登录
2.如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=x+b$的图象交于点$A(1,4),B(-4,n),$
C为一次函数图象与y轴的交点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
(2)求$△ OAB$的面积.
(3)直接写出不等式$x+b-\frac{k}{x}＞0$的解集.
C为一次函数图象与y轴的交点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
(2)求$△ OAB$的面积.
(3)直接写出不等式$x+b-\frac{k}{x}＞0$的解集.
答案
(1)一次函数的解析式是 $y=x+3$,反比例函数的解析式是 $y=\frac{4}{x}$.
(2)$S_{△ OAB}=\frac{15}{2}$.
(3)$x＞1$ 或 $-4＜x＜0$.
(2)$S_{△ OAB}=\frac{15}{2}$.
(3)$x＞1$ 或 $-4＜x＜0$.
解析
【分析】
(1)求函数解析式可采用待定系数法：先将点A坐标代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数解析式；再将点B代入反比例函数求出n值，得到点B坐标，最后将点A代入一次函数解析式求出b值，即可得到一次函数解析式。
(2)求△OAB的面积时，由于O为原点，直接利用底高计算不方便，可采用割补法：先找到一次函数与x轴的交点，将△OAB分割为两个同底的三角形，分别计算两个三角形的面积再求和即可。
(3)不等式$x+b-\frac{k}{x}＞0$可变形为$x+b＞\frac{k}{x}$，即一次函数值大于反比例函数值，结合两个函数的图象交点，直接读取一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1) 把$A(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
把$B(-4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得：
$n=\frac{4}{-4}=-1$，即$B(-4,-1)$。
把$A(1,4)$代入一次函数$y=x+b$，得：
$4=1+b$，解得$b=3$，
∴一次函数的解析式为$y=x+3$。
(2) 设一次函数$y=x+3$与x轴的交点为D，令$y=0$，则$0=x+3$，解得$x=-3$，
∴$D(-3,0)$，$OD=3$。
$S_{△ OAB}=S_{△ OAD}+S_{△ OBD}$
$=\frac{1}{2}× OD× |y_A|+\frac{1}{2}× OD× |y_B|$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×1$
$=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$。
(3) 不等式$x+b-\frac{k}{x}＞0$即$x+b＞\frac{k}{x}$，对应一次函数图象在反比例函数图象上方的x的范围，结合图象交点$A(1,4)$、$B(-4,-1)$，可得解集为$x＞1$或$-4＜x＜0$。
【答案】
(1)一次函数的解析式是 $y=x+3$,反比例函数的解析式是 $y=\frac{4}{x}$；
(2)$S_{△ OAB}=\frac{15}{2}$；
(3)$x＞1$ 或 $-4＜x＜0$。
【知识点】
待定系数法求解析式，割补法求面积，函数与不等式结合
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，解题核心是熟练运用待定系数法求函数解析式，掌握割补法求不规则图形面积的技巧，同时要学会结合数形结合思想，利用函数图象直接求解不等式的解集。
【难度系数】
0.7
(1)求函数解析式可采用待定系数法：先将点A坐标代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数解析式；再将点B代入反比例函数求出n值，得到点B坐标，最后将点A代入一次函数解析式求出b值，即可得到一次函数解析式。
(2)求△OAB的面积时，由于O为原点，直接利用底高计算不方便，可采用割补法：先找到一次函数与x轴的交点，将△OAB分割为两个同底的三角形，分别计算两个三角形的面积再求和即可。
(3)不等式$x+b-\frac{k}{x}＞0$可变形为$x+b＞\frac{k}{x}$，即一次函数值大于反比例函数值，结合两个函数的图象交点，直接读取一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1) 把$A(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
把$B(-4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得：
$n=\frac{4}{-4}=-1$，即$B(-4,-1)$。
把$A(1,4)$代入一次函数$y=x+b$，得：
$4=1+b$，解得$b=3$，
∴一次函数的解析式为$y=x+3$。
(2) 设一次函数$y=x+3$与x轴的交点为D，令$y=0$，则$0=x+3$，解得$x=-3$，
∴$D(-3,0)$，$OD=3$。
$S_{△ OAB}=S_{△ OAD}+S_{△ OBD}$
$=\frac{1}{2}× OD× |y_A|+\frac{1}{2}× OD× |y_B|$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×1$
