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10. 按一定规律排列的一列数依次为$\frac{2}{3},\frac{5}{8},\frac{10}{15},\frac{17}{24},\frac{26}{35},\dots$,若按此规律排列下去.
(1) 试写出这列数中的第10个数是
(2) 用含$n$($n$是正整数)的式子表示这列数中的第$n$个数是
(1) 试写出这列数中的第10个数是
$\frac{101}{120}$
.(2) 用含$n$($n$是正整数)的式子表示这列数中的第$n$个数是
$\frac{n^2+1}{(n+1)^2-1}[或\frac{n^2+1}{n^2+2n}或\frac{n^2+1}{n(n+2)}]$
.答案
10.(1)$\frac{101}{120}$
(2)$\frac{n^2+1}{(n+1)^2-1}[或\frac{n^2+1}{n^2+2n}或\frac{n^2+1}{n(n+2)}]$
(2)$\frac{n^2+1}{(n+1)^2-1}[或\frac{n^2+1}{n^2+2n}或\frac{n^2+1}{n(n+2)}]$
解析
【分析】
遇到分数排列的规律探究题，通常将分子、分母分开观察各自的变化规律：第一步先把已知数的项数和对应的分子、分母一一对应罗列，第二步分别推导分子、分母和项数$n$的数量关系。首先观察分子：第1项分子2、第2项5、第3项10，可发现每个分子都是对应项数的平方加1；再观察分母：第1项分母3、第2项8、第3项15，可发现每个分母都是“项数加1的平方减1”，也可化简为其他等价形式。推导得到第$n$个数的通用表达式后，代入$n=10$即可求出第10个数。
【解析】
(1) 求第10个数
先分析分子规律：
第1项分子：$2=1^2+1$
第2项分子：$5=2^2+1$
第3项分子：$10=3^2+1$
……
第$n$项分子：$n^2+1$
再分析分母规律：
第1项分母：$3=(1+1)^2-1$
第2项分母：$8=(2+1)^2-1$
第3项分母：$15=(3+1)^2-1$
……
第$n$项分母：$(n+1)^2-1$
当$n=10$时：
分子$=10^2+1=101$，分母$=(10+1)^2-1=120$，因此第10个数为$\frac{101}{120}$。
(2) 推导第$n$个数的表达式
结合上述分子、分母的规律，可得第$n$个数为$\frac{n^2+1}{(n+1)^2-1}$，展开化简也可写成$\frac{n^2+1}{n^2+2n}$或$\frac{n^2+1}{n(n+2)}$。
【答案】
(1)$\frac{101}{120}$
(2)$\frac{n^2+1}{(n+1)^2-1}$（或$\frac{n^2+1}{n^2+2n}$或$\frac{n^2+1}{n(n+2)}$）
【知识点】
1. 数字规律探究 2. 列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是拆分分数为分子、分母两部分，分别匹配两者和项数的对应关系，再归纳通用表达式，解题时需细心观察数字特征，避免代入计算错误。
【难度系数】
0.7
遇到分数排列的规律探究题，通常将分子、分母分开观察各自的变化规律：第一步先把已知数的项数和对应的分子、分母一一对应罗列，第二步分别推导分子、分母和项数$n$的数量关系。首先观察分子：第1项分子2、第2项5、第3项10，可发现每个分子都是对应项数的平方加1；再观察分母：第1项分母3、第2项8、第3项15，可发现每个分母都是“项数加1的平方减1”，也可化简为其他等价形式。推导得到第$n$个数的通用表达式后，代入$n=10$即可求出第10个数。
【解析】
(1) 求第10个数
先分析分子规律：
第1项分子：$2=1^2+1$
第2项分子：$5=2^2+1$
第3项分子：$10=3^2+1$
……
第$n$项分子：$n^2+1$
再分析分母规律：
第1项分母：$3=(1+1)^2-1$
第2项分母：$8=(2+1)^2-1$
第3项分母：$15=(3+1)^2-1$
……
第$n$项分母：$(n+1)^2-1$
当$n=10$时：
分子$=10^2+1=101$，分母$=(10+1)^2-1=120$，因此第10个数为$\frac{101}{120}$。
(2) 推导第$n$个数的表达式
结合上述分子、分母的规律，可得第$n$个数为$\frac{n^2+1}{(n+1)^2-1}$，展开化简也可写成$\frac{n^2+1}{n^2+2n}$或$\frac{n^2+1}{n(n+2)}$。
【答案】
(1)$\frac{101}{120}$
(2)$\frac{n^2+1}{(n+1)^2-1}$（或$\frac{n^2+1}{n^2+2n}$或$\frac{n^2+1}{n(n+2)}$）
【知识点】
1. 数字规律探究 2. 列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是拆分分数为分子、分母两部分，分别匹配两者和项数的对应关系，再归纳通用表达式，解题时需细心观察数字特征，避免代入计算错误。
【难度系数】
0.7
11. 阅读材料：
已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，求分式$\frac{2a+3b - c}{a - b + 2c}$的值.
