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10.在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)，B(2,0),C(4,3)。
(1)在坐标系中描出各点，画出△ABC；
(2)求△ABC的面积；
(3)若点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标。
(1)在坐标系中描出各点，画出△ABC；
(2)求△ABC的面积；
(3)若点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标。
答案
解:(1)如图所示：
(2)过点C分别向x,y轴作垂线,垂足分别为点D,E。
$S_{四边形DOEC}=3×4=12$，
$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×2×3=3$，
$S_{△ACE}=\frac{1}{2}×2×4=4$，
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×2×1=1$，
所以$S_{△ABC}=S_{四边形DOEC}-S_{△BCD}-S_{△ACE}-S_{△AOB}$
$=12-3-4-1=4$。
(3)当点P在x轴上时，
$S_{△ABP}=\frac{1}{2}BP·AO=4$，
即$\frac{1}{2}×BP×1=4$,解得$BP=8$，
所以点P的坐标为(10,0)或(-6,0)。
当点P在y轴上时,$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AP×BO=4$，
即$\frac{1}{2}×AP×2=4$,解得$AP=4$，
所以点P的坐标为(0,5)或(0,-3)。
综上,点P的坐标为(0,5)或(0,-3)或(10,0)或(-6,0)。
解析
【分析】
（1）第一问根据平面直角坐标系中点的坐标定义，横坐标对应x轴数值、纵坐标对应y轴数值，依次找到A、B、C三点的位置，顺次连接即可得到△ABC。
（2）第二问求△ABC的面积，由于△ABC没有边与坐标轴平行，直接用底乘高计算较困难，因此采用割补法：用包含△ABC的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
（3）第三问点P在坐标轴上，需分两种情况讨论：①P在x轴上时，△ABP的高为点A到x轴的距离AO，根据面积求出底BP的长度，再结合点B的坐标，分别考虑P在B的左右两侧得到对应坐标；②P在y轴上时，△ABP的高为点B到y轴的距离BO，根据面积求出底AP的长度，再结合点A的坐标，分别考虑P在A的上下两侧得到对应坐标，最后汇总所有符合条件的坐标即可。
【解析】
(1) 根据点的坐标含义，在坐标系中定位A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)三点，顺次连接得到△ABC，如图所示：
(2) 过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足为D、E：
四边形DOEC为矩形，面积$S_{四边形DOEC}=3×4=12$，
直角三角形BCD的面积$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×2×3=3$，
直角三角形ACE的面积$S_{△ACE}=\frac{1}{2}×2×4=4$，
直角三角形AOB的面积$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×2×1=1$，
因此$S_{△ABC}=S_{四边形DOEC}-S_{△BCD}-S_{△ACE}-S_{△AOB}=12-3-4-1=4$。
(3) 分两种情况讨论：
① 点P在x轴上时，△ABP以BP为底，高为AO=1：
由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}BP·AO=4$，代入得$\frac{1}{2}×BP×1=4$，解得$BP=8$。
当P在B右侧时，横坐标为$2+8=10$，即P(10,0)；当P在B左侧时，横坐标为$2-8=-6$，即P(-6,0)。
② 点P在y轴上时，△ABP以AP为底，高为BO=2：
由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AP×BO=4$，代入得$\frac{1}{2}×AP×2=4$，解得$AP=4$。
当P在A上方时，纵坐标为$1+4=5$，即P(0,5)；当P在A下方时，纵坐标为$1-4=-3$，即P(0,-3)。
【答案】
(1) 如图所示：
(2) $\boldsymbol{4}$
(3) $\boldsymbol{(0,5)}$或$\boldsymbol{(0,-3)}$或$\boldsymbol{(10,0)}$或$\boldsymbol{(-6,0)}$
【知识点】
坐标与图形性质，三角形面积计算，分类讨论
