12. 某羽毛球团体赛小组赛比赛规则:两队之间进行五局比赛,其中三局单打,两局双打,五局比赛必须全部打完,赢得三局及以上的队获胜.已知甲、乙两队每局获胜的机会相同.
(1)若前四局双方战成$2:2$,则甲队最终获胜的概率是;
(2)若甲队在前两局比赛中已取得$2:0$领先,则甲队最终获胜的概率是多少?

(1)
因为前四局双方战成$2:2$，那么第五局比赛结果就决定甲队最终是否获胜。
已知甲、乙两队每局获胜的机会相同，即甲队赢第五局的概率为$\frac{1}{2}$。
所以甲队最终获胜的概率是$\frac{1}{2}$。
(2)
甲队在前两局比赛中已取得$2:0$领先，后面还有三局比赛。
后面三局比赛的情况可以用树状图来分析（也可以用列表法），设后面三局比赛甲赢为$A$，乙赢为$B$。
后面三局比赛的所有可能结果有$2×2×2 = 8$种。
甲队最终获胜的情况有：后面三局甲至少赢$1$局。
后面三局甲全输的情况只有$1$种（$B,B,B$），那么甲队最终获胜的情况有$8 - 1=7$种。
所以甲队最终获胜的概率是$\frac{7}{8}$。
综上，答案依次为：(1)$\frac{1}{2}$；(2)$\frac{7}{8}$。

13. (2023·福建)为促进消费,助力经济发展,某商场决定“让利酬宾”,于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定:凡在商场消费一定金额的顾客,均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下:从装有大小、质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中,随机摸出1个球,若摸得红球,则中奖,可获得奖品;若摸得黄球,则不中奖.同时,还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小、质地与袋中的4个球完全相同),然后从中随机摸出1个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出1个球,若摸得的两球的颜色相同,则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
(1)该顾客首次摸球中奖的概率为.
(2)假如该顾客首次摸球未中奖,为了有更大机会获得精美礼品,他应往袋中加入哪种颜色的球?请说明理由.

(1) 袋子中共有1个红球和3个黄球，总球数为4个。首次摸球中奖即摸到红球，其概率为红球个数除以总球数，故概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 首次未中奖，即摸到黄球，放回后袋中仍为1红3黄共4个球。需比较加入1个红球或1个黄球后，两次不放回摸球颜色相同的概率。
情况一：加入1个红球
此时袋中有2红3黄共5个球。
两球颜色相同的概率为$P(两红) + P(两黄)$。
$P(两红) = \frac{2}{5} × \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$；
$P(两黄) = \frac{3}{5} × \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$；
总概率为$\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。
情况二：加入1个黄球
此时袋中有1红4黄共5个球。
两球颜色相同的概率为$P(两红) + P(两黄)$。
$P(两红) = 0$（仅1个红球，无法两次摸到）；
$P(两黄) = \frac{4}{5} × \frac{3}{4} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$；
总概率为$0 + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$。
因为$\frac{3}{5} ＞ \frac{2}{5}$，所以应加入黄球。
(1)$\frac{1}{4}$
(2)应加入黄球。