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10.(教材P121 随堂练习 T1 变式)如图,点O表示小明家,A,B,C分别表示学校、高铁站、博物馆,以小明家为参照点,请用方向角分别表示学校、博物馆、高铁站的方向.
答案
10.解:学校在小明家的东北(或北偏东 $45°$)方向上;博物馆在小明家的南偏东 $50°$方向上,高铁站在小明家的南偏西 $65°$方向上.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确观测点为小明家（点O），方向遵循“上北下南、左西右东”的规则。描述方向角时，通常先以正北或正南方向为起始边，再判断目标点偏向东还是西，最后读取起始边和指向目标点的射线的夹角，即可得出对应方向。接下来逐个对三个地点分析：先确定每个地点处于南北、东西方向的哪个区间，再匹配标注的夹角度数，就能写出规范的方向描述。
【解析】
解：以小明家（点O）为观测点，结合方向标和标注角度分析：
1. 学校（点A）处于正北与正东方向之间，与正北方向夹角为45°，因此学校在小明家北偏东45°（或东北）方向上；
2. 博物馆（点C）处于正南与正东方向之间，与正南方向夹角为50°，因此博物馆在小明家南偏东50°方向上；
3. 高铁站（点B）处于正南与正西方向之间，与正南方向夹角为65°，因此高铁站在小明家南偏西65°方向上。
【答案】
学校在小明家的东北(或北偏东 $45°$)方向上;博物馆在小明家的南偏东 $50°$方向上,高铁站在小明家的南偏西 $65°$方向上。
【知识点】
1.方向角的表示 2.相对方位判断
【点评】
本题是基础的方位描述类题目，核心考查方向角的表述规范，只要明确观测点、找准对应夹角即可正确作答，是方位类实际问题的基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先明确观测点为小明家（点O），方向遵循“上北下南、左西右东”的规则。描述方向角时，通常先以正北或正南方向为起始边，再判断目标点偏向东还是西，最后读取起始边和指向目标点的射线的夹角，即可得出对应方向。接下来逐个对三个地点分析：先确定每个地点处于南北、东西方向的哪个区间，再匹配标注的夹角度数，就能写出规范的方向描述。
【解析】
解：以小明家（点O）为观测点，结合方向标和标注角度分析：
1. 学校（点A）处于正北与正东方向之间，与正北方向夹角为45°，因此学校在小明家北偏东45°（或东北）方向上；
2. 博物馆（点C）处于正南与正东方向之间，与正南方向夹角为50°，因此博物馆在小明家南偏东50°方向上；
3. 高铁站（点B）处于正南与正西方向之间，与正南方向夹角为65°，因此高铁站在小明家南偏西65°方向上。
【答案】
学校在小明家的东北(或北偏东 $45°$)方向上;博物馆在小明家的南偏东 $50°$方向上,高铁站在小明家的南偏西 $65°$方向上。
【知识点】
1.方向角的表示 2.相对方位判断
【点评】
本题是基础的方位描述类题目，核心考查方向角的表述规范，只要明确观测点、找准对应夹角即可正确作答，是方位类实际问题的基础题型。
【难度系数】
0.9
11.如图，下列说法中，错误的是 （
A.∠1与∠AOB表示同一个角
B.∠AOC也可用∠O来表示
C.图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D.∠β表示的是∠BOC
B
）A.∠1与∠AOB表示同一个角
B.∠AOC也可用∠O来表示
C.图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D.∠β表示的是∠BOC
答案
11.B
解析
【分析】
这道题考查角的表示与角的计数知识，解题时先回忆角的表示规则：①用三个大写字母表示角时，顶点字母要写在中间；②用单个大写字母表示角的前提是顶点处只有1个角，否则会产生歧义；③也可用数字或希腊字母表示单独的一个角。接下来我们逐个分析选项的正误即可得到答案。
【解析】
我们依次判断每个选项：
A. ∠1的顶点是O，两条边分别是射线OA、射线OB，和∠AOB的顶点、边完全相同，二者表示同一个角，该选项说法正确，不符合题意；
B. 顶点O处共有3个角，若用∠O表示无法确定对应哪个角，因此∠AOC不能用∠O表示，该选项说法错误，符合题意；
C. 观察图形，以O为顶点的角共有3个，分别是∠AOB，∠AOC，∠BOC，该选项说法正确，不符合题意；
D. ∠β标注在射线OB和OC之间，表示的是∠BOC，该选项说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角的表示；角的计数
