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9. (★)已知一菱形的面积为12 cm²,两条对角线长分别为x cm和y cm,则y关于x的函数解析式为；如果一条对角线的长为10 cm,那么另一条对角线的长为。
答案
解：
由菱形面积等于两条对角线乘积的一半，得
$\frac{1}{2}xy = 12$
整理得 $xy=24$，因此y关于x的函数解析式为 $\boldsymbol{y=\frac{24}{x}\ (x＞0)}$。
将$x=10$代入$y=\frac{24}{x}$，得$y=\frac{24}{10}=2.4$，即另一条对角线的长为 $\boldsymbol{2.4\ \mathrm{cm}}$。
由菱形面积等于两条对角线乘积的一半，得
$\frac{1}{2}xy = 12$
整理得 $xy=24$，因此y关于x的函数解析式为 $\boldsymbol{y=\frac{24}{x}\ (x＞0)}$。
将$x=10$代入$y=\frac{24}{x}$，得$y=\frac{24}{10}=2.4$，即另一条对角线的长为 $\boldsymbol{2.4\ \mathrm{cm}}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。第一步，结合题目给出的面积值，列出关于x、y的等式，再将等式变形，用含x的式子表示y，同时结合对角线长度为正数的实际意义，写出自变量x的取值范围，即可得到y关于x的函数解析式。第二步，将已知的对角线长x=10代入所得的函数解析式，计算即可求出另一条对角线的长度。
【解析】
根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半，可得：
$\frac{1}{2}xy = 12$
整理等式，两边同乘2得：$xy=24$，因此y关于x的函数解析式为 $y=\frac{24}{x}\ (x＞0)$。
将$x=10$代入$y=\frac{24}{x}$，得$y=\frac{24}{10}=2.4$，即另一条对角线的长为$2.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$y=\frac{24}{x}\ (x＞0)$；$2.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形面积计算；反比例函数解析式；代入求值
【点评】
本题是基础应用题，核心考查菱形面积与对角线的关系，以及反比例函数在实际场景中的应用，解题的关键是牢记几何公式，同时注意实际问题中自变量的取值范围要符合现实意义。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。第一步，结合题目给出的面积值，列出关于x、y的等式，再将等式变形，用含x的式子表示y，同时结合对角线长度为正数的实际意义，写出自变量x的取值范围，即可得到y关于x的函数解析式。第二步，将已知的对角线长x=10代入所得的函数解析式，计算即可求出另一条对角线的长度。
【解析】
根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半，可得：
$\frac{1}{2}xy = 12$
整理等式，两边同乘2得：$xy=24$，因此y关于x的函数解析式为 $y=\frac{24}{x}\ (x＞0)$。
将$x=10$代入$y=\frac{24}{x}$，得$y=\frac{24}{10}=2.4$，即另一条对角线的长为$2.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$y=\frac{24}{x}\ (x＞0)$；$2.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形面积计算；反比例函数解析式；代入求值
【点评】
本题是基础应用题，核心考查菱形面积与对角线的关系，以及反比例函数在实际场景中的应用，解题的关键是牢记几何公式，同时注意实际问题中自变量的取值范围要符合现实意义。
【难度系数】
0.9
10. (★★)小宇每天骑自行车上学,从家到学校所需时间$t$(单位:min)与骑车的平均速度$v$(单位:km/min)的关系如图所示.一天早上,为了不迟到,需不超过15 min赶到学校,那么他骑车的速度至少是 km/min.
