登录
例1 路灯的实物图和它的平面示意图如图所示. 已知$∠ MAC = 50°$, $∠ ACB = 20°$,则图中$∠ CBA$的度数为 (
A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$50°$
分析:通过创设实际生活情境,应用三角形的内角和外角的相关知识解决问题.
答案:C
C
)A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$50°$
分析:通过创设实际生活情境,应用三角形的内角和外角的相关知识解决问题.
答案:C
答案
C
解析
【分析】
解题可通过两种思路推导：思路一：利用三角形外角性质求解，观察图形可知∠MAC是△ABC的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，直接用已知的∠MAC减去∠ACB即可得到∠CBA的度数；思路二：利用三角形内角和定理求解，先根据邻补角的性质求出∠CAB的度数，再结合三角形内角和为180°，减去∠CAB和∠ACB的度数即可得到∠CBA的度数，两种方法均符合学段知识要求，可灵活选择。
【解析】
解法1（外角性质法）：
∵∠MAC是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ MAC = ∠ CBA + ∠ ACB$，
已知$∠ MAC=50°$，$∠ ACB=20°$，
∴$∠ CBA = ∠ MAC - ∠ ACB = 50° - 20° = 30°$。
解法2（内角和法）：
∵∠MAC与∠CAB为邻补角，
∴$∠ CAB = 180° - ∠ MAC = 180° - 50° = 130°$，
在△ABC中，三角形内角和为$180°$，
∴$∠ CBA = 180° - ∠ CAB - ∠ ACB = 180° - 130° - 20° = 30°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形角度计算，属于基础题，解题时可灵活选择合适的定理简化运算，核心考查对三角形角度相关性质的理解与应用。
【难度系数】
0.8
解题可通过两种思路推导：思路一：利用三角形外角性质求解，观察图形可知∠MAC是△ABC的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，直接用已知的∠MAC减去∠ACB即可得到∠CBA的度数；思路二：利用三角形内角和定理求解，先根据邻补角的性质求出∠CAB的度数，再结合三角形内角和为180°，减去∠CAB和∠ACB的度数即可得到∠CBA的度数，两种方法均符合学段知识要求，可灵活选择。
【解析】
解法1（外角性质法）：
∵∠MAC是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ MAC = ∠ CBA + ∠ ACB$，
已知$∠ MAC=50°$，$∠ ACB=20°$，
∴$∠ CBA = ∠ MAC - ∠ ACB = 50° - 20° = 30°$。
解法2（内角和法）：
∵∠MAC与∠CAB为邻补角，
∴$∠ CAB = 180° - ∠ MAC = 180° - 50° = 130°$，
在△ABC中，三角形内角和为$180°$，
∴$∠ CBA = 180° - ∠ CAB - ∠ ACB = 180° - 130° - 20° = 30°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形角度计算，属于基础题，解题时可灵活选择合适的定理简化运算，核心考查对三角形角度相关性质的理解与应用。
【难度系数】
0.8
例2 如图①,将长为6的长方形纸片沿虚线折成3个长方形,其中左、右两侧长方形的宽相等,若要将其围成如图②所示的三棱柱,则图中a的值可以是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
分析:本题实际上是将长为6的线段围成一个等腰三角形,求腰长的取值范围.设长为6的线段围成等腰三角形的两腰长为a,则底边长为$6-2a$.
根据题意,得$\begin{cases}2a＞6-2a, \\6-2a＞0.\end{cases}$
解得$\frac{3}{2}＜a＜3$.
∴ 选项中只有2符合此不等式组的解集.
∴ a只能取2.
答案:B
方法点拨 解题的关键是把三棱柱的问题转化为三角形三边关系的问题.
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
分析:本题实际上是将长为6的线段围成一个等腰三角形,求腰长的取值范围.设长为6的线段围成等腰三角形的两腰长为a,则底边长为$6-2a$.
根据题意,得$\begin{cases}2a＞6-2a, \\6-2a＞0.\end{cases}$
解得$\frac{3}{2}＜a＜3$.
∴ 选项中只有2符合此不等式组的解集.
∴ a只能取2.
答案:B
方法点拨 解题的关键是把三棱柱的问题转化为三角形三边关系的问题.