$=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$。
(3) 不等式$x+b-\frac{k}{x}＞0$即$x+b＞\frac{k}{x}$，对应一次函数图象在反比例函数图象上方的x的范围，结合图象交点$A(1,4)$、$B(-4,-1)$，可得解集为$x＞1$或$-4＜x＜0$。
【答案】
(1)一次函数的解析式是 $y=x+3$,反比例函数的解析式是 $y=\frac{4}{x}$；
(2)$S_{△ OAB}=\frac{15}{2}$；
(3)$x＞1$ 或 $-4＜x＜0$。
【知识点】
待定系数法求解析式，割补法求面积，函数与不等式结合
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，解题核心是熟练运用待定系数法求函数解析式，掌握割补法求不规则图形面积的技巧，同时要学会结合数形结合思想，利用函数图象直接求解不等式的解集。
【难度系数】
0.7
1.正比例函数$y=2x$的图象与反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象的交点位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、第三象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、第三象限
答案
D
解析
【分析】
要判断两个函数图象交点的所在象限，有两种解题思路：思路一：联立两个函数的解析式，解方程组得到交点坐标，再根据坐标的正负判断对应象限；思路二：分别根据正比例函数、反比例函数的系数判断各自图象经过的象限，两个函数都经过的象限就是交点所在的象限。
【解析】
方法一：联立两个函数解析式求解交点
联立得方程组：$\begin{cases}y=2x \\ y=\dfrac{2}{x} \end{cases}$
将$y=2x$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$2x=\dfrac{2}{x}$，由反比例函数定义可知$x≠0$，两边同乘$x$得$2x^2=2$，化简得$x^2=1$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$。
当$x=1$时，$y=2×1=2$，交点坐标为$(1,2)$，属于第一象限；
当$x=-1$时，$y=2×(-1)=-2$，交点坐标为$(-1,-2)$，属于第三象限。
因此两个交点分别位于第一、第三象限。
方法二：利用函数图象性质判断
正比例函数$y=2x$中，比例系数$k=2＞0$，因此图象经过第一、第三象限；
反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$中，比例系数$k=2＞0$，因此图象的两个分支分别位于第一、第三象限。
两个函数图象都经过第一、第三象限，因此交点位于第一、第三象限。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；函数交点的求解
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过计算交点坐标直观判断，也可以利用函数图象的性质快速推导，两种方法都能高效解题，重点考查对正比例、反比例函数图象规律的掌握程度。
【难度系数】
0.85
要判断两个函数图象交点的所在象限，有两种解题思路：思路一：联立两个函数的解析式，解方程组得到交点坐标，再根据坐标的正负判断对应象限；思路二：分别根据正比例函数、反比例函数的系数判断各自图象经过的象限，两个函数都经过的象限就是交点所在的象限。
【解析】
方法一：联立两个函数解析式求解交点
联立得方程组：$\begin{cases}y=2x \\ y=\dfrac{2}{x} \end{cases}$
将$y=2x$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$2x=\dfrac{2}{x}$，由反比例函数定义可知$x≠0$，两边同乘$x$得$2x^2=2$，化简得$x^2=1$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$。
当$x=1$时，$y=2×1=2$，交点坐标为$(1,2)$，属于第一象限；
当$x=-1$时，$y=2×(-1)=-2$，交点坐标为$(-1,-2)$，属于第三象限。
因此两个交点分别位于第一、第三象限。
方法二：利用函数图象性质判断
正比例函数$y=2x$中，比例系数$k=2＞0$，因此图象经过第一、第三象限；
反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$中，比例系数$k=2＞0$，因此图象的两个分支分别位于第一、第三象限。
两个函数图象都经过第一、第三象限，因此交点位于第一、第三象限。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；函数交点的求解
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过计算交点坐标直观判断，也可以利用函数图象的性质快速推导，两种方法都能高效解题，重点考查对正比例、反比例函数图象规律的掌握程度。
【难度系数】
0.85
2.如图，P是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上一点，过点P向x轴作垂线，垂足为M，连接PO，若△OPM的面积为2，则k=（
