{△ AOP}=\frac{|k_1|}{2}, S_{△ APB}=\frac{|k_2|}{2}.$

D

【分析】
解题时先回忆反比例函数k的几何意义，再观察△ABC的特征：AC⊥x轴可得AC与y轴平行，点B在y轴上，因此点B和原点O到AC的距离相等，可推出△ABC和△AOC同底等高，面积相等。再利用反比例函数的面积公式求出|k|，最后结合图象所在象限确定k的符号即可。
【解析】
连接OA，
∵AC⊥x轴，y轴⊥x轴，
∴AC//y轴，
∴点B到直线AC的距离等于点O到直线AC的距离（平行线间的距离处处相等），
∴△ABC与△AOC同底（AC为公共底）等高，
∴$S_{△ AOC}=S_{△ ABC}=8$。
根据反比例函数k的几何意义可知，过反比例函数图象上的点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，即：
$\frac{1}{2}|k|=8$，
解得$|k|=16$。
结合反比例函数图象所在象限（图象位于第二或第四象限），可知k＜0，因此k=-16。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.三角形面积计算
3.平行线的性质
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题型，解题核心是通过平行线的性质将未知三角形面积转化为与k直接相关的三角形面积，解题时要注意结合图象判断k的符号，避免漏考虑符号出错。
【难度系数】
0.6

1.如图,在平面直角坐标系中,点A在函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上,过点A作AC//x轴,交y轴于点C,在y轴负半轴上取一点B,使$OB=\frac{1}{2}OC$,连接AB,则△ABC的面积为 ()

A.3
B.4
C.6
D.8

C

【分析】
解题时可从反比例函数的性质入手：1. 先设出点A的坐标，利用点在反比例函数图象上可得横纵坐标的乘积等于k=8；2. 由AC//x轴得到点C的坐标，进而得到OC的长度，结合OB=1/2OC求出点B到AC的竖直距离；3. 以AC为底，点B到AC的距离为高，代入三角形面积公式，整体代入ab=8即可求出面积。也可结合反比例函数k的几何意义先求△AOC的面积，再利用两个三角形同底、高的比等于面积比快速求解。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$，
∵点A在函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$ab=8$。
∵$AC// x$轴，交y轴于点C，
∴点C的坐标为$(0,b)$，$AC=a$，$OC=b$。
∵点B在y轴负半轴，且$OB=\frac{1}{2}OC$，
∴$OB=\frac{1}{2}b$，点B到AC的竖直距离为$OC+OB=b+\frac{1}{2}b=\frac{3}{2}b$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC ×$ 点B到AC的距离 $=\frac{1}{2}× a × \frac{3}{2}b=\frac{3}{4}ab$
将$ab=8$代入得：$S_{△ ABC}=\frac{3}{4}×8=6$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常见题型，解题时不需要求出点的具体坐标，利用整体代入的思想结合反比例函数的性质即可快速求解，较好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7

【例2】如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1=kx+b(k≠0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象交于A,B两点,与y轴交于点C.已知点A(8,2),点B的横坐标为-4.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式.
(2)观察图象,直接写出当$y_1＞y_2$时,自变量x的取值范围.
(3)若D是y轴上一点,且$S_{△ ABD}=24$,请求出点D的坐标.
解:

(1)一次函数的解析式为 $y_1=\frac{1}{2}x-2$.反比例函数的解析式为 $y_2=\frac{16}{x}$.
(2)$-4＜x＜0$ 或 $x＞8$.
(3)$D(0,2)$或 $D(0,-6)$.

【分析】
(1) 求函数解析式用待定系数法：先将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，得到反比例函数解析式；再将B的横坐标代入反比例函数求出B的纵坐标，得到B点完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可求出k、b，得到一次函数解析式。
(2) $y_1＞y_2$对应一次函数图象在反比例函数图象上方的区域，结合两个交点的横坐标及反比例函数$x≠0$的特点，分区间写出x的取值范围即可。
(3) 先求出一次函数与y轴交点C的坐标，设D点坐标为$(0,d)$，$△ ABD$的面积可拆分为$△ ACD$和$△ BCD$的面积和，两个三角形同底为CD的长度，高分别为A、B两点到y轴的距离，根据面积列方程求解即可，注意绝对值带来的两种情况。
【解析】
(1) 将$A(8,2)$代入反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$，得：
$2=\frac{m}{8}$，解得$m=16$，
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{16}{x}$。
将$x=-4$代入$y_2=\frac{16}{x}$，得$y=\frac{16}{-4}=-4$，
∴B点坐标为$(-4,-4)$。
将$A(8,2)$、$B(-4,-4)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得：
$\begin{cases}8k+b=2 \\ -4k+b=-4\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$12k=6$，解得$k=\frac{1}{2}$，
将$k=\frac{1}{2}$代入$8k+b=2$，得$4+b=2$，解得$b=-2$，
∴一次函数的解析式为$y_1=\frac{1}{2}x-2$。
(2) 观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的区域对应x的范围是：$-4＜x＜0$或$x＞8$。
(3) 对于一次函数$y_1=\frac{1}{2}x-2$，令$x=0$，得$y=-2$，
∴C点坐标为$(0,-2)$。
设D点坐标为$(0,d)$，则$CD=|d - (-2)|=|d+2|$。
$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD×8+\frac{1}{2}× CD×4=6CD$
已知$S_{△ ABD}=24$，
∴$6|d+2|=24$，即$|d+2|=4$，
∴$d+2=4$或$d+2=-4$，解得$d=2$或$d=-6$，
∴D点坐标为$(0,2)$或$(0,-6)$。
【答案】
(1)一次函数的解析式为 $y_1=\frac{1}{2}x-2$，反比例函数的解析式为 $y_2=\frac{16}{x}$；
(2)$-4＜x＜0$ 或 $x＞8$；
(3)$D(0,2)$或 $D(0,-6)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数值大小比较，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题核心是熟练运用待定系数法求函数解析式，结合数形结合思想判断函数值大小关系，计算三角形面积时采用拆分法简化计算，要注意多解情况不要漏解。
【难度系数】
0.7