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，首先需要将三棱柱折叠问题转化为平面几何中三角形的三边关系问题：折叠后围成的三棱柱底面是等腰三角形，该三角形的两条腰长对应原长方形左右两侧的宽度a，底边长对应原长方形中间部分的长度6-2a。要构成三角形，需同时满足“两边之和大于第三边”和“边长为正数”两个条件，据此列不等式组求解a的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
由题意可知，折成的三棱柱底面是等腰三角形，其腰长为a，底边长为$6-2a$。
根据三角形三边关系及边长为正的要求，列不等式组：
$\begin{cases}2a＞6-2a \quad \mathrm{（两边之和大于第三边）} \\6-2a＞0 \quad \mathrm{（边长为正数）}\end{cases}$
解第一个不等式：
$2a+2a＞6$
$4a＞6$
$a＞\frac{3}{2}$（即$a＞1.5$）
解第二个不等式：
$-2a＞-6$
$a＜3$
因此a的取值范围是$\frac{3}{2}＜a＜3$。
观察选项，只有2在该取值范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组的应用；展开图折叠成几何体
【点评】
本题是几何与不等式结合的基础应用题，核心是将立体图形的折叠问题转化为三角形三边的数量关系问题，体现了转化的数学思想，同时考查了学生的空间想象能力和不等式组求解能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要将三棱柱折叠问题转化为平面几何中三角形的三边关系问题：折叠后围成的三棱柱底面是等腰三角形，该三角形的两条腰长对应原长方形左右两侧的宽度a，底边长对应原长方形中间部分的长度6-2a。要构成三角形，需同时满足“两边之和大于第三边”和“边长为正数”两个条件，据此列不等式组求解a的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
由题意可知，折成的三棱柱底面是等腰三角形，其腰长为a，底边长为$6-2a$。
根据三角形三边关系及边长为正的要求，列不等式组：
$\begin{cases}2a＞6-2a \quad \mathrm{（两边之和大于第三边）} \\6-2a＞0 \quad \mathrm{（边长为正数）}\end{cases}$
解第一个不等式：
$2a+2a＞6$
$4a＞6$
$a＞\frac{3}{2}$（即$a＞1.5$）
解第二个不等式：
$-2a＞-6$
$a＜3$
因此a的取值范围是$\frac{3}{2}＜a＜3$。
观察选项，只有2在该取值范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组的应用；展开图折叠成几何体
【点评】
本题是几何与不等式结合的基础应用题，核心是将立体图形的折叠问题转化为三角形三边的数量关系问题，体现了转化的数学思想，同时考查了学生的空间想象能力和不等式组求解能力。
【难度系数】
0.7
1. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（
A.1 cm,2 cm,3 cm
B.3 cm,8 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm
D.4 cm,5 cm,6 cm
D
）A.1 cm,2 cm,3 cm
B.3 cm,8 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm
D.4 cm,5 cm,6 cm
答案
D
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算提升效率，我们无需验证所有两边之和的组合，只需要找出三条线段里较短的两条，计算它们的和，再和最长的线段对比即可：如果较短两边之和大于最长边，就可以组成三角形，反之则不能，接下来我们逐个验证四个选项就能得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，采用简便判断方法：比较较短两边之和与最长边的大小。
A选项：三条线段长为1cm、2cm、3cm，较短两边和为1+2=3cm，等于最长边3cm，不满足三边关系，不能组成三角形；
B选项：三条线段长为3cm、8cm、5cm，较短两边和为3+5=8cm，等于最长边8cm，不满足三边关系，不能组成三角形；
C选项：三条线段长为4cm、5cm、10cm，较短两边和为4+5=9cm，小于最长边10cm，不满足三边关系，不能组成三角形；
D选项：三条线段长为4cm、5cm、6cm，较短两边和为4+5=9cm，大于最长边6cm，满足三边关系，可以组成三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考察三角形三边关系的应用，掌握“仅比较较短两边之和与最长边大小”的简便判断方法，就可以快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算提升效率，我们无需验证所有两边之和的组合，只需要找出三条线段里较短的两条，计算它们的和，再和最长的线段对比即可：如果较短两边之和大于最长边，就可以组成三角形，反之则不能，接下来我们逐个验证四个选项就能得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，采用简便判断方法：比较较短两边之和与最长边的大小。
A选项：三条线段长为1cm、2cm、3cm，较短两边和为1+2=3cm，等于最长边3cm，不满足三边关系，不能组成三角形；
B选项：三条线段长为3cm、8cm、5cm，较短两边和为3+5=8cm，等于最长边8cm，不满足三边关系，不能组成三角形；
C选项：三条线段长为4cm、5cm、10cm，较短两边和为4+5=9cm，小于最长边10cm，不满足三边关系，不能组成三角形；