A.2
B.－2
C.4
D.－4
D
）A.2
B.－2
C.4
D.－4
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。第一步先根据三角形面积求出|k|的值，第二步结合反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的取值。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$，
∵点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$PM⊥ x$轴，△OPM是直角三角形，直角边长度分别为$|x|$、$|y|$，
∴$S_{△ OPM}=\frac{1}{2}×|x|×|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ OPM}=2$，代入得$\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$。
由图可知反比例函数图象在第二象限，当$x＜0$时，$y＞0$，因此$k=xy＜0$，
∴$k=-4$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，解题的易错点是容易忽略函数图象所在象限，忘记判断k的符号，仅根据面积求出k的绝对值就直接选答案，因此做题时要结合图象特征确定k的正负。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。第一步先根据三角形面积求出|k|的值，第二步结合反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的取值。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$，
∵点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$PM⊥ x$轴，△OPM是直角三角形，直角边长度分别为$|x|$、$|y|$，
∴$S_{△ OPM}=\frac{1}{2}×|x|×|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ OPM}=2$，代入得$\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$。
由图可知反比例函数图象在第二象限，当$x＜0$时，$y＞0$，因此$k=xy＜0$，
∴$k=-4$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，解题的易错点是容易忽略函数图象所在象限，忘记判断k的符号，仅根据面积求出k的绝对值就直接选答案，因此做题时要结合图象特征确定k的正负。
【难度系数】
0.7
3.如图，一次函数$y=x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于点$A(2,3),B(-3,m)$，观察图象写出不等式$x+b＞\frac{k}{x}$的解集：
$x＞2$ 或 $-3＜x＜0$
.答案
$x＞2$ 或 $-3＜x＜0$
解析
【分析】
要解不等式$x+b＞\frac{k}{x}$，本质是找一次函数$y=x+b$的函数值大于反比例函数$y=\frac{k}{x}$的函数值时x的取值范围，对应图象上就是一次函数图象在反比例函数图象上方的区域对应的x值。首先明确两个函数的交点A、B是函数值相等的位置，是解集的分界点，再结合反比例函数$x≠0$的特点，分$x＞0$和$x＜0$两个区域观察图象即可得到解集。
【解析】
不等式$x+b＞\frac{k}{x}$的几何意义是：一次函数$y=x+b$的图象位于反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上方时，对应的自变量x的取值范围。
已知两函数图象交于$A(2,3)$、$B(-3,m)$，这两个点处两个函数的函数值相等：
1. 在$x＞0$的区域观察图象：当$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
2. 在$x＜0$的区域（反比例函数自变量不能为0）观察图象：当$-3＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
综上可得不等式的解集。
【答案】
$x＞2$ 或 $-3＜x＜0$
【知识点】
一次函数与反比例函数交点、函数图象解不等式、反比例函数性质
【点评】
本题考查函数与不等式的结合应用，解题核心是将代数的大小关系转化为图象的上下位置关系，求解时要注意反比例函数自变量不能为0的限制，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解不等式$x+b＞\frac{k}{x}$，本质是找一次函数$y=x+b$的函数值大于反比例函数$y=\frac{k}{x}$的函数值时x的取值范围，对应图象上就是一次函数图象在反比例函数图象上方的区域对应的x值。首先明确两个函数的交点A、B是函数值相等的位置，是解集的分界点，再结合反比例函数$x≠0$的特点，分$x＞0$和$x＜0$两个区域观察图象即可得到解集。
【解析】
不等式$x+b＞\frac{k}{x}$的几何意义是：一次函数$y=x+b$的图象位于反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上方时，对应的自变量x的取值范围。
