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6. 一人从家走到汽车站，第一小时走了3 km，他看了看表，估计按这个速度将迟到40 min，因此，他以每小时4 km的速度走剩余的路，结果反而提前了45 min到达.求此人的家到汽车站的距离.
答案
20 km
解析
【分析】
本题属于行程类一元一次方程应用题，解题核心是找到题目中的不变量（规定到达汽车站的时间）。首先明确两种行走方式对应的时间与规定时间的关系：①如果一直按每小时3km的速度行走，总用时会比规定时间多40分钟；②先走1小时3km后，改按每小时4km的速度行走，总用时会比规定时间少45分钟。我们可以设家到汽车站的总距离为未知数，根据两种方式对应的规定时间相等列方程求解，解题时注意先统一时间单位，将分钟换算为小时。
【解析】
解：先统一时间单位，$40\mathrm{min}=\frac{2}{3}\mathrm{h}$，$45\mathrm{min}=\frac{3}{4}\mathrm{h}$。
设此人的家到汽车站的距离为$x$ km。
根据规定到达时间不变，列方程：
$\frac{x}{3} - \frac{2}{3} = 1 + \frac{x-3}{4} + \frac{3}{4}$
方程两边同时乘以12消去分母，得：
$4x - 8 = 12 + 3(x-3) + 9$
去括号、化简右侧：
$4x - 8 = 3x + 12$
移项合并同类项：
$x = 20$
经检验，$x=20$符合实际题意。
【答案】
20 km
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，单位换算
【点评】
本题是行程问题的常考题型，解题关键是找准不变量建立等量关系，计算时要注意时间单位统一，避免因单位不匹配出现列式错误。
【难度系数】
0.6
本题属于行程类一元一次方程应用题，解题核心是找到题目中的不变量（规定到达汽车站的时间）。首先明确两种行走方式对应的时间与规定时间的关系：①如果一直按每小时3km的速度行走，总用时会比规定时间多40分钟；②先走1小时3km后，改按每小时4km的速度行走，总用时会比规定时间少45分钟。我们可以设家到汽车站的总距离为未知数，根据两种方式对应的规定时间相等列方程求解，解题时注意先统一时间单位，将分钟换算为小时。
【解析】
解：先统一时间单位，$40\mathrm{min}=\frac{2}{3}\mathrm{h}$，$45\mathrm{min}=\frac{3}{4}\mathrm{h}$。
设此人的家到汽车站的距离为$x$ km。
根据规定到达时间不变，列方程：
$\frac{x}{3} - \frac{2}{3} = 1 + \frac{x-3}{4} + \frac{3}{4}$
方程两边同时乘以12消去分母，得：
$4x - 8 = 12 + 3(x-3) + 9$
去括号、化简右侧：
$4x - 8 = 3x + 12$
移项合并同类项：
$x = 20$
经检验，$x=20$符合实际题意。
【答案】
20 km
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，单位换算
【点评】
本题是行程问题的常考题型，解题关键是找准不变量建立等量关系，计算时要注意时间单位统一，避免因单位不匹配出现列式错误。
【难度系数】
0.6
7. 某地国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛.下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容,请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
根据对话内容,请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
答案
今年妹妹6岁,哥哥10岁.
