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1.已知:如图,小明在打网球时,要使球恰好能打过网,而且落在离网5 m的位置上,则球拍击球的高度h应为 (
A.2.7 m
B.1.8 m
C.0.9 m
D.2.5 m
A
)A.2.7 m
B.1.8 m
C.0.9 m
D.2.5 m
答案
1. A
解析
【分析】
首先观察图形可知，网和球拍击球高度都垂直于地面，因此图中形成的两个直角三角形有公共锐角∠O，且都含有直角，根据两角分别相等可判定两个三角形相似。接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，找到两组对应边的长度，列出比例式即可求出h的值。
【解析】
解：由题意得，两个直角三角形相似（两角分别相等的两个三角形相似）。
小三角形的水平边长为5m，竖直高度为0.9m；
大三角形的水平边长为$5+10=15\mathrm{m}$，竖直高度为$h\mathrm{m}$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{0.9}{h}=\frac{5}{15}$
交叉相乘得：$5h=0.9×15$
计算得：$5h=13.5$
解得：$h=2.7$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的基础应用题型，解题的核心是能从实际场景中抽象出相似三角形几何模型，准确找到对应边的长度，再利用相似的性质列等式计算，考查学生的建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知，网和球拍击球高度都垂直于地面，因此图中形成的两个直角三角形有公共锐角∠O，且都含有直角，根据两角分别相等可判定两个三角形相似。接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，找到两组对应边的长度，列出比例式即可求出h的值。
【解析】
解：由题意得，两个直角三角形相似（两角分别相等的两个三角形相似）。
小三角形的水平边长为5m，竖直高度为0.9m；
大三角形的水平边长为$5+10=15\mathrm{m}$，竖直高度为$h\mathrm{m}$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{0.9}{h}=\frac{5}{15}$
交叉相乘得：$5h=0.9×15$
计算得：$5h=13.5$
解得：$h=2.7$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的基础应用题型，解题的核心是能从实际场景中抽象出相似三角形几何模型，准确找到对应边的长度，再利用相似的性质列等式计算，考查学生的建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.8
2. 如图,为测量零件内槽宽 BC,某同学制作了一个测量尺。其中,AB 为固定臂,AC 为活动臂(可绕点 A 转动)。D,E 分别为 AB,AC 的三等分点(即 $AD=\frac{1}{3}AB,AE=\frac{1}{3}AC$),测量尺的零刻度与点 D 重合。现测得 DE 的长约为 5 cm,则内槽宽 BC 的长为 
A.5 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.18 cm
A.5 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.18 cm
答案
2. C
解析
【分析】
要计算内槽宽BC的长度，我们可以借助相似三角形的性质求解：首先观察到△ADE和△ABC共享公共角∠A，再结合D、E是AB、AC的三等分点，可得到两组对应边的比值相等，由此判定两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知DE的长度即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵D、E分别为AB、AC的三等分点，即$AD=\frac{1}{3}AB$，$AE=\frac{1}{3}AC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
又
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，
∴△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
将$DE=5\mathrm{cm}$代入得：$\frac{5}{BC}=\frac{1}{3}$，
解得$BC=15\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的应用，解题关键是结合已知条件找到相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的关系求解未知边长，是对相似基础知识的考察，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
要计算内槽宽BC的长度，我们可以借助相似三角形的性质求解：首先观察到△ADE和△ABC共享公共角∠A，再结合D、E是AB、AC的三等分点，可得到两组对应边的比值相等，由此判定两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知DE的长度即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵D、E分别为AB、AC的三等分点，即$AD=\frac{1}{3}AB$，$AE=\frac{1}{3}AC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
又
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，