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确角的各类表示方法的适用条件，尤其注意只有顶点处仅有一个角时才能使用单个顶点字母表示角，避免出现指代不清的问题。
【难度系数】
0.8
这道题考查角的表示与角的计数知识，解题时先回忆角的表示规则：①用三个大写字母表示角时，顶点字母要写在中间；②用单个大写字母表示角的前提是顶点处只有1个角，否则会产生歧义；③也可用数字或希腊字母表示单独的一个角。接下来我们逐个分析选项的正误即可得到答案。
【解析】
我们依次判断每个选项：
A. ∠1的顶点是O，两条边分别是射线OA、射线OB，和∠AOB的顶点、边完全相同，二者表示同一个角，该选项说法正确，不符合题意；
B. 顶点O处共有3个角，若用∠O表示无法确定对应哪个角，因此∠AOC不能用∠O表示，该选项说法错误，符合题意；
C. 观察图形，以O为顶点的角共有3个，分别是∠AOB，∠AOC，∠BOC，该选项说法正确，不符合题意；
D. ∠β标注在射线OB和OC之间，表示的是∠BOC，该选项说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角的表示；角的计数
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确角的各类表示方法的适用条件，尤其注意只有顶点处仅有一个角时才能使用单个顶点字母表示角，避免出现指代不清的问题。
【难度系数】
0.8
12. 若$∠ 1=25°12'$，$∠ 2=25.12°$，$∠ 3=25.2°$，则下列结论中，正确的是（
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ 2=∠ 3$
C.$∠ 1=∠ 3$
D.$∠ 1=∠ 2=∠ 3$
C
）A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ 2=∠ 3$
C.$∠ 1=∠ 3$
D.$∠ 1=∠ 2=∠ 3$
答案
12.C
解析
【分析】
要判断三个角的大小关系，首先需要统一角度的单位，因为三个角的表示形式不同，有含分的，有小数形式的度。我们知道度和分的换算进率是1°=60′，所以可以把∠1中的分换算为度，统一成小数形式的度之后再比较三个角的大小，就能得出正确结论。
【解析】
首先进行角度单位换算：
∵ 1°=60′，
∴ 12′ = 12÷60 = 0.2°，
∴ ∠1 = 25°12′ = 25° + 0.2° = 25.2°。
已知∠2=25.12°，∠3=25.2°，
∴ ∠1 = ∠3 ≠ ∠2。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题重点考查角度单位的换算，解题的关键是牢记度与分之间的进率为60，避免误将进率当成10导致换算错误，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要判断三个角的大小关系，首先需要统一角度的单位，因为三个角的表示形式不同，有含分的，有小数形式的度。我们知道度和分的换算进率是1°=60′，所以可以把∠1中的分换算为度，统一成小数形式的度之后再比较三个角的大小，就能得出正确结论。
【解析】
首先进行角度单位换算：
∵ 1°=60′，
∴ 12′ = 12÷60 = 0.2°，
∴ ∠1 = 25°12′ = 25° + 0.2° = 25.2°。
已知∠2=25.12°，∠3=25.2°，
∴ ∠1 = ∠3 ≠ ∠2。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题重点考查角度单位的换算，解题的关键是牢记度与分之间的进率为60，避免误将进率当成10导致换算错误，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
13.如图,点O在直线AB上,则图中小于平角的角有 (
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
B
)A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
答案
13.B
解析
【分析】
解题时首先要明确平角的度数为180°，本题中点O在直线AB上，因此∠AOB是平角，我们需要数出顶点为O、度数小于180°的角。计数时要按照固定顺序数，比如从左侧的边开始依次和其他边组合，避免出现重复计数或者漏记的情况，最后排除平角即可得到正确结果。
【解析】
首先确定平角为∠AOB，需要计数小于它的角：
1. 以OA为起始边，可得角：∠AOD、∠AOC，共2个；