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的已知条件和等量关系：已知今年兄妹俩年龄和为16岁，两年后妹妹年龄的3倍加上哥哥的年龄等于爸爸两年后的年龄（爸爸今年34岁）。我们可以先设妹妹今年的年龄为未知数，利用年龄和的关系表示出哥哥的年龄，再结合第二个等量关系列出一元一次方程，解方程后验证结果合理性即可。思考时要注意：年龄增长是同步的，计算两年后所有人的年龄都要加2，避免漏算增量。
【解析】
解：设今年妹妹的年龄为$x$岁，则今年哥哥的年龄为$(16-x)$岁。
根据题意，两年后妹妹年龄为$(x+2)$岁，哥哥年龄为$(16-x+2)$岁，爸爸年龄为$34+2=36$岁，可列方程：
$3(x+2)+(16-x+2)=34+2$
去括号，得：$3x+6+18-x=36$
合并同类项，得：$2x+24=36$
移项计算，得：$2x=12$
系数化为1，得：$x=6$
则哥哥的年龄为$16-6=10$（岁）
验证：两年后妹妹8岁，$3×8=24$，哥哥两年后12岁，$24+12=36$，和爸爸两年后的年龄一致，结果正确。
【答案】
今年妹妹6岁，哥哥10岁。
【知识点】
一元一次方程的应用、年龄问题计算、解一元一次方程
【点评】
本题是贴近生活的年龄类应用题，解题核心是找准等量关系，注意所有人的年龄是同步增长的，不要漏算时间带来的年龄增量，计算后可以代入条件验证结果是否正确。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题目中的已知条件和等量关系：已知今年兄妹俩年龄和为16岁，两年后妹妹年龄的3倍加上哥哥的年龄等于爸爸两年后的年龄（爸爸今年34岁）。我们可以先设妹妹今年的年龄为未知数，利用年龄和的关系表示出哥哥的年龄，再结合第二个等量关系列出一元一次方程，解方程后验证结果合理性即可。思考时要注意：年龄增长是同步的，计算两年后所有人的年龄都要加2，避免漏算增量。
【解析】
解：设今年妹妹的年龄为$x$岁，则今年哥哥的年龄为$(16-x)$岁。
根据题意，两年后妹妹年龄为$(x+2)$岁，哥哥年龄为$(16-x+2)$岁，爸爸年龄为$34+2=36$岁，可列方程：
$3(x+2)+(16-x+2)=34+2$
去括号，得：$3x+6+18-x=36$
合并同类项，得：$2x+24=36$
移项计算，得：$2x=12$
系数化为1，得：$x=6$
则哥哥的年龄为$16-6=10$（岁）
验证：两年后妹妹8岁，$3×8=24$，哥哥两年后12岁，$24+12=36$，和爸爸两年后的年龄一致，结果正确。
【答案】
今年妹妹6岁，哥哥10岁。
【知识点】
一元一次方程的应用、年龄问题计算、解一元一次方程
【点评】
本题是贴近生活的年龄类应用题，解题核心是找准等量关系，注意所有人的年龄是同步增长的，不要漏算时间带来的年龄增量，计算后可以代入条件验证结果是否正确。
【难度系数】
0.7
8. 甲、乙两人从相距 100 m 的两地同时出发散步,相向而行,甲每秒钟走 1.3 m,乙每秒钟走 1.2 m. 甲带了一只小狗,小狗每秒钟跑5 m. 小狗随甲同时出发,向乙跑去;当它遇到乙以后,就立刻回头向甲跑去……直到甲、乙两人相遇小狗才停住,求小狗一共跑了多少米.
答案
200 m
解析
【分析】
如果直接分段计算小狗每次往返跑的路程，计算过程会非常繁琐。我们可以转换思路：小狗从出发到停下的总时间，恰好等于甲、乙两人从出发到相遇的总时间，因此只需要先通过一元一次方程求出甲乙的相遇时间，再结合“路程=速度×时间”的公式，就能直接算出小狗跑的总路程。
【解析】
解：设甲、乙两人经过$x$秒相遇。
根据相向而行时两人的路程和等于两地初始距离，列方程：
$1.3x + 1.2x = 100$
合并同类项得：$2.5x = 100$
系数化为1得：$x = 40$
即甲乙经过40秒相遇，小狗的跑动总时间也为40秒。
小狗跑的总路程：$5×40=200\ \mathrm{m}$
【答案】
200 m
【知识点】
一元一次方程应用，相遇问题，路程公式
【点评】
本题的解题核心是跳出分段计算小狗路程的思维误区，抓住小狗跑动总时间与甲乙相遇时间相等的隐含条件，可大幅简化计算，是行程问题中巧解的典型题型。
【难度系数】
0.6
如果直接分段计算小狗每次往返跑的路程，计算过程会非常繁琐。我们可以转换思路：小狗从出发到停下的总时间，恰好等于甲、乙两人从出发到相遇的总时间，因此只需要先通过一元一次方程求出甲乙的相遇时间，再结合“路程=速度×时间”的公式，就能直接算出小狗跑的总路程。
【解析】
解：设甲、乙两人经过$x$秒相遇。
根据相向而行时两人的路程和等于两地初始距离，列方程：
$1.3x + 1.2x = 100$
合并同类项得：$2.5x = 100$
系数化为1得：$x = 40$
即甲乙经过40秒相遇，小狗的跑动总时间也为40秒。
小狗跑的总路程：$5×40=200\ \mathrm{m}$
【答案】
200 m
【知识点】
一元一次方程应用，相遇问题，路程公式
【点评】
本题的解题核心是跳出分段计算小狗路程的思维误区，抓住小狗跑动总时间与甲乙相遇时间相等的隐含条件，可大幅简化计算，是行程问题中巧解的典型题型。
【难度系数】
0.6