∴△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
将$DE=5\mathrm{cm}$代入得：$\frac{5}{BC}=\frac{1}{3}$，
解得$BC=15\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的应用，解题关键是结合已知条件找到相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的关系求解未知边长，是对相似基础知识的考察，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
3. 下图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得$AB=50\ \mathrm{cm}$，则CD的长是
$\dfrac{100}{3}$
cm。答案
3. $\dfrac{100}{3}$
解析
【分析】
首先观察图形特征，CD与AB均为水平线段，因此CD//AB，可推出△OCD和△OAB相似；再结合相似三角形的性质：相似三角形的对应边之比等于对应高的比，先确定两个三角形对应高的比值：O点在“3”刻度线，AB在“0”刻度线，因此O到AB的垂直距离为3个单位，CD在“5”刻度线，因此O到CD的垂直距离为$5-3=2$个单位，最后代入AB的长度即可计算出CD的长。
【解析】
解：由题意得$CD// AB$，
$\therefore ∠ OCD=∠ OAB，∠ ODC=∠ OBA$，
$\therefore △ OCD ∽ △ OAB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边之比等于对应高的比，可得：
$\frac{CD}{AB}=\frac{5-3}{3}=\frac{2}{3}$，
将$AB=50\ \mathrm{cm}$代入得：
$CD=50× \frac{2}{3}=\frac{100}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\dfrac{100}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的折叠椅子场景考查相似三角形的应用，解题核心是准确识别相似三角形，理清相似比和对应高的比的关系，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，CD与AB均为水平线段，因此CD//AB，可推出△OCD和△OAB相似；再结合相似三角形的性质：相似三角形的对应边之比等于对应高的比，先确定两个三角形对应高的比值：O点在“3”刻度线，AB在“0”刻度线，因此O到AB的垂直距离为3个单位，CD在“5”刻度线，因此O到CD的垂直距离为$5-3=2$个单位，最后代入AB的长度即可计算出CD的长。
【解析】
解：由题意得$CD// AB$，
$\therefore ∠ OCD=∠ OAB，∠ ODC=∠ OBA$，
$\therefore △ OCD ∽ △ OAB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边之比等于对应高的比，可得：
$\frac{CD}{AB}=\frac{5-3}{3}=\frac{2}{3}$，
将$AB=50\ \mathrm{cm}$代入得：
$CD=50× \frac{2}{3}=\frac{100}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\dfrac{100}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的折叠椅子场景考查相似三角形的应用，解题核心是准确识别相似三角形，理清相似比和对应高的比的关系，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
4. 将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于
$1:3$
。答案
4. $1:3$
解析
【分析】
首先观察图形特征，两个三角板的直角边AB、CD均垂直于公共边BC，因此可推出AB//CD，进而判定△AOB与△DOC相似。接下来只需设公共边BC的长度为参数，结合三角板的特殊角度分别求出AB、CD的长度，得到两个三角形的相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可计算出结果。
【解析】
解：由三角板的性质可得：∠ABC=∠DCB=90°，∠A=45°，∠D=30°
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似）
设BC的长度为$a$：
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=45°$，因此$AB=BC=a$
在$Rt△ DCB$中，$∠ D=30°$，由$\tan D=\frac{BC}{CD}$，代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$得：
$CD=\frac{BC}{\tan30°}=\sqrt{3}a$
因此△AOB与△DOC的相似比$k=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方：
$S_{△ AOB}:S_{△ DOC}=k^2=(\frac{1}{\sqrt{3}})^2=\frac{1}{3}=1:3$
【答案】
$1:3$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；特殊角的三角函数
【点评】
