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13. 如图 7，将 $ \triangle A B C $ 沿直线 $ A B $ 向右平移后到达 $ \triangle B D E $ 的位置，连接 $ C D $，$ C E $. 若 $ \triangle A C D $ 的面积为 10，则 $ \triangle B C E $ 的面积为____.
答案
$5$
14. 如图 8，在 $ \triangle A B C $ 中，用直尺和圆规作 $ A B $，$ A C $ 的垂直平分线，分别交 $ A B $，$ A C $ 于点 $ D $，$ E $，连接 $ D E $. 若 $ B C = 10 \mathrm { cm } $，则 $ D E = $____ $ \mathrm { cm } $.
答案
$5$
15. 有一面积为 $ 5 \sqrt { 3 } $ 的等腰三角形，它的一个内角是 $ 30 ^ { \circ } $，则以它的腰长为边的正方形的面积为____.
答案
$20\sqrt{3}$或$20$
16. 分解因式：
（1）$ - 4 a ^ { 2 } x + 12 a x - 9 x $；
（2）$ ( 2 x + y ) ^ { 2 } - ( x + 2 y ) ^ { 2 } $.
（1）$ - 4 a ^ { 2 } x + 12 a x - 9 x $；
（2）$ ( 2 x + y ) ^ { 2 } - ( x + 2 y ) ^ { 2 } $.
答案
【解析】：
（1）
第一步，先提取公因式$-x$，可得$-4a^{2}x + 12ax - 9x=-x(4a^{2}-12a + 9)$。
第二步，观察括号内的式子$4a^{2}-12a + 9$，它符合完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$，其中$m = 2a$，$n = 3$，即$4a^{2}-12a + 9=(2a - 3)^{2}$。
所以$-4a^{2}x + 12ax - 9x=-x(2a - 3)^{2}$。
（2）
第一步，根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，对于$(2x + y)^{2}-(x + 2y)^{2}$，这里$m = 2x + y$，$n = x + 2y$，则$(2x + y)^{2}-(x + 2y)^{2}=[(2x + y)+(x + 2y)][(2x + y)-(x + 2y)]$。
第二步，去括号化简$[(2x + y)+(x + 2y)][(2x + y)-(x + 2y)]=(2x + y+x + 2y)(2x + y - x - 2y)=(3x + 3y)(x - y)$。
第三步，再提取公因式$3$，得到$(3x + 3y)(x - y)=3(x + y)(x - y)$。
【答案】：（1）$-x(2a - 3)^{2}$；（2）$3(x + y)(x - y)$
（1）
第一步，先提取公因式$-x$，可得$-4a^{2}x + 12ax - 9x=-x(4a^{2}-12a + 9)$。
第二步，观察括号内的式子$4a^{2}-12a + 9$，它符合完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$，其中$m = 2a$，$n = 3$，即$4a^{2}-12a + 9=(2a - 3)^{2}$。
所以$-4a^{2}x + 12ax - 9x=-x(2a - 3)^{2}$。
（2）
第一步，根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，对于$(2x + y)^{2}-(x + 2y)^{2}$，这里$m = 2x + y$，$n = x + 2y$，则$(2x + y)^{2}-(x + 2y)^{2}=[(2x + y)+(x + 2y)][(2x + y)-(x + 2y)]$。
第二步，去括号化简$[(2x + y)+(x + 2y)][(2x + y)-(x + 2y)]=(2x + y+x + 2y)(2x + y - x - 2y)=(3x + 3y)(x - y)$。
第三步，再提取公因式$3$，得到$(3x + 3y)(x - y)=3(x + y)(x - y)$。
【答案】：（1）$-x(2a - 3)^{2}$；（2）$3(x + y)(x - y)$
17. 求不等式组 $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 ＞ 3 ( x + 1 ) , } \\ { \frac { 2 } { 3 } x - \frac { 3 x + 4 } { 6 } \leq \frac { 2 } { 3 } } \end{array} \right. $ 的非负整数解.
答案
【解析】：
本题可先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取它们的交集得到不等式组的解集，最后在解集中找出非负整数解。
- **步骤一：解不等式$2x + 7 \gt 3(x + 1)$。**
根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，将不等式右边的$3(x + 1)$展开可得$3x + 3$，则原不等式变为$2x + 7 \gt 3x + 3$。
移项：将含有$x$的项移到一边，常数项移到另一边，得到$2x - 3x \gt 3 - 7$。
合并同类项：计算可得$-x \gt -4$。
系数化为$1$：不等式两边同时除以$-1$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，所以可得$x \lt 4$。
- **步骤二：解不等式$\frac{2}{3}x - \frac{3x + 4}{6} \leq \frac{2}{3}$。**
去分母：给不等式两边同时乘以$6$，去掉分母，得到$6\times\frac{2}{3}x - 6\times\frac{3x + 4}{6} \leq 6\times\frac{2}{3}$，即$4x - (3x + 4) \leq 4$。
去括号：根据去括号法则，括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，可得$4x - 3x - 4 \leq 4$。
移项：将常数项移到右边，得到$4x - 3x \leq 4 + 4$。
合并同类项：计算可得$x \leq 8$。
- **步骤三：求不等式组的解集。**
因为不等式组为$\begin{cases}x \lt 4 \\ x \leq 8 \end{cases}$，根据“同小取小”的原则，可得不等式组的解集为$x \lt 4$。
- **步骤四：找出不等式组的非负整数解。**
非负整数是指大于等于$0$的整数，结合不等式组的解集$x \lt 4$，可得不等式组的非负整数解为$0$，$1$，$2$，$3$。
【答案】：$0$，$1$，$2$，$3$
本题可先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取它们的交集得到不等式组的解集，最后在解集中找出非负整数解。
- **步骤一：解不等式$2x + 7 \gt 3(x + 1)$。**
根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，将不等式右边的$3(x + 1)$展开可得$3x + 3$，则原不等式变为$2x + 7 \gt 3x + 3$。
移项：将含有$x$的项移到一边，常数项移到另一边，得到$2x - 3x \gt 3 - 7$。
合并同类项：计算可得$-x \gt -4$。
系数化为$1$：不等式两边同时除以$-1$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，所以可得$x \lt 4$。
- **步骤二：解不等式$\frac{2}{3}x - \frac{3x + 4}{6} \leq \frac{2}{3}$。**
去分母：给不等式两边同时乘以$6$，去掉分母，得到$6\times\frac{2}{3}x - 6\times\frac{3x + 4}{6} \leq 6\times\frac{2}{3}$，即$4x - (3x + 4) \leq 4$。
去括号：根据去括号法则，括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，可得$4x - 3x - 4 \leq 4$。
移项：将常数项移到右边，得到$4x - 3x \leq 4 + 4$。
合并同类项：计算可得$x \leq 8$。
- **步骤三：求不等式组的解集。**
因为不等式组为$\begin{cases}x \lt 4 \\ x \leq 8 \end{cases}$，根据“同小取小”的原则，可得不等式组的解集为$x \lt 4$。
- **步骤四：找出不等式组的非负整数解。**
非负整数是指大于等于$0$的整数，结合不等式组的解集$x \lt 4$，可得不等式组的非负整数解为$0$，$1$，$2$，$3$。
【答案】：$0$，$1$，$2$，$3$