答案
$\boldsymbol{0.2}$
解析
【分析】
首先明确路程=速度×时间，小宇家到学校的路程是固定值，因此时间t与速度v成反比例函数关系。解题时第一步先利用图象给出的v=0.15km/min、t=20min的对应值，计算出家到学校的总路程；第二步结合“不超过15min到校”的要求，将t=15代入路程公式，即可求出最低速度。
【解析】
解：由行程公式$s=vt$可知，小宇家到学校的路程为固定值。
根据图象信息，当$v=0.15\mathrm{km/min}$时，$t=20\mathrm{min}$，因此家到学校的总路程为：
$s=vt=0.15×20=3\mathrm{km}$
要求到校时间$t≤15\mathrm{min}$，将公式变形为$v=\frac{s}{t}$，代入数据可得：
$v≥\frac{3}{15}=0.2\mathrm{km/min}$
即他骑车的速度至少是0.2km/min。
【答案】
$\boldsymbol{0.2}$
【知识点】
反比例函数的应用；行程问题公式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是抓住路程不变这一隐含条件，先求出固定路程，再根据时间限制计算对应的速度要求，解题思路清晰，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
首先明确路程=速度×时间，小宇家到学校的路程是固定值，因此时间t与速度v成反比例函数关系。解题时第一步先利用图象给出的v=0.15km/min、t=20min的对应值，计算出家到学校的总路程；第二步结合“不超过15min到校”的要求，将t=15代入路程公式，即可求出最低速度。
【解析】
解：由行程公式$s=vt$可知，小宇家到学校的路程为固定值。
根据图象信息，当$v=0.15\mathrm{km/min}$时，$t=20\mathrm{min}$，因此家到学校的总路程为：
$s=vt=0.15×20=3\mathrm{km}$
要求到校时间$t≤15\mathrm{min}$，将公式变形为$v=\frac{s}{t}$，代入数据可得：
$v≥\frac{3}{15}=0.2\mathrm{km/min}$
即他骑车的速度至少是0.2km/min。
【答案】
$\boldsymbol{0.2}$
【知识点】
反比例函数的应用；行程问题公式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是抓住路程不变这一隐含条件，先求出固定路程，再根据时间限制计算对应的速度要求，解题思路清晰，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
11. (★★)某蓄水池的排水管每小时排水$8\ \mathrm{m}^3$,$6\ \mathrm{h}$可将满池的水全部排空.
(1)如果增加排水管,那么每小时排水量$Q$(单位:$\mathrm{m}^3$)与将满池水排空所需时间$t$(单位:$\mathrm{h}$)之间有怎样的函数关系?
(2)如果计划在$5\ \mathrm{h}$内将满池的水排空,那么每小时排水量至少是多少?
(1)如果增加排水管,那么每小时排水量$Q$(单位:$\mathrm{m}^3$)与将满池水排空所需时间$t$(单位:$\mathrm{h}$)之间有怎样的函数关系?
(2)如果计划在$5\ \mathrm{h}$内将满池的水排空,那么每小时排水量至少是多少?
答案
解：
(1) 蓄水池的总容积为：$8 × 6 = 48\ (\mathrm{m}^3)$
由题意可得 $Qt = 48$，整理得 $Q = \frac{48}{t}\ (t＞0)$。
即每小时排水量$Q$与将满池水排空所需时间$t$的函数关系为反比例函数 $Q = \frac{48}{t}\ (t＞0)$。
(2) 当$t=5$时，代入函数关系式得：
$Q = \frac{48}{5} = 9.6$
在函数$Q=\frac{48}{t}$中，当$t＞0$时，$Q$随$t$的增大而减小，因此若要求$t ≤ 5$，则$Q ≥ 9.6$。
答：每小时排水量至少是$9.6\ \mathrm{m}^3$。
(1) 蓄水池的总容积为：$8 × 6 = 48\ (\mathrm{m}^3)$
由题意可得 $Qt = 48$，整理得 $Q = \frac{48}{t}\ (t＞0)$。
即每小时排水量$Q$与将满池水排空所需时间$t$的函数关系为反比例函数 $Q = \frac{48}{t}\ (t＞0)$。
(2) 当$t=5$时，代入函数关系式得：
$Q = \frac{48}{5} = 9.6$
在函数$Q=\frac{48}{t}$中，当$t＞0$时，$Q$随$t$的增大而减小，因此若要求$t ≤ 5$，则$Q ≥ 9.6$。
答：每小时排水量至少是$9.6\ \mathrm{m}^3$。
解析
【分析】
解决本题首先要抓住“蓄水池总水量固定”这一核心不变量：
(1) 先根据已知的排水效率和排水时间计算出蓄水池的总容积，再依据“每小时排水量×排水时间=总容积”的等量关系，推导得出Q与t的函数关系式，同时注意自变量t的实际取值范围；