2. 以OD为起始边，不重复计算已数过的角，可得角：∠DOC、∠DOB，共2个；
3. 以OC为起始边，不重复计算已数过的角，可得角：∠COB，共1个。
总共有2+2+1=5个符合要求的角，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
平角的定义；角的计数
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查角的计数方法，解题的关键是遵循有序计数的原则，同时注意不要把平角计入统计范围，就能避免出错。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确平角的度数为180°，本题中点O在直线AB上，因此∠AOB是平角，我们需要数出顶点为O、度数小于180°的角。计数时要按照固定顺序数，比如从左侧的边开始依次和其他边组合，避免出现重复计数或者漏记的情况，最后排除平角即可得到正确结果。
【解析】
首先确定平角为∠AOB，需要计数小于它的角：
1. 以OA为起始边，可得角：∠AOD、∠AOC，共2个；
2. 以OD为起始边，不重复计算已数过的角，可得角：∠DOC、∠DOB，共2个；
3. 以OC为起始边，不重复计算已数过的角，可得角：∠COB，共1个。
总共有2+2+1=5个符合要求的角，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
平角的定义；角的计数
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查角的计数方法，解题的关键是遵循有序计数的原则，同时注意不要把平角计入统计范围，就能避免出错。
【难度系数】
0.75
14. 央视《新闻联播》节目的结束时间一般是19:30，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是
45
°。答案
14.45
解析
【分析】
要解决钟面夹角问题，首先明确钟面的基本特征：钟面一圈为360°，被平均分成12个大格，因此每个大格对应角度为360°÷12=30°。接下来确定19:30时分针和时针的位置：分针走30分钟时正好指向数字6；时针并非固定指向数字7，因为时针1小时走1个大格（30°），半小时就会从数字7向数字8转动半格，也就是15°。最后计算两个指针之间的角度和即可得到夹角。
【解析】
解：钟面一周角度为360°，被平均分为12个大格，
因此每个大格对应的角度为：$ 360° ÷ 12 = 30° $
19:30时，分针走30分钟，指向数字6；
时针1小时转动30°，则30分钟时针转动的角度为：$ 30° ÷ 2 = 15° $，即时针在数字7和8的正中间。
此时时针与分针的夹角为数字6到7的1个大格角度，加上时针偏离数字7的15°，即：
$ 30° + 15° = 45° $
【答案】
45
【知识点】
钟面角计算，角度运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题关键是熟记钟面每大格的角度，同时注意时针会随分钟变化移动，避免误将时针固定在整时位置导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决钟面夹角问题，首先明确钟面的基本特征：钟面一圈为360°，被平均分成12个大格，因此每个大格对应角度为360°÷12=30°。接下来确定19:30时分针和时针的位置：分针走30分钟时正好指向数字6；时针并非固定指向数字7，因为时针1小时走1个大格（30°），半小时就会从数字7向数字8转动半格，也就是15°。最后计算两个指针之间的角度和即可得到夹角。
【解析】
解：钟面一周角度为360°，被平均分为12个大格，
因此每个大格对应的角度为：$ 360° ÷ 12 = 30° $
19:30时，分针走30分钟，指向数字6；
时针1小时转动30°，则30分钟时针转动的角度为：$ 30° ÷ 2 = 15° $，即时针在数字7和8的正中间。
此时时针与分针的夹角为数字6到7的1个大格角度，加上时针偏离数字7的15°，即：
$ 30° + 15° = 45° $
【答案】
45
【知识点】
钟面角计算，角度运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题关键是熟记钟面每大格的角度，同时注意时针会随分钟变化移动，避免误将时针固定在整时位置导致计算错误。
【难度系数】
0.7
15.在一张地图上有A,B,C三地,但地图被墨迹污染,C地具体位置看不清楚了,但知道C地在A地的北偏东$30°$方向上,在B地的南偏东$45°$方向上.你能确定C地的位置吗?