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系的基础应用、不规则图形的面积计算方法，以及动点问题的分类讨论思路，解题时要注意全面考虑所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）第一问根据平面直角坐标系中点的坐标定义，横坐标对应x轴数值、纵坐标对应y轴数值，依次找到A、B、C三点的位置，顺次连接即可得到△ABC。
（2）第二问求△ABC的面积，由于△ABC没有边与坐标轴平行，直接用底乘高计算较困难，因此采用割补法：用包含△ABC的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
（3）第三问点P在坐标轴上，需分两种情况讨论：①P在x轴上时，△ABP的高为点A到x轴的距离AO，根据面积求出底BP的长度，再结合点B的坐标，分别考虑P在B的左右两侧得到对应坐标；②P在y轴上时，△ABP的高为点B到y轴的距离BO，根据面积求出底AP的长度，再结合点A的坐标，分别考虑P在A的上下两侧得到对应坐标，最后汇总所有符合条件的坐标即可。
【解析】
(1) 根据点的坐标含义，在坐标系中定位A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)三点，顺次连接得到△ABC，如图所示：
(2) 过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足为D、E：
四边形DOEC为矩形，面积$S_{四边形DOEC}=3×4=12$，
直角三角形BCD的面积$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×2×3=3$，
直角三角形ACE的面积$S_{△ACE}=\frac{1}{2}×2×4=4$，
直角三角形AOB的面积$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×2×1=1$，
因此$S_{△ABC}=S_{四边形DOEC}-S_{△BCD}-S_{△ACE}-S_{△AOB}=12-3-4-1=4$。
(3) 分两种情况讨论：
① 点P在x轴上时，△ABP以BP为底，高为AO=1：
由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}BP·AO=4$，代入得$\frac{1}{2}×BP×1=4$，解得$BP=8$。
当P在B右侧时，横坐标为$2+8=10$，即P(10,0)；当P在B左侧时，横坐标为$2-8=-6$，即P(-6,0)。
② 点P在y轴上时，△ABP以AP为底，高为BO=2：
由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AP×BO=4$，代入得$\frac{1}{2}×AP×2=4$，解得$AP=4$。
当P在A上方时，纵坐标为$1+4=5$，即P(0,5)；当P在A下方时，纵坐标为$1-4=-3$，即P(0,-3)。
【答案】
(1) 如图所示：
(2) $\boldsymbol{4}$
(3) $\boldsymbol{(0,5)}$或$\boldsymbol{(0,-3)}$或$\boldsymbol{(10,0)}$或$\boldsymbol{(-6,0)}$
【知识点】
坐标与图形性质，三角形面积计算，分类讨论
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系的基础应用、不规则图形的面积计算方法，以及动点问题的分类讨论思路，解题时要注意全面考虑所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
例1 已知x轴上的点A(2n−4,n+1)和y轴上的点B(3m−6,m+2)，及坐标轴上的点C。若它们构成的△ABC的面积是16，求点C的坐标。
[点拨] 根据x轴上点的纵坐标为0列式求出n，根据y轴上点的横坐标为0列式求出m，从而得到点A，B的坐标；再分点C在x轴上、点C在y轴上两种情况求出OC；最后写出点C的坐标。
[解] 因为点A(2n−4,n+1)在x轴上，点B(3m−6,m+2)在y轴上，
所以n+1=0，3m−6=0。
解得n=−1，m=2，
所以点A(−6,0)，B(0,4)。
①当点C在x轴上时，$\frac{1}{2}×AC×4=16$，
解得AC=8。
若点C在点A左边，
则点C的横坐标为−6−8=−14；
若点C在点A右边，
则点C的横坐标为−6+8=2。
此时，点C的坐标为(−14,0)或(2,0)。
②当点C在y轴上时，$\frac{1}{2}×BC×6=16$，
解得$BC=\frac{16}{3}$。
若点C在点B上边，
则点C的纵坐标为$4+\frac{16}{3}=\frac{28}{3}$；
若点C在点B下边，
则点C的纵坐标为$4−\frac{16}{3}=−\frac{4}{3}$。
此时，点C的坐标为$(0,\frac{28}{3})$或$(0,−\frac{4}{3})$。
综上所述，点C的坐标为(−14,0)或(2,0)或$(0,\frac{28}{3})$或$(0,−\frac{4}{3})$。
