登录
6. 如图，这是一个简单的运算程序，如果输出的数值为－10，那么输入的x是（
A.－8
B.$2\sqrt{5} - 1$或$-2\sqrt{5} - 1$
C.$\sqrt{5} - 1$或$-\sqrt{5} - 1$
D.$\sqrt{5} - 1$
C
）。A.－8
B.$2\sqrt{5} - 1$或$-2\sqrt{5} - 1$
C.$\sqrt{5} - 1$或$-\sqrt{5} - 1$
D.$\sqrt{5} - 1$
答案
6.C
解析
【分析】
首先根据运算程序的运算顺序，推导输出结果与输入x的对应代数式：输入x先加1得到x+1，再平方得到$(x+1)^2$，最后乘-2，因此输出结果为$-2(x+1)^2$。已知输出数值为-10，可列得关于x的一元二次方程，再用直接开平方法求解方程即可得到x的取值。
【解析】
根据运算程序，输出的结果为$\boldsymbol{-2(x+1)^2}$，结合输出值为-10，列方程：
$-2(x+1)^2 = -10$
1. 方程两边同时除以$-2$，得：
$(x+1)^2 = 5$
2. 对等式两边开平方，得：
$x+1 = \pm\sqrt{5}$
3. 移项求解：
当$x+1=\sqrt{5}$时，$x=\sqrt{5}-1$；
当$x+1=-\sqrt{5}$时，$x=-\sqrt{5}-1$。
因此输入的x为$\sqrt{5}-1$或$-\sqrt{5}-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题结合运算程序考查一元二次方程的应用，解题关键是准确根据运算顺序列出对应方程，再选用合适的方法求解，属于基础常考题，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
首先根据运算程序的运算顺序，推导输出结果与输入x的对应代数式：输入x先加1得到x+1，再平方得到$(x+1)^2$，最后乘-2，因此输出结果为$-2(x+1)^2$。已知输出数值为-10，可列得关于x的一元二次方程，再用直接开平方法求解方程即可得到x的取值。
【解析】
根据运算程序，输出的结果为$\boldsymbol{-2(x+1)^2}$，结合输出值为-10，列方程：
$-2(x+1)^2 = -10$
1. 方程两边同时除以$-2$，得：
$(x+1)^2 = 5$
2. 对等式两边开平方，得：
$x+1 = \pm\sqrt{5}$
3. 移项求解：
当$x+1=\sqrt{5}$时，$x=\sqrt{5}-1$；
当$x+1=-\sqrt{5}$时，$x=-\sqrt{5}-1$。
因此输入的x为$\sqrt{5}-1$或$-\sqrt{5}-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题结合运算程序考查一元二次方程的应用，解题关键是准确根据运算顺序列出对应方程，再选用合适的方法求解，属于基础常考题，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
7.【数学应用】以大约与水平面成$45°$角的方向斜向上抛出标枪，抛出的距离$s$(单位:$\mathrm{m}$)与标枪的出手速度$v$(单位:$\mathrm{m/s}$)之间大致有如下关系：$s=\frac{v^2}{9.8}+2$。如果抛出的距离为$40\ \mathrm{m}$，求标枪的出手速度。(精确到$0.1\ \mathrm{m/s}$)
答案
7. 解:$\because s=\frac{v^2}{9.8}+2,s=40$,
$\therefore 40=\frac{v^2}{9.8}+2$,即 $v^2=372.4$,
$\therefore v_1=\sqrt{372.4},v_2=-\sqrt{372.4}$。
$\because v＞0,\therefore v=\sqrt{372.4}$。
$\because \sqrt{372.4}\approx19.3$,
$\therefore$ 标枪的出手速度约为 $19.3\ \mathrm{m/s}$。
$\therefore 40=\frac{v^2}{9.8}+2$,即 $v^2=372.4$,
$\therefore v_1=\sqrt{372.4},v_2=-\sqrt{372.4}$。
$\because v＞0,\therefore v=\sqrt{372.4}$。
$\because \sqrt{372.4}\approx19.3$,
$\therefore$ 标枪的出手速度约为 $19.3\ \mathrm{m/s}$。
解析
【分析】
本题已知抛出距离s和出手速度v的关系式，以及s的具体数值，解题思路为：首先将s=40代入给定的关系式，得到关于v的一元二次方程，再求解该方程，结合速度为正数的实际意义舍去负根，最后对正根计算近似值，精确到0.1即可得到结果。
【解析】
解：已知$s=\frac{v^2}{9.8}+2$，且抛出距离$s=40\ \mathrm{m}$，
将$s=40$代入关系式得：
$40=\frac{v^2}{9.8}+2$
移项计算得：$\frac{v^2}{9.8}=38$
两边同乘9.8得：$v^2=38×9.8=372.4$
开平方得：$v=\pm\sqrt{372.4}$
因为出手速度v为正数，故舍去负根$v=-\sqrt{372.4}$，即$v=\sqrt{372.4}$
计算得$\sqrt{372.4}\approx19.3$
【答案】
$19.3\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