答案
15.解:能.图略,以点 A 为端点,画 A 地的北偏东 $30°$方向的射线;以点 B 为端点,画 B 地的南偏东 $45°$方向的射线. 两射线的交点即为 C 地的位置.
解析
【分析】
要确定平面内C地的位置，可结合给出的两个方向条件推导：平面内单个方向角只能确定点所在的射线，两个不同观测点的方向角对应两条不同的射线，两条射线的交点就是唯一同时满足两个条件的点。解题时先依据“上北下南、左西右东”的方向规则，分别以A、B为观测点画出对应方向的射线，两条射线的交点即为所求的C地。
【解析】
解：能确定C地的位置，具体操作如下：
1. 按照“上北下南，左西右东”的方向规则，以点A为端点，以正北方向为始边，向东旋转30°画出射线，该射线上的所有点都满足在A地的北偏东30°方向上；
2. 以点B为端点，以正南方向为始边，向东旋转45°画出射线，该射线上的所有点都满足在B地的南偏东45°方向上；
3. 上述两条射线的交点就是C地的位置。
【答案】
能。以点 A 为端点,画 A 地的北偏东 $30°$方向的射线;以点 B 为端点,画 B 地的南偏东 $45°$方向的射线. 两射线的交点即为 C 地的位置。
【知识点】
1. 方向角的应用
2. 点的位置确定
【点评】
本题结合实际场景考查方向角的作图和位置确定方法，解题核心是明确平面内要唯一确定一个点的位置，至少需要两个独立的定位条件，掌握方向角的绘制规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要确定平面内C地的位置，可结合给出的两个方向条件推导：平面内单个方向角只能确定点所在的射线，两个不同观测点的方向角对应两条不同的射线，两条射线的交点就是唯一同时满足两个条件的点。解题时先依据“上北下南、左西右东”的方向规则，分别以A、B为观测点画出对应方向的射线，两条射线的交点即为所求的C地。
【解析】
解：能确定C地的位置，具体操作如下：
1. 按照“上北下南，左西右东”的方向规则，以点A为端点，以正北方向为始边，向东旋转30°画出射线，该射线上的所有点都满足在A地的北偏东30°方向上；
2. 以点B为端点，以正南方向为始边，向东旋转45°画出射线，该射线上的所有点都满足在B地的南偏东45°方向上；
3. 上述两条射线的交点就是C地的位置。
【答案】
能。以点 A 为端点,画 A 地的北偏东 $30°$方向的射线;以点 B 为端点,画 B 地的南偏东 $45°$方向的射线. 两射线的交点即为 C 地的位置。
【知识点】
1. 方向角的应用
2. 点的位置确定
【点评】
本题结合实际场景考查方向角的作图和位置确定方法，解题核心是明确平面内要唯一确定一个点的位置，至少需要两个独立的定位条件，掌握方向角的绘制规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
16.观察下面图形,并回答下列问题.
