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如图，已知$□ ABCD$，求证：$AB=CD$，$CB=AD$，$∠ B=∠ D$，$∠ BAD=∠ BCD$。
分析：要证$AB=CD$，$CB=AD$，$∠ B=∠ D$，$∠ BAD=∠ BCD$，只要证明四条线段所在的两个三角形
证明：如图，连接AC。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB//$
∴$∠1=∠2$，$∠3=∠4$。
∴$∠ BAD=∠$
∵$AC=CA$，
∴$△ ABC≌△ CDA$。
∴ $AB = CD$，$CB = AD$，$∠ B = ∠ D$，$∠ BAD=∠ BCD$。
新知生成：(1)平行四边形是
(2)边的性质：平行四边形的对边
(3)角的性质：平行四边形的对角
分析：要证$AB=CD$，$CB=AD$，$∠ B=∠ D$，$∠ BAD=∠ BCD$，只要证明四条线段所在的两个三角形
全等
即可。因此我们可以作辅助线AC，将平行四边形分成△ABC
和△CDA
，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论。证明：如图，连接AC。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB//$
CD
，$BC//$AD
（平行四边形的定义）。∴$∠1=∠2$，$∠3=∠4$。
∴$∠ BAD=∠$
BCD
。∵$AC=CA$，
∴$△ ABC≌△ CDA$。
∴ $AB = CD$，$CB = AD$，$∠ B = ∠ D$，$∠ BAD=∠ BCD$。
新知生成：(1)平行四边形是
中心
对称图形，两条对角线
的交点是它的对称中心
；(2)边的性质：平行四边形的对边
相等
；(3)角的性质：平行四边形的对角
相等
。答案
全等 △ABC △CDA CD AD BCD
(1)中心 对角线 对称中心
(2)相等
(3)相等
(1)中心 对角线 对称中心
(2)相等
(3)相等
解析
【分析】
要证明平行四边形的对边相等、对角相等，可将待证的边、角转化到两个三角形中，通过证明三角形全等得到对应边、对应角相等的结论。解题时先作辅助线连接平行四边形的对角线AC，将平行四边形分割为△ABC和△CDA，再利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，结合公共边即可证明两个三角形全等，进而推导得到待证结论，后续再结合推导结论总结平行四边形的对称性质、边的性质和角的性质即可。
【解析】
首先分析待证结论的推导逻辑：要证边、角相等，只要证明四条线段所在的两个三角形全等即可，作辅助线AC将平行四边形分成△ABC和△CDA。
证明过程中，根据平行四边形的定义，平行四边形对边平行，因此AB//CD，BC//AD；由平行线的内错角相等性质得∠1=∠2，∠3=∠4，将两个等号左右分别相加，可得∠BAD=∠BCD；再结合公共边AC=CA，即可证得△ABC≌△CDA，进而得到对应边相等、对应角相等的结论。
新知生成部分结合推导结论填写即可：
(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；
(2)边的性质：平行四边形的对边相等；
(3)角的性质：平行四边形的对角相等。
【答案】
全等 △ABC △CDA CD AD BCD
(1)中心 对角线 对称中心
(2)相等
(3)相等
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定，中心对称图形
【点评】
本题是平行四边形性质的基础推导题，核心是通过连接对角线把平行四边形问题转化为三角形全等问题求解，这种转化思想是研究平行四边形相关问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要证明平行四边形的对边相等、对角相等，可将待证的边、角转化到两个三角形中，通过证明三角形全等得到对应边、对应角相等的结论。解题时先作辅助线连接平行四边形的对角线AC，将平行四边形分割为△ABC和△CDA，再利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，结合公共边即可证明两个三角形全等，进而推导得到待证结论，后续再结合推导结论总结平行四边形的对称性质、边的性质和角的性质即可。
【解析】
首先分析待证结论的推导逻辑：要证边、角相等，只要证明四条线段所在的两个三角形全等即可，作辅助线AC将平行四边形分成△ABC和△CDA。
证明过程中，根据平行四边形的定义，平行四边形对边平行，因此AB//CD，BC//AD；由平行线的内错角相等性质得∠1=∠2，∠3=∠4，将两个等号左右分别相加，可得∠BAD=∠BCD；再结合公共边AC=CA，即可证得△ABC≌△CDA，进而得到对应边相等、对应角相等的结论。
新知生成部分结合推导结论填写即可：
(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；
(2)边的性质：平行四边形的对边相等；
(3)角的性质：平行四边形的对角相等。
【答案】
全等 △ABC △CDA CD AD BCD
(1)中心 对角线 对称中心
(2)相等
(3)相等
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定，中心对称图形
【点评】
本题是平行四边形性质的基础推导题，核心是通过连接对角线把平行四边形问题转化为三角形全等问题求解，这种转化思想是研究平行四边形相关问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ ABC$的平分线交AD于点E，$∠ BCD$的平分线交AD于点F。若$AB=7$，$BC=10$，则$DE$的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. A
