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18. 先化简 $ \frac { a + 1 } { a - 1 } - \frac { a } { a ^ { 2 } - 2 a + 1 } \div \frac { 1 } { a } $，然后给 $ a $ 选择一个你喜欢的数代入求值.
答案
【解析】：
本题可先根据分式的运算法则对原式进行化简，再代入合适的值进行计算。
- **步骤一：化简原式**
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，对$a^2 - 2a + 1$进行因式分解可得$a^2 - 2a + 1=(a - 1)^2$。
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，则$\frac{a}{a^2 - 2a + 1} \div \frac{1}{a}=\frac{a}{(a - 1)^2} \times a=\frac{a^2}{(a - 1)^2}$。
所以原式$\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a}{a^2 - 2a + 1} \div \frac{1}{a}$可化为$\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a^2}{(a - 1)^2}$。
为了进行减法运算，需要先通分，两个分式的最简公分母为$(a - 1)^2$，则$\frac{a + 1}{a - 1}=\frac{(a + 1)(a - 1)}{(a - 1)^2}$。
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得$(a + 1)(a - 1)=a^2 - 1$。
所以$\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a^2}{(a - 1)^2}=\frac{a^2 - 1}{(a - 1)^2} - \frac{a^2}{(a - 1)^2}=\frac{a^2 - 1 - a^2}{(a - 1)^2}=\frac{-1}{(a - 1)^2}$。
- **步骤二：代入求值**
要使原式有意义，则分母不能为$0$，即$a - 1\neq 0$，$a\neq 0$，解得$a\neq 1$且$a\neq 0$。
不妨取$a = 2$，代入化简后的式子$\frac{-1}{(a - 1)^2}$可得：$\frac{-1}{(2 - 1)^2}=\frac{-1}{1}=-1$。
【答案】：化简结果为$\frac{-1}{(a - 1)^2}$；当$a = 2$时，值为$-1$。
本题可先根据分式的运算法则对原式进行化简，再代入合适的值进行计算。
- **步骤一：化简原式**
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，对$a^2 - 2a + 1$进行因式分解可得$a^2 - 2a + 1=(a - 1)^2$。
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，则$\frac{a}{a^2 - 2a + 1} \div \frac{1}{a}=\frac{a}{(a - 1)^2} \times a=\frac{a^2}{(a - 1)^2}$。
所以原式$\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a}{a^2 - 2a + 1} \div \frac{1}{a}$可化为$\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a^2}{(a - 1)^2}$。
为了进行减法运算，需要先通分，两个分式的最简公分母为$(a - 1)^2$，则$\frac{a + 1}{a - 1}=\frac{(a + 1)(a - 1)}{(a - 1)^2}$。
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得$(a + 1)(a - 1)=a^2 - 1$。
所以$\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a^2}{(a - 1)^2}=\frac{a^2 - 1}{(a - 1)^2} - \frac{a^2}{(a - 1)^2}=\frac{a^2 - 1 - a^2}{(a - 1)^2}=\frac{-1}{(a - 1)^2}$。
- **步骤二：代入求值**
要使原式有意义，则分母不能为$0$，即$a - 1\neq 0$，$a\neq 0$，解得$a\neq 1$且$a\neq 0$。
不妨取$a = 2$，代入化简后的式子$\frac{-1}{(a - 1)^2}$可得：$\frac{-1}{(2 - 1)^2}=\frac{-1}{1}=-1$。
【答案】：化简结果为$\frac{-1}{(a - 1)^2}$；当$a = 2$时，值为$-1$。
19. 解方程：$ \frac { x } { x - 1 } - 1 = \frac { 3 } { x ^ { 2 } - 1 } $.
答案
【解析】：本题可先将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后对所得的根进行检验。
- **步骤一：确定方程的最简公分母并去分母**
方程$\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{x^2 - 1}$中，$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$，所以该方程的最简公分母为$(x + 1)(x - 1)$。
给方程两边同时乘以最简公分母$(x + 1)(x - 1)$去分母得：
$x(x + 1) - (x^2 - 1) = 3$
- **步骤二：求解整式方程**
去括号：根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，将$x(x + 1) - (x^2 - 1) = 3$去括号得$x^2 + x - x^2 + 1 = 3$。
合并同类项：对$x^2 + x - x^2 + 1 = 3$合并同类项，$x^2 - x^2+x + 1 = 3$，得到$x + 1 = 3$。
移项：将常数项$1$移到等号右边得$x = 3 - 1$，即$x = 2$。
- **步骤三：检验根的有效性**
把$x = 2$代入原方程的分母$x - 1=2 - 1 = 1\neq 0$，$x^2 - 1=2^2 - 1 = 3\neq 0$，分母均不为$0$，所以$x = 2$是原分式方程的解。
【答案】：$x = 2$
- **步骤一：确定方程的最简公分母并去分母**
方程$\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{x^2 - 1}$中，$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$，所以该方程的最简公分母为$(x + 1)(x - 1)$。
给方程两边同时乘以最简公分母$(x + 1)(x - 1)$去分母得：
$x(x + 1) - (x^2 - 1) = 3$
- **步骤二：求解整式方程**
去括号：根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，将$x(x + 1) - (x^2 - 1) = 3$去括号得$x^2 + x - x^2 + 1 = 3$。
合并同类项：对$x^2 + x - x^2 + 1 = 3$合并同类项，$x^2 - x^2+x + 1 = 3$，得到$x + 1 = 3$。
移项：将常数项$1$移到等号右边得$x = 3 - 1$，即$x = 2$。
- **步骤三：检验根的有效性**
把$x = 2$代入原方程的分母$x - 1=2 - 1 = 1\neq 0$，$x^2 - 1=2^2 - 1 = 3\neq 0$，分母均不为$0$，所以$x = 2$是原分式方程的解。
【答案】：$x = 2$
20. 如图 9，$ O C $ 是 $ \angle A O B $ 的平分线，$ P $ 为 $ O C $ 上一点，若 $ \angle P D O + \angle P E O = 180 ^ { \circ } $，试判断 $ P D $ 和 $ P E $ 的大小关系，并说明理由.
答案
【解析】：过点$P$作$PM\perp OA$于点$M$，$PN\perp OB$于点$N$。
因为$OC$是$\angle AOB$的平分线，根据角平分线的性质可知$PM = PN$。
又因为$\angle PDO+\angle PEO = 180^{\circ}$，$\angle PEO+\angle PEN = 180^{\circ}$，所以$\angle PDO=\angle PEN$。
在$\triangle PDM$和$\triangle PEN$中，$\angle PMD=\angle PNE = 90^{\circ}$，$\angle PDO=\angle PEN$，$PM = PN$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle PDM\cong\triangle PEN$。
根据全等三角形的对应边相等，所以$PD = PE$。
【答案】：$PD = PE$
因为$OC$是$\angle AOB$的平分线，根据角平分线的性质可知$PM = PN$。
又因为$\angle PDO+\angle PEO = 180^{\circ}$，$\angle PEO+\angle PEN = 180^{\circ}$，所以$\angle PDO=\angle PEN$。
在$\triangle PDM$和$\triangle PEN$中，$\angle PMD=\angle PNE = 90^{\circ}$，$\angle PDO=\angle PEN$，$PM = PN$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle PDM\cong\triangle PEN$。
根据全等三角形的对应边相等，所以$PD = PE$。
【答案】：$PD = PE$