(2) 先将t=5代入第一问得到的函数关系式求出对应Q值，再结合反比例函数的增减性分析：当要求排水时间不超过5h时，每小时排水量的最小值即为t=5时对应的Q值。
【解析】
(1) 先计算蓄水池的总容积：
总容积 = 每小时排水量 × 排水时间 = $8 × 6 = 48\ (\mathrm{m}^3)$
根据等量关系$Qt = 48$，整理可得函数关系式：
$Q = \frac{48}{t}\ (t＞0)$
即Q与t成反比例函数关系。
(2) 当排水时间$t=5\ \mathrm{h}$时，代入函数关系式得：
$Q = \frac{48}{5} = 9.6\ (\mathrm{m}^3)$
在反比例函数$Q=\frac{48}{t}$中，$k=48＞0$，当$t＞0$时，Q随t的增大而减小，因此若要满足$t ≤ 5$，则需$Q ≥ 9.6$。
【答案】
(1) 函数关系为$\boldsymbol{Q = \frac{48}{t}\ (t＞0)}$；
(2) 每小时排水量至少是$\boldsymbol{9.6\ \mathrm{m}^3}$。
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数结合实际场景的基础应用题，解题的关键是抓住总蓄水量不变的隐藏条件，结合反比例函数的增减性求解，能有效锻炼将实际问题转化为函数问题的能力。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要抓住“蓄水池总水量固定”这一核心不变量：
(1) 先根据已知的排水效率和排水时间计算出蓄水池的总容积，再依据“每小时排水量×排水时间=总容积”的等量关系，推导得出Q与t的函数关系式，同时注意自变量t的实际取值范围；
(2) 先将t=5代入第一问得到的函数关系式求出对应Q值，再结合反比例函数的增减性分析：当要求排水时间不超过5h时，每小时排水量的最小值即为t=5时对应的Q值。
【解析】
(1) 先计算蓄水池的总容积：
总容积 = 每小时排水量 × 排水时间 = $8 × 6 = 48\ (\mathrm{m}^3)$
根据等量关系$Qt = 48$，整理可得函数关系式：
$Q = \frac{48}{t}\ (t＞0)$
即Q与t成反比例函数关系。
(2) 当排水时间$t=5\ \mathrm{h}$时，代入函数关系式得：
$Q = \frac{48}{5} = 9.6\ (\mathrm{m}^3)$
在反比例函数$Q=\frac{48}{t}$中，$k=48＞0$，当$t＞0$时，Q随t的增大而减小，因此若要满足$t ≤ 5$，则需$Q ≥ 9.6$。
【答案】
(1) 函数关系为$\boldsymbol{Q = \frac{48}{t}\ (t＞0)}$；
(2) 每小时排水量至少是$\boldsymbol{9.6\ \mathrm{m}^3}$。
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数结合实际场景的基础应用题，解题的关键是抓住总蓄水量不变的隐藏条件，结合反比例函数的增减性求解，能有效锻炼将实际问题转化为函数问题的能力。
【难度系数】
0.8
12. (★★)货运司机王师傅驾车从A地运输一批砂糖橘到B地，平均每小时行驶60 km，刚好用了5 h.第二天上午9时，王师傅驾车沿原路线从B地返回A地，驾车的平均速度为y(单位:km/h)，行驶时间为x(单位:h).
(1)写出王师傅驾车的平均速度y关于行驶时间x的函数解析式.
(2)若王师傅要在下午1时恰好到达A地，其驾车平均速度应满足什么条件?
(3)为了保证安全，平均车速不得超过80 km/h，那么王师傅最早几点到达A地?
(1)写出王师傅驾车的平均速度y关于行驶时间x的函数解析式.
(2)若王师傅要在下午1时恰好到达A地，其驾车平均速度应满足什么条件?
(3)为了保证安全，平均车速不得超过80 km/h，那么王师傅最早几点到达A地?
答案
解：
(1) A、B两地的总路程为 $60 × 5 = 300\ \mathrm{km}$，
由返回时路程满足 $xy=300$，可得平均速度$y$关于行驶时间$x$的函数解析式为：
$y=\frac{300}{x} \quad (x＞0)$
(2) 从上午9时到下午1时，经过的时间为 $13-9=4\ \mathrm{h}$，
将$x=4$代入$y=\frac{300}{x}$，得 $y=\frac{300}{4}=75$。
(3) 由题意得$y ≤ 80$，代入函数解析式得：
$\frac{300}{x} ≤ 80$
因为$x＞0$，不等式两边同乘$x$，不等号方向不变，得$80x ≥ 300$，
解得 $x ≥ 3.75$，即行驶时间最少为3.75 h，也就是3小时45分钟。
上午9时加上3小时45分钟，对应时刻为12时45分。
答：(2) 王师傅驾车的平均速度应为75 km/h；(3) 王师傅最早12点45分到达A地。
(1) A、B两地的总路程为 $60 × 5 = 300\ \mathrm{km}$，
由返回时路程满足 $xy=300$，可得平均速度$y$关于行驶时间$x$的函数解析式为：