本题结合三角板的特征考查相似三角形的应用，解题的关键是先判定两个三角形相似，再结合特殊角求出对应边的比值，整体解题思路清晰，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，两个三角板的直角边AB、CD均垂直于公共边BC，因此可推出AB//CD，进而判定△AOB与△DOC相似。接下来只需设公共边BC的长度为参数，结合三角板的特殊角度分别求出AB、CD的长度，得到两个三角形的相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可计算出结果。
【解析】
解：由三角板的性质可得：∠ABC=∠DCB=90°，∠A=45°，∠D=30°
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似）
设BC的长度为$a$：
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=45°$，因此$AB=BC=a$
在$Rt△ DCB$中，$∠ D=30°$，由$\tan D=\frac{BC}{CD}$，代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$得：
$CD=\frac{BC}{\tan30°}=\sqrt{3}a$
因此△AOB与△DOC的相似比$k=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方：
$S_{△ AOB}:S_{△ DOC}=k^2=(\frac{1}{\sqrt{3}})^2=\frac{1}{3}=1:3$
【答案】
$1:3$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；特殊角的三角函数
【点评】
本题结合三角板的特征考查相似三角形的应用，解题的关键是先判定两个三角形相似，再结合特殊角求出对应边的比值，整体解题思路清晰，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
5.为了估算河流的宽度,我们在河的对岸选定一个目标$P$,在近岸取点$A$和$C$,使点$P$,$A$,$C$共线且与河垂直,接着在过点$C$且与直线$PC$垂直的直线上选择适当的点$D$,确定$PD$与过点$A$且与$PC$垂直的直线交点$B$,测得$AC=50\ \mathrm{m}$,$CD=120\ \mathrm{m}$,$AB=80\ \mathrm{m}$,请根据这些数据求河的宽度$PA$。
答案
5. $\because BA ⊥ PC, CD ⊥ PC, \therefore AB // CD, \therefore △ PAB ∽ △ PCD, \therefore \dfrac{PA}{PC}=\dfrac{AB}{CD}, 即 \dfrac{PA}{PA+AC}=\dfrac{AB}{CD}, \therefore \dfrac{PA}{PA+50}=\dfrac{80}{120}, 解得 PA=100(\mathrm{m})$
解析
【分析】
首先根据已知的垂直关系可推出AB平行于CD，进而可证得△PAB与△PCD相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合PC=PA+AC，将已知的AC、AB、CD的长度代入比例式，即可得到关于PA的一元一次方程，解方程即可求出河宽PA。
【解析】
解：$\because BA ⊥ PC, CD ⊥ PC$，
$\therefore ∠ PAB = ∠ C = 90°$，
$\therefore AB // CD$，
$\therefore △ PAB ∽ △ PCD$，
$\therefore \dfrac{PA}{PC}=\dfrac{AB}{CD}$，
又$\because PC=PA+AC$，$AC=50\ \mathrm{m}$，$AB=80\ \mathrm{m}$，$CD=120\ \mathrm{m}$，
代入得：$\dfrac{PA}{PA+50}=\dfrac{80}{120}$，
交叉相乘化简得：$120PA=80(PA+50)$，
$120PA=80PA+4000$，
$40PA=4000$，
解得 $PA=100(\mathrm{m})$。
【答案】
河的宽度$PA$为$100\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题的典型题型，解题核心是将实际场景转化为几何相似模型，通过垂直关系证明三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的垂直关系可推出AB平行于CD，进而可证得△PAB与△PCD相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合PC=PA+AC，将已知的AC、AB、CD的长度代入比例式，即可得到关于PA的一元一次方程，解方程即可求出河宽PA。
【解析】
解：$\because BA ⊥ PC, CD ⊥ PC$，
$\therefore ∠ PAB = ∠ C = 90°$，
$\therefore AB // CD$，
$\therefore △ PAB ∽ △ PCD$，
$\therefore \dfrac{PA}{PC}=\dfrac{AB}{CD}$，
又$\because PC=PA+AC$，$AC=50\ \mathrm{m}$，$AB=80\ \mathrm{m}$，$CD=120\ \mathrm{m}$，
代入得：$\dfrac{PA}{PA+50}=\dfrac{80}{120}$，
交叉相乘化简得：$120PA=80(PA+50)$，
$120PA=80PA+4000$，
$40PA=4000$，
解得 $PA=100(\mathrm{m})$。
【答案】
河的宽度$PA$为$100\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题的典型题型，解题核心是将实际场景转化为几何相似模型，通过垂直关系证明三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