[点拨] 根据x轴上点的纵坐标为0列式求出n，根据y轴上点的横坐标为0列式求出m，从而得到点A，B的坐标；再分点C在x轴上、点C在y轴上两种情况求出OC；最后写出点C的坐标。
[解] 因为点A(2n−4,n+1)在x轴上，点B(3m−6,m+2)在y轴上，
所以n+1=0，3m−6=0。
解得n=−1，m=2，
所以点A(−6,0)，B(0,4)。
①当点C在x轴上时，$\frac{1}{2}×AC×4=16$，
解得AC=8。
若点C在点A左边，
则点C的横坐标为−6−8=−14；
若点C在点A右边，
则点C的横坐标为−6+8=2。
此时，点C的坐标为(−14,0)或(2,0)。
②当点C在y轴上时，$\frac{1}{2}×BC×6=16$，
解得$BC=\frac{16}{3}$。
若点C在点B上边，
则点C的纵坐标为$4+\frac{16}{3}=\frac{28}{3}$；
若点C在点B下边，
则点C的纵坐标为$4−\frac{16}{3}=−\frac{4}{3}$。
此时，点C的坐标为$(0,\frac{28}{3})$或$(0,−\frac{4}{3})$。
综上所述，点C的坐标为(−14,0)或(2,0)或$(0,\frac{28}{3})$或$(0,−\frac{4}{3})$。
答案
解：
因为点$A(2n-4,n+1)$在$x$轴上，点$B(3m-6,m+2)$在$y$轴上，
所以$n+1=0$，$3m-6=0$。
解得$n=-1$，$m=2$，
所以点$A$的坐标为$(-6,0)$，点$B$的坐标为$(0,4)$。
①当点$C$在$x$轴上时：
$△ ABC$中$AC$边上的高为点$B$到$x$轴的距离，即高为$4$，
由三角形面积公式得$\frac{1}{2} × AC × 4 = 16$，
解得$AC=8$。
若点$C$在点$A$左侧，点$C$的横坐标为$-6-8=-14$，坐标为$(-14,0)$；
若点$C$在点$A$右侧，点$C$的横坐标为$-6+8=2$，坐标为$(2,0)$。
②当点$C$在$y$轴上时：
$△ ABC$中$BC$边上的高为点$A$到$y$轴的距离，即高为$6$，
由三角形面积公式得$\frac{1}{2} × BC × 6 = 16$，
解得$BC=\frac{16}{3}$。
若点$C$在点$B$上方，点$C$的纵坐标为$4+\frac{16}{3}=\frac{28}{3}$，坐标为$(0,\frac{28}{3})$；
若点$C$在点$B$下方，点$C$的纵坐标为$4-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$，坐标为$(0,-\frac{4}{3})$。
综上所述，点$C$的坐标为$(-14,0)$或$(2,0)$或$(0,\frac{28}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$。
因为点$A(2n-4,n+1)$在$x$轴上，点$B(3m-6,m+2)$在$y$轴上，
所以$n+1=0$，$3m-6=0$。
解得$n=-1$，$m=2$，
所以点$A$的坐标为$(-6,0)$，点$B$的坐标为$(0,4)$。
①当点$C$在$x$轴上时：
$△ ABC$中$AC$边上的高为点$B$到$x$轴的距离，即高为$4$，
由三角形面积公式得$\frac{1}{2} × AC × 4 = 16$，
解得$AC=8$。
若点$C$在点$A$左侧，点$C$的横坐标为$-6-8=-14$，坐标为$(-14,0)$；
若点$C$在点$A$右侧，点$C$的横坐标为$-6+8=2$，坐标为$(2,0)$。
②当点$C$在$y$轴上时：
$△ ABC$中$BC$边上的高为点$A$到$y$轴的距离，即高为$6$，
由三角形面积公式得$\frac{1}{2} × BC × 6 = 16$，
解得$BC=\frac{16}{3}$。
若点$C$在点$B$上方，点$C$的纵坐标为$4+\frac{16}{3}=\frac{28}{3}$，坐标为$(0,\frac{28}{3})$；
若点$C$在点$B$下方，点$C$的纵坐标为$4-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$，坐标为$(0,-\frac{4}{3})$。
综上所述，点$C$的坐标为$(-14,0)$或$(2,0)$或$(0,\frac{28}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$。
解析
【分析】
解题首先依据坐标轴上点的坐标特征求点A、B的坐标：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，据此列方程求出n、m的值，即可得到A、B的具体坐标。由于点C在坐标轴上，需分两类讨论：①当点C在x轴上时，△ABC以AC为底，高为点B到x轴的距离（即点B的纵坐标的绝对值），结合已知的三角形面积列方程求出AC的长度，再分别计算点C在点A左侧、右侧时的坐标；②当点C在y轴上时，△ABC以BC为底，高为点A到y轴的距离（即点A的横坐标的绝对值），同理列方程求出BC的长度，再分别计算点C在点B上方、下方时的坐标，最后汇总所有符合条件的点C的坐标即可。