$y=\frac{300}{x} \quad (x＞0)$
(2) 从上午9时到下午1时，经过的时间为 $13-9=4\ \mathrm{h}$，
将$x=4$代入$y=\frac{300}{x}$，得 $y=\frac{300}{4}=75$。
(3) 由题意得$y ≤ 80$，代入函数解析式得：
$\frac{300}{x} ≤ 80$
因为$x＞0$，不等式两边同乘$x$，不等号方向不变，得$80x ≥ 300$，
解得 $x ≥ 3.75$，即行驶时间最少为3.75 h，也就是3小时45分钟。
上午9时加上3小时45分钟，对应时刻为12时45分。
答：(2) 王师傅驾车的平均速度应为75 km/h；(3) 王师傅最早12点45分到达A地。
解析
【分析】
这是一道行程类的实际应用题，核心解题突破口是往返A、B两地的路程固定不变。解题思路如下：1.先根据去程的速度和时间计算出A、B两地的总路程；2.第一问求速度y关于时间x的函数解析式，利用“路程=速度×时间”的等量关系变形即可得到反比例函数解析式，注意行驶时间x的取值需大于0；3.第二问先算出上午9时到下午1时的行驶时长，将时长代入第一问的函数解析式即可求出对应的平均速度；4.第三问已知最高车速限制，将$y≤80$代入函数解析式解不等式，得到最短行驶时间，再结合出发时间即可推算出最早到达的时刻，注意要统一时间单位。
【解析】
(1) 计算A、B两地总路程：去程平均速度为60km/h，用时5h，因此总路程为 $60 × 5 = 300\ \mathrm{km}$。
返回时路程不变，根据行程公式可得$xy=300$，变形后得到平均速度y关于行驶时间x的函数解析式为：
$y=\frac{300}{x} \quad (x＞0)$
(2) 计算允许的行驶时长：下午1时为13时，从上午9时到13时的时间间隔为 $13-9=4\ \mathrm{h}$。
将$x=4$代入$y=\frac{300}{x}$，得 $y=\frac{300}{4}=75$，即平均速度为75km/h。
(3) 由题意可知平均车速不得超过80km/h，即$y ≤ 80$，代入函数解析式得：
$\frac{300}{x} ≤ 80$
因为$x＞0$，不等式两边同乘x，不等号方向不变，得$80x ≥ 300$，
解得 $x ≥ 3.75$，即最短行驶时间为3.75h，换算为时分是3小时45分钟。
上午9时加3小时45分钟，对应的到达时刻为12时45分。
【答案】
(1) $y=\frac{300}{x}\ (x＞0)$；
(2) 平均速度应为75 km/h；
(3) 最早12时45分到达A地。
【知识点】
反比例函数应用，解一元一次不等式，行程问题公式
【点评】
本题结合生活实际考察函数与不等式的应用，解题关键是抓住往返路程不变的核心等量关系，同时要注意实际问题中自变量的取值范围，以及时间单位的正确换算，整体难度不高，贴合生活场景。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的实际应用题，核心解题突破口是往返A、B两地的路程固定不变。解题思路如下：1.先根据去程的速度和时间计算出A、B两地的总路程；2.第一问求速度y关于时间x的函数解析式，利用“路程=速度×时间”的等量关系变形即可得到反比例函数解析式，注意行驶时间x的取值需大于0；3.第二问先算出上午9时到下午1时的行驶时长，将时长代入第一问的函数解析式即可求出对应的平均速度；4.第三问已知最高车速限制，将$y≤80$代入函数解析式解不等式，得到最短行驶时间，再结合出发时间即可推算出最早到达的时刻，注意要统一时间单位。
【解析】
(1) 计算A、B两地总路程：去程平均速度为60km/h，用时5h，因此总路程为 $60 × 5 = 300\ \mathrm{km}$。
返回时路程不变，根据行程公式可得$xy=300$，变形后得到平均速度y关于行驶时间x的函数解析式为：
$y=\frac{300}{x} \quad (x＞0)$
(2) 计算允许的行驶时长：下午1时为13时，从上午9时到13时的时间间隔为 $13-9=4\ \mathrm{h}$。
将$x=4$代入$y=\frac{300}{x}$，得 $y=\frac{300}{4}=75$，即平均速度为75km/h。
(3) 由题意可知平均车速不得超过80km/h，即$y ≤ 80$，代入函数解析式得：
$\frac{300}{x} ≤ 80$
因为$x＞0$，不等式两边同乘x，不等号方向不变，得$80x ≥ 300$，
解得 $x ≥ 3.75$，即最短行驶时间为3.75h，换算为时分是3小时45分钟。
上午9时加3小时45分钟，对应的到达时刻为12时45分。
【答案】
(1) $y=\frac{300}{x}\ (x＞0)$；
(2) 平均速度应为75 km/h；
(3) 最早12时45分到达A地。
【知识点】
反比例函数应用，解一元一次不等式，行程问题公式
【点评】
本题结合生活实际考察函数与不等式的应用，解题关键是抓住往返路程不变的核心等量关系，同时要注意实际问题中自变量的取值范围，以及时间单位的正确换算，整体难度不高，贴合生活场景。
【难度系数】
0.8