已知两函数图象交于$A(2,3)$、$B(-3,m)$，这两个点处两个函数的函数值相等：
1. 在$x＞0$的区域观察图象：当$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
2. 在$x＜0$的区域（反比例函数自变量不能为0）观察图象：当$-3＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足不等式；
综上可得不等式的解集。
【答案】
$x＞2$ 或 $-3＜x＜0$
【知识点】
一次函数与反比例函数交点、函数图象解不等式、反比例函数性质
【点评】
本题考查函数与不等式的结合应用，解题核心是将代数的大小关系转化为图象的上下位置关系，求解时要注意反比例函数自变量不能为0的限制，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4.如图,在平面直角坐标系中,过点$M(-2,1)$分别作$x$轴、$y$轴的垂线与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象交于$A$,$B$两点,则四边形$MAOB$的面积为
$6$
.答案
6
解析
【分析】
本题要求不规则四边形MAOB的面积，可采用割补法转化为规则图形面积之和求解，结合反比例函数的性质简化计算：首先根据点M的坐标确定A、B两点的坐标特征，再利用反比例函数k的几何意义求出相关直角三角形的面积，最后加上M与坐标轴围成的矩形面积即可得到四边形总面积。
【解析】
设过点M作x轴的垂线交x轴于点C，作y轴的垂线交y轴于点D。
1. 计算矩形MCOD的面积：
已知$M(-2,1)$，则$OC=2$，$MC=1$，矩形MCOD的面积为$OC× MC=2×1=2$。
2. 计算$△ AOC$的面积：
A点在过M的x轴垂线上，横坐标为$-2$，代入$y=\frac{4}{x}$得$y=\frac{4}{-2}=-2$，即$A(-2,-2)$，$AC=2$。
计算得：$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× AC=\frac{1}{2}×2×2=2$。
3. 计算$△ BOD$的面积：
B点在过M的y轴垂线上，纵坐标为$1$，代入$y=\frac{4}{x}$得$x=\frac{4}{1}=4$，即$B(4,1)$，$BD=4$。
计算得：$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}× OD× BD=\frac{1}{2}×1×4=2$。
4. 求四边形MAOB的面积：
$S_{四边形MAOB}=S_{矩形MCOD}+S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=2+2+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数k的几何意义；割补法求面积；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础题型，核心是利用割补法将不规则四边形转化为矩形和直角三角形的面积和，熟练运用反比例函数中k的几何意义可大幅提升解题效率，是反比例函数面积类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题要求不规则四边形MAOB的面积，可采用割补法转化为规则图形面积之和求解，结合反比例函数的性质简化计算：首先根据点M的坐标确定A、B两点的坐标特征，再利用反比例函数k的几何意义求出相关直角三角形的面积，最后加上M与坐标轴围成的矩形面积即可得到四边形总面积。
【解析】
设过点M作x轴的垂线交x轴于点C，作y轴的垂线交y轴于点D。
1. 计算矩形MCOD的面积：
已知$M(-2,1)$，则$OC=2$，$MC=1$，矩形MCOD的面积为$OC× MC=2×1=2$。
2. 计算$△ AOC$的面积：
A点在过M的x轴垂线上，横坐标为$-2$，代入$y=\frac{4}{x}$得$y=\frac{4}{-2}=-2$，即$A(-2,-2)$，$AC=2$。
计算得：$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× AC=\frac{1}{2}×2×2=2$。
3. 计算$△ BOD$的面积：
B点在过M的y轴垂线上，纵坐标为$1$，代入$y=\frac{4}{x}$得$x=\frac{4}{1}=4$，即$B(4,1)$，$BD=4$。
计算得：$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}× OD× BD=\frac{1}{2}×1×4=2$。
4. 求四边形MAOB的面积：
$S_{四边形MAOB}=S_{矩形MCOD}+S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=2+2+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数k的几何意义；割补法求面积；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础题型，核心是利用割补法将不规则四边形转化为矩形和直角三角形的面积和，熟练运用反比例函数中k的几何意义可大幅提升解题效率，是反比例函数面积类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