(1)如图1,∠MON内部有一条射线OA₁,则图中共有
(2)如图2,∠MON内部有两条射线OA₁,OA₂,则图中共有
(3)如图3,∠MON内部有三条射线OA₁,OA₂,OA₃,则图中共有
(4)若∠MON内部有10条射线,则图中共有
(5)若∠MON内部有(n+1)条射线,则图中共有
(1)如图1,∠MON内部有一条射线OA₁,则图中共有
3
个角.(2)如图2,∠MON内部有两条射线OA₁,OA₂,则图中共有
6
个角.(3)如图3,∠MON内部有三条射线OA₁,OA₂,OA₃,则图中共有
10
个角.(4)若∠MON内部有10条射线,则图中共有
66
个角.(5)若∠MON内部有(n+1)条射线,则图中共有
$\frac{1}{2}(n+2)(n+3)$
个角.答案
16.(1)3 (2)6 (3)10 (4)66 (5)$\frac{1}{2}(n+2)(n+3)$
解析
【分析】
数角时，每两条有公共端点的射线可以构成1个角。我们可以先确定总射线数量：角内部有k条射线时，加上∠MON原本的两条边OM、ON，总共有(k+2)条射线。计算角的个数时，可按顺序累加：固定第一条边，能和剩下的(k+1)条射线组成(k+1)个角；固定第二条边，能和剩下的k条射线组成k个角，……，最后加到1，再用等差数列求和公式即可算出总个数，也可以通过简单情况归纳规律求解一般问题。
【解析】
(1) 图1中∠MON内部有1条射线，总射线数为1+2=3条，角的总数为2+1=3个；
(2) 图2中∠MON内部有2条射线，总射线数为2+2=4条，角的总数为3+2+1=6个；
(3) 图3中∠MON内部有3条射线，总射线数为3+2=5条，角的总数为4+3+2+1=10个；
(4) 当内部有10条射线时，总射线数为10+2=12条，角的总数为$11+10+\dots+1=\frac{(1+11)×11}{2}=66$个；
(5) 当内部有(n+1)条射线时，总射线数为$(n+1)+2=n+3$条，角的总数为$\frac{(n+3)(n+2)}{2}=\frac{1}{2}(n+2)(n+3)$个。
【答案】
(1)3；(2)6；(3)10；(4)66；(5)$\frac{1}{2}(n+2)(n+3)$
【知识点】
角的计数，规律探究，等差数列求和
【点评】
本题通过角的计数考查规律归纳能力，解题时可以先从简单的情况入手计算，总结出通用计算规律后再求解复杂和一般化的问题，能有效避免计数时出现漏数、多数的错误。
【难度系数】
0.7
数角时，每两条有公共端点的射线可以构成1个角。我们可以先确定总射线数量：角内部有k条射线时，加上∠MON原本的两条边OM、ON，总共有(k+2)条射线。计算角的个数时，可按顺序累加：固定第一条边，能和剩下的(k+1)条射线组成(k+1)个角；固定第二条边，能和剩下的k条射线组成k个角，……，最后加到1，再用等差数列求和公式即可算出总个数，也可以通过简单情况归纳规律求解一般问题。
【解析】
(1) 图1中∠MON内部有1条射线，总射线数为1+2=3条，角的总数为2+1=3个；
(2) 图2中∠MON内部有2条射线，总射线数为2+2=4条，角的总数为3+2+1=6个；
(3) 图3中∠MON内部有3条射线，总射线数为3+2=5条，角的总数为4+3+2+1=10个；
(4) 当内部有10条射线时，总射线数为10+2=12条，角的总数为$11+10+\dots+1=\frac{(1+11)×11}{2}=66$个；
(5) 当内部有(n+1)条射线时，总射线数为$(n+1)+2=n+3$条，角的总数为$\frac{(n+3)(n+2)}{2}=\frac{1}{2}(n+2)(n+3)$个。
【答案】
(1)3；(2)6；(3)10；(4)66；(5)$\frac{1}{2}(n+2)(n+3)$
【知识点】
角的计数，规律探究，等差数列求和
【点评】
本题通过角的计数考查规律归纳能力，解题时可以先从简单的情况入手计算，总结出通用计算规律后再求解复杂和一般化的问题，能有效避免计数时出现漏数、多数的错误。
【难度系数】
0.7