一元二次方程求解，算术平方根计算，实际问题根的取舍
【点评】
本题是结合运动场景的基础代数应用题，核心考查代入公式列方程、解方程的能力，以及结合实际意义筛选结果的意识，解题逻辑清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.75
本题已知抛出距离s和出手速度v的关系式，以及s的具体数值，解题思路为：首先将s=40代入给定的关系式，得到关于v的一元二次方程，再求解该方程，结合速度为正数的实际意义舍去负根，最后对正根计算近似值，精确到0.1即可得到结果。
【解析】
解：已知$s=\frac{v^2}{9.8}+2$，且抛出距离$s=40\ \mathrm{m}$，
将$s=40$代入关系式得：
$40=\frac{v^2}{9.8}+2$
移项计算得：$\frac{v^2}{9.8}=38$
两边同乘9.8得：$v^2=38×9.8=372.4$
开平方得：$v=\pm\sqrt{372.4}$
因为出手速度v为正数，故舍去负根$v=-\sqrt{372.4}$，即$v=\sqrt{372.4}$
计算得$\sqrt{372.4}\approx19.3$
【答案】
$19.3\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
一元二次方程求解，算术平方根计算，实际问题根的取舍
【点评】
本题是结合运动场景的基础代数应用题，核心考查代入公式列方程、解方程的能力，以及结合实际意义筛选结果的意识，解题逻辑清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.75
8.【数学应用】从一块正方形铁皮上截去一个长与正方形的边长相等、宽2 cm的矩形，余下的面积为$48 cm^2$，求原来正方形的面积。
答案
8. 解:设原来正方形的边长为 $x\ \mathrm{cm}$,根据题意得
$x(x-2)=48$,
解得 $x_1=8,x_2=-6$(不合题意,舍去)。
此时,正方形的边长为 $8\ \mathrm{cm}$,面积为 $8×8=64(\mathrm{cm}^2)$。
$x(x-2)=48$,
解得 $x_1=8,x_2=-6$(不合题意,舍去)。
此时,正方形的边长为 $8\ \mathrm{cm}$,面积为 $8×8=64(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
要求原正方形的面积，需先求出正方形的边长。我们可以设原正方形的边长为x cm，截去宽为2cm的矩形后，剩余图形是长为x cm、宽为(x-2)cm的长方形，已知剩余面积为48cm²，根据长方形面积公式即可列出一元二次方程；解方程后结合边长为正数的实际要求舍去不符合的根，最后用正方形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：设原来正方形的边长为 $x\ \mathrm{cm}$，根据余下图形的面积为$48\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$x(x-2)=48$
整理得$x^2-2x-48=0$，因式分解得$(x-8)(x+6)=0$，
解得 $x_1=8,x_2=-6$。
因为正方形的边长不能为负数，所以$x_2=-6$不合题意，舍去。
则原正方形的面积为$8×8=64(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$64\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元二次方程应用，一元二次方程求解，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程在几何面积问题中的基础应用，解题关键是找准剩余图形的边长与原正方形边长的关系，列出正确的方程，同时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
要求原正方形的面积，需先求出正方形的边长。我们可以设原正方形的边长为x cm，截去宽为2cm的矩形后，剩余图形是长为x cm、宽为(x-2)cm的长方形，已知剩余面积为48cm²，根据长方形面积公式即可列出一元二次方程；解方程后结合边长为正数的实际要求舍去不符合的根，最后用正方形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：设原来正方形的边长为 $x\ \mathrm{cm}$，根据余下图形的面积为$48\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$x(x-2)=48$
整理得$x^2-2x-48=0$，因式分解得$(x-8)(x+6)=0$，
解得 $x_1=8,x_2=-6$。
因为正方形的边长不能为负数，所以$x_2=-6$不合题意，舍去。
则原正方形的面积为$8×8=64(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$64\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元二次方程应用，一元二次方程求解，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程在几何面积问题中的基础应用，解题关键是找准剩余图形的边长与原正方形边长的关系，列出正确的方程，同时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