【解析】
因为点$A(2n-4,n+1)$在$x$轴上，点$B(3m-6,m+2)$在$y$轴上，
所以$n+1=0$，$3m-6=0$。
解得$n=-1$，$m=2$，
所以点$A$的坐标为$(-6,0)$，点$B$的坐标为$(0,4)$。
①当点$C$在$x$轴上时：
$△ ABC$中$AC$边上的高为点$B$到$x$轴的距离，即高为$4$，
由三角形面积公式得$\frac{1}{2} × AC × 4 = 16$，
解得$AC=8$。
若点$C$在点$A$左侧，点$C$的横坐标为$-6-8=-14$，坐标为$(-14,0)$；
若点$C$在点$A$右侧，点$C$的横坐标为$-6+8=2$，坐标为$(2,0)$。
②当点$C$在$y$轴上时：
$△ ABC$中$BC$边上的高为点$A$到$y$轴的距离，即高为$6$，
由三角形面积公式得$\frac{1}{2} × BC × 6 = 16$，
解得$BC=\frac{16}{3}$。
若点$C$在点$B$上方，点$C$的纵坐标为$4+\frac{16}{3}=\frac{28}{3}$，坐标为$(0,\frac{28}{3})$；
若点$C$在点$B$下方，点$C$的纵坐标为$4-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$，坐标为$(0,-\frac{4}{3})$。
综上所述，点C的坐标为$(-14,0)$或$(2,0)$或$(0,\frac{28}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$。
【答案】
$(-14,0)$或$(2,0)$或$(0,\frac{28}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；三角形面积公式；分类讨论思想
【点评】
本题将平面直角坐标系的性质与三角形面积计算结合考查，解题的核心是熟练掌握坐标轴上点的坐标特点，需要注意点C在坐标轴上的位置存在多种可能，分类讨论时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
解题首先依据坐标轴上点的坐标特征求点A、B的坐标：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，据此列方程求出n、m的值，即可得到A、B的具体坐标。由于点C在坐标轴上，需分两类讨论：①当点C在x轴上时，△ABC以AC为底，高为点B到x轴的距离（即点B的纵坐标的绝对值），结合已知的三角形面积列方程求出AC的长度，再分别计算点C在点A左侧、右侧时的坐标；②当点C在y轴上时，△ABC以BC为底，高为点A到y轴的距离（即点A的横坐标的绝对值），同理列方程求出BC的长度，再分别计算点C在点B上方、下方时的坐标，最后汇总所有符合条件的点C的坐标即可。
【解析】
因为点$A(2n-4,n+1)$在$x$轴上，点$B(3m-6,m+2)$在$y$轴上，
所以$n+1=0$，$3m-6=0$。
解得$n=-1$，$m=2$，
所以点$A$的坐标为$(-6,0)$，点$B$的坐标为$(0,4)$。
①当点$C$在$x$轴上时：
$△ ABC$中$AC$边上的高为点$B$到$x$轴的距离，即高为$4$，
由三角形面积公式得$\frac{1}{2} × AC × 4 = 16$，
解得$AC=8$。
若点$C$在点$A$左侧，点$C$的横坐标为$-6-8=-14$，坐标为$(-14,0)$；
若点$C$在点$A$右侧，点$C$的横坐标为$-6+8=2$，坐标为$(2,0)$。
②当点$C$在$y$轴上时：
$△ ABC$中$BC$边上的高为点$A$到$y$轴的距离，即高为$6$，
由三角形面积公式得$\frac{1}{2} × BC × 6 = 16$，
解得$BC=\frac{16}{3}$。
若点$C$在点$B$上方，点$C$的纵坐标为$4+\frac{16}{3}=\frac{28}{3}$，坐标为$(0,\frac{28}{3})$；
若点$C$在点$B$下方，点$C$的纵坐标为$4-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$，坐标为$(0,-\frac{4}{3})$。
综上所述，点C的坐标为$(-14,0)$或$(2,0)$或$(0,\frac{28}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$。
【答案】
$(-14,0)$或$(2,0)$或$(0,\frac{28}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；三角形面积公式；分类讨论思想
【点评】
本题将平面直角坐标系的性质与三角形面积计算结合考查，解题的核心是熟练掌握坐标轴上点的坐标特点，需要注意点C在坐标轴上的位置存在多种可能，分类讨论时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