解：设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$，
则$a=3k, b=4k, c=5k$. ①
所以$\frac{2a+3b - c}{a - b + 2c}=\frac{6k+12k -5k}{3k -4k +10k}=\frac{13k}{9k}=\frac{13}{9}$. ②
(1)上述解题过程中,第①步运用了
(2)参照上述材料解题:
已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}$,求分式$\frac{x+2y - z}{x - 2y + 3z}$的值.
已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，求分式$\frac{2a+3b - c}{a - b + 2c}$的值.
解：设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$，
则$a=3k, b=4k, c=5k$. ①
所以$\frac{2a+3b - c}{a - b + 2c}=\frac{6k+12k -5k}{3k -4k +10k}=\frac{13k}{9k}=\frac{13}{9}$. ②
(1)上述解题过程中,第①步运用了
等式
的性质;第②步中,由$\frac{13k}{9k}$求得结果$\frac{13}{9}$运用了分式
的基本性质.(2)参照上述材料解题:
已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}$,求分式$\frac{x+2y - z}{x - 2y + 3z}$的值.
答案
11.(1)等式 分式
(2)$\frac{1}{7}$
(2)$\frac{1}{7}$
解析
【分析】
第(1)问需结合性质定义判断：第①步由比值等于k，等式两边同乘分母得到a、b、c的表达式，依据的是等式的性质；第②步中分子分母同除以不为0的k得到化简结果，依据的是分式的基本性质。第(2)问参照题中给出的设参数法解题：先设三个比值等于参数k，将x、y、z都用含k的式子表示，再代入待求分式，化简后约去参数k即可得到结果，注意k不能为0，否则原分式无意义。
【解析】
(1) 第①步：已知$\frac{a}{3}=k$，等式两边同时乘3得$a=3k$，同理可得$b=4k、c=5k$，运用了等式的性质；第②步中，$\frac{13k}{9k}$的分子分母同时除以不为0的k得到$\frac{13}{9}$，运用了分式的基本性质。
(2) 解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}=k$（$k≠0$），则$x=2k$，$y=3k$，$z=6k$。
代入分式$\frac{x+2y - z}{x - 2y + 3z}$得：
$\frac{x+2y - z}{x - 2y + 3z}=\frac{2k + 2×3k - 6k}{2k - 2×3k + 3×6k}=\frac{2k+6k-6k}{2k-6k+18k}=\frac{2k}{14k}=\frac{1}{7}$
【答案】
(1) 等式；分式
(2) $\frac{1}{7}$
【知识点】
等式的性质、分式的基本性质、比例分式求值
【点评】
本题既考查对等式、分式基本性质的概念理解，又考查了比例类分式求值的常用设参数法，解题时可直接参照例题思路代入化简，需注意约分时要保证所除的参数不为0，符合分式有意义的要求。
【难度系数】
0.8
第(1)问需结合性质定义判断：第①步由比值等于k，等式两边同乘分母得到a、b、c的表达式，依据的是等式的性质；第②步中分子分母同除以不为0的k得到化简结果，依据的是分式的基本性质。第(2)问参照题中给出的设参数法解题：先设三个比值等于参数k，将x、y、z都用含k的式子表示，再代入待求分式，化简后约去参数k即可得到结果，注意k不能为0，否则原分式无意义。
【解析】
(1) 第①步：已知$\frac{a}{3}=k$，等式两边同时乘3得$a=3k$，同理可得$b=4k、c=5k$，运用了等式的性质；第②步中，$\frac{13k}{9k}$的分子分母同时除以不为0的k得到$\frac{13}{9}$，运用了分式的基本性质。
(2) 解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}=k$（$k≠0$），则$x=2k$，$y=3k$，$z=6k$。
代入分式$\frac{x+2y - z}{x - 2y + 3z}$得：
$\frac{x+2y - z}{x - 2y + 3z}=\frac{2k + 2×3k - 6k}{2k - 2×3k + 3×6k}=\frac{2k+6k-6k}{2k-6k+18k}=\frac{2k}{14k}=\frac{1}{7}$
【答案】
(1) 等式；分式
(2) $\frac{1}{7}$
【知识点】
等式的性质、分式的基本性质、比例分式求值
【点评】
本题既考查对等式、分式基本性质的概念理解，又考查了比例类分式求值的常用设参数法，解题时可直接参照例题思路代入化简，需注意约分时要保证所除的参数不为0，符合分式有意义的要求。
【难度系数】
0.8
12. 已知$a,b,c,d,e,f$都为正数，$\frac{bcdef}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{acdef}{b}=\frac{1}{4}$，$\frac{abdef}{c}=\frac{1}{8}$，$\frac{abcef}{d}=2$，$\frac{abcdf}{e}=4$，$\frac{abcde}{f}=8$，则$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2=$
$14\frac{7}{8}$
.答案
$14\frac{7}{8}$
提示:将每个等式的左右两边相乘,得$\frac{(abcdef)^5}{abcdef}=1$,即$(abcdef)^4=1$.