解析
【分析】
解题思路：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD与BC平行、AD的长度等于BC的长度；再结合角平分线的定义和平行线内错角相等的性质，推出△ABE是等腰三角形，得到AE的长度等于AB的长度；最后用AD的长度减去AE的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=10，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=7，
∴DE=AD - AE=10 - 7=3。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是掌握“平行线+角平分线”的常见模型，该模型通常可以推出等腰三角形，进而实现线段的等量转化，这类题型是四边形章节的高频考点。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD与BC平行、AD的长度等于BC的长度；再结合角平分线的定义和平行线内错角相等的性质，推出△ABE是等腰三角形，得到AE的长度等于AB的长度；最后用AD的长度减去AE的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=10，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=7，
∴DE=AD - AE=10 - 7=3。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是掌握“平行线+角平分线”的常见模型，该模型通常可以推出等腰三角形，进而实现线段的等量转化，这类题型是四边形章节的高频考点。
【难度系数】
0.8
2. 若一个平行四边形的周长为24 cm，相邻两边的差为2 cm，则该平行四边形的各边长为（
A.4 cm，8 cm，4 cm，8 cm
B.5 cm，7 cm，5 cm，7 cm
C.5.5 cm，6.5 cm，5.5 cm，6.5 cm
D.3 cm，9 cm，3 cm，9 cm
利用平行四边形的性质计算和
B
）A.4 cm，8 cm，4 cm，8 cm
B.5 cm，7 cm，5 cm，7 cm
C.5.5 cm，6.5 cm，5.5 cm，6.5 cm
D.3 cm，9 cm，3 cm，9 cm
利用平行四边形的性质计算和
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对边分别相等。因此平行四边形的周长等于相邻两边长度之和的2倍。我们可以先根据周长求出相邻两边的和，再结合相邻两边的差，通过和差计算或者列方程组的方式求出两条邻边的长度，最后对应选项得出答案。
【解析】
∵ 平行四边形的对边相等，周长为24 cm
∴ 相邻两边的长度之和为 $24÷2=12\ \mathrm{cm}$
设相邻两边中较长边为$x\ \mathrm{cm}$，较短边为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意得：
$\begin{cases}x + y = 12 \\x - y = 2\end{cases}$
将两个方程相加得：$2x=14$，解得$x=7$
把$x=7$代入$x+y=12$，得$y=12-7=5$
因此平行四边形的四条边长分别为5 cm，7 cm，5 cm，7 cm
【答案】
B
【知识点】
平行四边形对边相等；和差问题计算
【点评】
本题是基础类题型，核心是利用平行四边形对边相等的性质，结合周长条件转化为邻边的和差关系求解，熟记平行四边形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对边分别相等。因此平行四边形的周长等于相邻两边长度之和的2倍。我们可以先根据周长求出相邻两边的和，再结合相邻两边的差，通过和差计算或者列方程组的方式求出两条邻边的长度，最后对应选项得出答案。
【解析】
∵ 平行四边形的对边相等，周长为24 cm
∴ 相邻两边的长度之和为 $24÷2=12\ \mathrm{cm}$
设相邻两边中较长边为$x\ \mathrm{cm}$，较短边为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意得：
$\begin{cases}x + y = 12 \\x - y = 2\end{cases}$
将两个方程相加得：$2x=14$，解得$x=7$
把$x=7$代入$x+y=12$，得$y=12-7=5$
因此平行四边形的四条边长分别为5 cm，7 cm，5 cm，7 cm
【答案】
B
【知识点】
平行四边形对边相等；和差问题计算
【点评】
本题是基础类题型，核心是利用平行四边形对边相等的性质，结合周长条件转化为邻边的和差关系求解，熟记平行四边形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
任务三
证明
阅读材料，完成下列探究。
如图，E是$□ ABCD$的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F。
探究1：求证：$AD=CF$。
探究2：若$∠ BAF=90°$，$BC=10$，$EF=6$，求CD的长。
证明
阅读材料，完成下列探究。
如图，E是$□ ABCD$的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F。
探究1：求证：$AD=CF$。
探究2：若$∠ BAF=90°$，$BC=10$，$EF=6$，求CD的长。
答案
探究1 证明略
探究2 $CD=16$。