D选项：三条线段长为4cm、5cm、6cm，较短两边和为4+5=9cm，大于最长边6cm，满足三边关系，可以组成三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考察三角形三边关系的应用，掌握“仅比较较短两边之和与最长边大小”的简便判断方法，就可以快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 在△ABC中，若∠A=40°，∠B=35°，则△ABC是（
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
B
）A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
答案
B
解析
【分析】
要判断三角形的类型，首先需要明确三角形按角分类的规则：最大内角是钝角的为钝角三角形，是直角的为直角三角形，三个角均为锐角的为锐角三角形。本题已知两个内角的度数，因此我们可以先利用三角形内角和定理计算出第三个内角的度数，再找到最大内角，对照分类规则即可得出结论。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
已知∠A=40°，∠B=35°，则第三个角的度数为：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 40° - 35° = 105°
由于105°是大于90°的钝角，即△ABC中存在一个钝角，因此△ABC是钝角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础概念应用题，只要熟练掌握三角形内角和的计算规则和三角形按角分类的判定标准，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的类型，首先需要明确三角形按角分类的规则：最大内角是钝角的为钝角三角形，是直角的为直角三角形，三个角均为锐角的为锐角三角形。本题已知两个内角的度数，因此我们可以先利用三角形内角和定理计算出第三个内角的度数，再找到最大内角，对照分类规则即可得出结论。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
已知∠A=40°，∠B=35°，则第三个角的度数为：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 40° - 35° = 105°
由于105°是大于90°的钝角，即△ABC中存在一个钝角，因此△ABC是钝角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础概念应用题，只要熟练掌握三角形内角和的计算规则和三角形按角分类的判定标准，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3. 复习课上,老师给出一个问题:已知等腰三角形的一边长等于5,另一边长等于6,求它的周长.小华代表小组发言:“等腰三角形的边有两种,腰和底边,所以第一种情况5是腰长,6是底边长;第二种情况5是底边长,6是腰长.经验证,都可以构成三角形,从而得最终结果为16或17.”小华的上述方法体现的数学思想是 (
A.公理化
B.分类讨论
C.数形结合
D.由特殊到一般
B
)A.公理化
B.分类讨论
C.数形结合
D.由特殊到一般
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确各选项对应的数学思想的含义，再结合小华的解题过程匹配对应的思想：等腰三角形的边分为腰和底边，题目给出的两条边长没有明确哪条是腰、哪条是底边，存在不确定性，小华针对两种可能的情况分别讨论，验证符合三角形三边关系后得出对应的周长，结合各数学思想的特征就能判断出对应的思想类型。
【解析】
首先分析小华的解题逻辑：由于不确定5和6哪个是腰长、哪个是底边长，因此分两类讨论：
① 5为腰长，6为底边长，验证符合三角形三边关系，周长为$5+5+6=16$；
② 5为底边长，6为腰长，验证符合三角形三边关系，周长为$5+6+6=17$。
这种针对研究对象的不确定情况，分不同类别逐一分析解决的思想就是分类讨论思想。
再逐一排除错误选项：
A. 公理化思想是从基本公理出发推导其他结论，与题意不符；
C. 数形结合思想是结合数量关系和图形性质分析问题，题干未用到图形辅助分析，不符合；
D. 由特殊到一般思想是通过特殊个例总结普遍规律，与题意不符。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】
本题考查对常见数学思想的辨别，解题的关键是掌握不同数学思想的特征，结合题干中的解题过程即可快速判断，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确各选项对应的数学思想的含义，再结合小华的解题过程匹配对应的思想：等腰三角形的边分为腰和底边，题目给出的两条边长没有明确哪条是腰、哪条是底边，存在不确定性，小华针对两种可能的情况分别讨论，验证符合三角形三边关系后得出对应的周长，结合各数学思想的特征就能判断出对应的思想类型。
【解析】
首先分析小华的解题逻辑：由于不确定5和6哪个是腰长、哪个是底边长，因此分两类讨论：
① 5为腰长，6为底边长，验证符合三角形三边关系，周长为$5+5+6=16$；
② 5为底边长，6为腰长，验证符合三角形三边关系，周长为$5+6+6=17$。
这种针对研究对象的不确定情况，分不同类别逐一分析解决的思想就是分类讨论思想。
再逐一排除错误选项：
A. 公理化思想是从基本公理出发推导其他结论，与题意不符；
C. 数形结合思想是结合数量关系和图形性质分析问题，题干未用到图形辅助分析，不符合；
D. 由特殊到一般思想是通过特殊个例总结普遍规律，与题意不符。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】
本题考查对常见数学思想的辨别，解题的关键是掌握不同数学思想的特征，结合题干中的解题过程即可快速判断，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