$\because a,b,c,d,e,f$都为正数,
$\therefore abcdef=1$.
$\because \frac{bcdef·a}{a·a}=\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2}$,解得$a^2=2$.
同理可得$b^2=4,c^2=8,d^2=\frac{1}{2},e^2=\frac{1}{4},f^2=\frac{1}{8}$.
$\therefore a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2=2+4+8+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=14\frac{7}{8}$.
提示:将每个等式的左右两边相乘,得$\frac{(abcdef)^5}{abcdef}=1$,即$(abcdef)^4=1$.
$\because a,b,c,d,e,f$都为正数,
$\therefore abcdef=1$.
$\because \frac{bcdef·a}{a·a}=\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2}$,解得$a^2=2$.
同理可得$b^2=4,c^2=8,d^2=\frac{1}{2},e^2=\frac{1}{4},f^2=\frac{1}{8}$.
$\therefore a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2=2+4+8+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=14\frac{7}{8}$.
解析
【分析】
观察给出的6个等式，左边均为5个字母的乘积除以第6个字母，结构对称。解题时可先将所有等式左右两边分别相乘，先求出$abcdef$的整体取值，再利用整体代入的方法分别求出每个字母的平方，最后求和即可得到结果。
【解析】
1. 计算$abcdef$的整体值：
将6个等式左右两边分别相乘，
左边：$\frac{bcdef}{a} × \frac{acdef}{b} × \frac{abdef}{c} × \frac{abcef}{d} × \frac{abcdf}{e} × \frac{abcde}{f} = \frac{(abcdef)^5}{abcdef} = (abcdef)^4$
右边：$\frac{1}{2} × \frac{1}{4} × \frac{1}{8} × 2 × 4 × 8 = 1$
可得$(abcdef)^4 = 1$，
$\because a,b,c,d,e,f$都为正数，$\therefore abcdef = 1$。
2. 分别求各字母的平方：
由$\frac{bcdef}{a} = \frac{1}{2}$，其中$bcdef = \frac{abcdef}{a} = \frac{1}{a}$，代入得$\frac{1}{a^2} = \frac{1}{2}$，解得$a^2 = 2$；
同理可推得：$b^2 = 4$，$c^2 = 8$，$d^2 = \frac{1}{2}$，$e^2 = \frac{1}{4}$，$f^2 = \frac{1}{8}$。
3. 计算平方和：
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2 = 2 + 4 + 8 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 14 + \frac{7}{8} = 14\frac{7}{8}$。
【答案】
$14\frac{7}{8}$
【知识点】
分式乘法运算，整体代入，乘方运算
【点评】
本题侧重考查对分式对称结构的观察能力，运用整体运算的思路能大幅简化计算过程，避免了逐个求解字母的繁琐步骤，是分式运算中巧用整体思想的典型题型。
【难度系数】
0.6
观察给出的6个等式，左边均为5个字母的乘积除以第6个字母，结构对称。解题时可先将所有等式左右两边分别相乘，先求出$abcdef$的整体取值，再利用整体代入的方法分别求出每个字母的平方，最后求和即可得到结果。
【解析】
1. 计算$abcdef$的整体值：
将6个等式左右两边分别相乘，
左边：$\frac{bcdef}{a} × \frac{acdef}{b} × \frac{abdef}{c} × \frac{abcef}{d} × \frac{abcdf}{e} × \frac{abcde}{f} = \frac{(abcdef)^5}{abcdef} = (abcdef)^4$
右边：$\frac{1}{2} × \frac{1}{4} × \frac{1}{8} × 2 × 4 × 8 = 1$
可得$(abcdef)^4 = 1$，
$\because a,b,c,d,e,f$都为正数，$\therefore abcdef = 1$。
2. 分别求各字母的平方：
由$\frac{bcdef}{a} = \frac{1}{2}$，其中$bcdef = \frac{abcdef}{a} = \frac{1}{a}$，代入得$\frac{1}{a^2} = \frac{1}{2}$，解得$a^2 = 2$；
同理可推得：$b^2 = 4$，$c^2 = 8$，$d^2 = \frac{1}{2}$，$e^2 = \frac{1}{4}$，$f^2 = \frac{1}{8}$。
3. 计算平方和：
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2 = 2 + 4 + 8 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 14 + \frac{7}{8} = 14\frac{7}{8}$。
【答案】
$14\frac{7}{8}$
【知识点】
分式乘法运算，整体代入，乘方运算
【点评】
本题侧重考查对分式对称结构的观察能力，运用整体运算的思路能大幅简化计算过程，避免了逐个求解字母的繁琐步骤，是分式运算中巧用整体思想的典型题型。
【难度系数】
0.6