探究2 $CD=16$。
解析
【分析】
探究1思路：
要证明$AD=CF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。结合平行四边形对边平行的性质，可得两组内错角相等，再结合$E$是$CD$中点得到一组边相等，配合对顶角相等即可证$△ ADE≌△ FCE$，利用全等三角形对应边相等得$AD=CF$。
探究2思路：
先由平行四边形对边相等得$AD=BC=10$，结合探究1的结论得$CF=10$，即可求出$BF$的长；再由全等性质得$AE=EF=6$，求出$AF$的长；已知$∠ BAF=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABF$中用勾股定理求出$AB$的长，最后根据平行四边形对边相等即可得到$CD$的长。
【解析】
探究1 证明：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形
$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ DAE=∠ F$，$∠ D=∠ ECF$
$\because E$是$CD$的中点，$\therefore DE=CE$
在$△ ADE$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠ DAE=∠ F\\∠ D=∠ ECF\\DE=CE\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ FCE(\mathrm{AAS})$
$\therefore AD=CF$
探究2 解：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形
$\therefore AD=BC=10$，$AB=CD$
由探究1得$△ ADE≌△ FCE$，$\therefore AD=CF=10$，$AE=EF=6$
$\therefore BF=BC+CF=10+10=20$，$AF=AE+EF=6+6=12$
$\because ∠ BAF=90°$，$\therefore △ ABF$是直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$
$\therefore CD=AB=16$
【答案】
探究1：证明见解析；探究2：$\boxed{16}$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，把平行四边形性质、全等三角形和勾股定理结合考查，解题的核心是先通过全等三角形得到相等的线段，再结合直角三角形的勾股定理计算边长，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
探究1思路：
要证明$AD=CF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。结合平行四边形对边平行的性质，可得两组内错角相等，再结合$E$是$CD$中点得到一组边相等，配合对顶角相等即可证$△ ADE≌△ FCE$，利用全等三角形对应边相等得$AD=CF$。
探究2思路：
先由平行四边形对边相等得$AD=BC=10$，结合探究1的结论得$CF=10$，即可求出$BF$的长；再由全等性质得$AE=EF=6$，求出$AF$的长；已知$∠ BAF=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABF$中用勾股定理求出$AB$的长，最后根据平行四边形对边相等即可得到$CD$的长。
【解析】
探究1 证明：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形
$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ DAE=∠ F$，$∠ D=∠ ECF$
$\because E$是$CD$的中点，$\therefore DE=CE$
在$△ ADE$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠ DAE=∠ F\\∠ D=∠ ECF\\DE=CE\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ FCE(\mathrm{AAS})$
$\therefore AD=CF$
探究2 解：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形
$\therefore AD=BC=10$，$AB=CD$
由探究1得$△ ADE≌△ FCE$，$\therefore AD=CF=10$，$AE=EF=6$
$\therefore BF=BC+CF=10+10=20$，$AF=AE+EF=6+6=12$
$\because ∠ BAF=90°$，$\therefore △ ABF$是直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BF^2-AF^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$
$\therefore CD=AB=16$
【答案】
探究1：证明见解析；探究2：$\boxed{16}$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，把平行四边形性质、全等三角形和勾股定理结合考查，解题的核心是先通过全等三角形得到相等的线段，再结合直角三角形的勾股定理计算边长，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