9. 有$n$个方程：$x^2 + 2x - 8 = 0$，$x^2 + 2×2x - 8×2^2 = 0$，…，$x^2 + 2nx - 8n^2 = 0$（$n$为正整数）。
小静解第1个方程$x^2 + 2x - 8 = 0$的步骤：①$x^2 + 2x = 8$，②$x^2 + 2x + 1 = 8 + 1$，③$(x+1)^2 = 9$，④$x+1 = ±3$，⑤$x = 1 ±3$，⑥$x_1 = 4$，$x_2 = -2$。
(1) 小静的解法是从步骤
(2) 用配方法解第$n$个方程$x^2 + 2nx - 8n^2 = 0$。（用含$n$的式子表示方程的根）
小静解第1个方程$x^2 + 2x - 8 = 0$的步骤：①$x^2 + 2x = 8$，②$x^2 + 2x + 1 = 8 + 1$，③$(x+1)^2 = 9$，④$x+1 = ±3$，⑤$x = 1 ±3$，⑥$x_1 = 4$，$x_2 = -2$。
(1) 小静的解法是从步骤
⑤
开始出现错误的；(2) 用配方法解第$n$个方程$x^2 + 2nx - 8n^2 = 0$。（用含$n$的式子表示方程的根）
答案
9.(1)⑤
(2)解:移项,得 $x^2 + 2nx = 8n^2$。
配方,得$(x+n)^2=9n^2$。
两边开平方,得 $x+n=\pm3n$,
即 $x+n=3n$,或 $x+n=-3n$。
所以 $x_1=2n,x_2=-4n$。
(2)解:移项,得 $x^2 + 2nx = 8n^2$。
配方,得$(x+n)^2=9n^2$。
两边开平方,得 $x+n=\pm3n$,
即 $x+n=3n$,或 $x+n=-3n$。
所以 $x_1=2n,x_2=-4n$。
解析
【分析】
（1）判断小静的解题步骤错误，只需逐步骤验证变形是否符合等式性质：步骤④得到$x+1=\pm3$，根据等式性质，两边同时减1可得$x=-1\pm3$，小静步骤⑤写成$x=1\pm3$，符号错误，即可确定错误步骤。
（2）用配方法解第n个方程，按照配方法的固定步骤操作即可：第一步移项，将常数项移到等式右边；第二步配方，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式；第三步开平方，得到两个一元一次方程；第四步求解即可得到方程的根。
【解析】
（1）对小静的解题步骤逐一核对：
步骤④得出$x+1=\pm3$，移项后应为$x=-1\pm3$，小静步骤⑤写为$x=1\pm3$，移项时未改变常数项符号，因此从步骤⑤开始出错。
（2）解第$n$个方程$x^2 + 2nx - 8n^2 = 0$：
移项，得 $x^2 + 2nx = 8n^2$。
配方，两边同时加一次项系数一半的平方$n^2$，得$x^2+2nx+n^2=8n^2+n^2$，即$(x+n)^2=9n^2$。
两边开平方，得 $x+n=\pm3n$，
即 $x+n=3n$，或 $x+n=-3n$。
分别求解得$x_1=3n-n=2n$，$x_2=-3n-n=-4n$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{⑤}$
(2) $\boldsymbol{x_1=2n,x_2=-4n}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 等式的基本性质
【点评】
本题围绕配方法解一元二次方程设置考点，重点考查配方法的步骤规范，易错点是移项时的符号处理、配方时常数项的添加计算，只要熟练掌握配方法的操作流程，即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）判断小静的解题步骤错误，只需逐步骤验证变形是否符合等式性质：步骤④得到$x+1=\pm3$，根据等式性质，两边同时减1可得$x=-1\pm3$，小静步骤⑤写成$x=1\pm3$，符号错误，即可确定错误步骤。
（2）用配方法解第n个方程，按照配方法的固定步骤操作即可：第一步移项，将常数项移到等式右边；第二步配方，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式；第三步开平方，得到两个一元一次方程；第四步求解即可得到方程的根。
【解析】
（1）对小静的解题步骤逐一核对：
步骤④得出$x+1=\pm3$，移项后应为$x=-1\pm3$，小静步骤⑤写为$x=1\pm3$，移项时未改变常数项符号，因此从步骤⑤开始出错。
（2）解第$n$个方程$x^2 + 2nx - 8n^2 = 0$：
移项，得 $x^2 + 2nx = 8n^2$。
配方，两边同时加一次项系数一半的平方$n^2$，得$x^2+2nx+n^2=8n^2+n^2$，即$(x+n)^2=9n^2$。
两边开平方，得 $x+n=\pm3n$，
即 $x+n=3n$，或 $x+n=-3n$。
分别求解得$x_1=3n-n=2n$，$x_2=-3n-n=-4n$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{⑤}$
(2) $\boldsymbol{x_1=2n,x_2=-4n}$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 等式的基本性质
【点评】
本题围绕配方法解一元二次方程设置考点，重点考查配方法的步骤规范，易错点是移项时的符号处理、配方时常数项的添加计算，只要熟练掌握配方法的操作流程，即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
