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1. 如图，P为$\odot O$外一点，PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，CD切$\odot O$于点E，分别交PA、PB于点C、D。若$\triangle PCD$的周长为30，则PA的长为(
A.12
B.15
C.20
D.30
B
)A.12
B.15
C.20
D.30
答案
1. B
解析
证明：
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，
∴PA=PB。
∵CD切$\odot O$于点E，分别交PA、PB于点C、D，
∴CA=CE，DB=DE。
$\triangle PCD$的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA。
∵$\triangle PCD$的周长为30，
∴2PA=30，解得PA=15。
答案：B
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，
∴PA=PB。
∵CD切$\odot O$于点E，分别交PA、PB于点C、D，
∴CA=CE，DB=DE。
$\triangle PCD$的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA。
∵$\triangle PCD$的周长为30，
∴2PA=30，解得PA=15。
答案：B
2. (2024·泸州)如图，EA、ED是$\odot O$的切线，切点为A、D，点B、C在$\odot O$上。若$∠BAE+∠BCD=236^{\circ }$，则$∠E$的度数为(
A.$56^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$68^{\circ }$
D.$70^{\circ }$
C
)A.$56^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$68^{\circ }$
D.$70^{\circ }$
答案
2. C
解析
证明：连接OA、OD。
∵EA、ED是$\odot O$的切线，
∴OA⊥EA，OD⊥ED，
∴∠OAE=∠ODE=90°，
∴∠E+∠AOD=180°。
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠BAD。
∵∠BAE+∠BCD=236°，
∴∠BAE+180°-∠BAD=236°，
∴∠BAE-∠BAD=56°。
∵∠BAE=90°+∠OAB，∠BAD=∠OAD-∠OAB，且OA=OD，
∴∠OAB=∠OAD，
∴(90°+∠OAB)-(∠OAD-∠OAB)=56°，
解得∠OAB=28°，
∴∠BAD=28°+28°=56°，
∴∠AOD=2∠BAD=112°，
∴∠E=180°-112°=68°。
答案：C
∵EA、ED是$\odot O$的切线，
∴OA⊥EA，OD⊥ED，
∴∠OAE=∠ODE=90°，
∴∠E+∠AOD=180°。
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠BAD。
∵∠BAE+∠BCD=236°，
∴∠BAE+180°-∠BAD=236°，
∴∠BAE-∠BAD=56°。
∵∠BAE=90°+∠OAB，∠BAD=∠OAD-∠OAB，且OA=OD，
∴∠OAB=∠OAD，
∴(90°+∠OAB)-(∠OAD-∠OAB)=56°，
解得∠OAB=28°，
∴∠BAD=28°+28°=56°，
∴∠AOD=2∠BAD=112°，
∴∠E=180°-112°=68°。
答案：C
3. (2023·湘西改编)如图，AB为$\odot O$的直径，点P在AB的延长线上，PC、PD与$\odot O$相切，切点分别为C、D，连接AC、AD。若$AB=6$，$PB=2$，则切线PD的长为
4
。答案
3. 4
解析
解：连接OD。
∵AB为$\odot O$的直径，AB=6，
∴OD=OA=OB=3。
∵PB=2，
∴OP=OB+PB=3+2=5。
∵PD与$\odot O$相切于点D，
∴OD⊥PD，即∠ODP=90°。
在Rt△ODP中，由勾股定理得：
PD=$\sqrt{OP^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
故切线PD的长为4。
∵AB为$\odot O$的直径，AB=6，
∴OD=OA=OB=3。
∵PB=2，
∴OP=OB+PB=3+2=5。
∵PD与$\odot O$相切于点D，
∴OD⊥PD，即∠ODP=90°。
在Rt△ODP中，由勾股定理得：
PD=$\sqrt{OP^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
故切线PD的长为4。
4. (教材P74习题2.5第13题变式)如图，$\odot O$内切于四边形ABCD，$AB=10$，$BC=7$，$CD=8$，则AD的长为
11
。答案
4. 11
解析
解：
∵$\odot O$内切于四边形$ABCD$，
∴$AD + BC = AB + CD$。
∵$AB = 10$，$BC = 7$，$CD = 8$，
∴$AD + 7 = 10 + 8$，
解得$AD = 11$。
11
∵$\odot O$内切于四边形$ABCD$，
∴$AD + BC = AB + CD$。
∵$AB = 10$，$BC = 7$，$CD = 8$，
∴$AD + 7 = 10 + 8$，
解得$AD = 11$。
11
5. 如图，AB、BC、CD分别与$\odot O$相切于点E、F、G，连接OE、OF、OG，且$AB// CD$，$OB=6$，$OC=8$。
（1）判断$\triangle OBC$的形状，并证明你的结论；
（2）求$\odot O$的半径OF。
（1）判断$\triangle OBC$的形状，并证明你的结论；
（2）求$\odot O$的半径OF。
答案
5. (1) △OBC为直角三角形。
∵AB、BC分别是⊙O的切线，
∴BE = BF。又
∵OB = OB，OE = OF，
∴△BEO ≌ △BFO，
∴∠BOE = ∠BOF，即∠BOF = $\frac{1}{2}$∠EOF。同理，可得∠COF = $\frac{1}{2}$∠GOF。
∵∠EOF + ∠GOF = 180°，
∴∠BOF + ∠COF = 90°，即∠BOC = 90°，
∴△OBC为直角三角形。
(2)
∵在Rt△BOC中，OB = 6，OC = 8，
∴BC = $\sqrt{6^{2} + 8^{2}}$ = 10。
∵BC是⊙O的切线，
∴OF⊥BC。
∵$S_{\triangle BOC}$ = $\frac{1}{2}$OB·OC = $\frac{1}{2}$BC·OF，
∴OF = $\frac{OB·OC}{BC}$ = $\frac{24}{5}$。
∵AB、BC分别是⊙O的切线，
∴BE = BF。又
∵OB = OB，OE = OF，
∴△BEO ≌ △BFO，
∴∠BOE = ∠BOF，即∠BOF = $\frac{1}{2}$∠EOF。同理，可得∠COF = $\frac{1}{2}$∠GOF。
∵∠EOF + ∠GOF = 180°，
∴∠BOF + ∠COF = 90°，即∠BOC = 90°，
∴△OBC为直角三角形。
(2)
∵在Rt△BOC中，OB = 6，OC = 8，
∴BC = $\sqrt{6^{2} + 8^{2}}$ = 10。
∵BC是⊙O的切线，
∴OF⊥BC。
∵$S_{\triangle BOC}$ = $\frac{1}{2}$OB·OC = $\frac{1}{2}$BC·OF，
∴OF = $\frac{OB·OC}{BC}$ = $\frac{24}{5}$。
6. (整体思想)(2023·广州)如图，$\triangle ABC$的内切圆$\odot I$与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F。若$\odot I$的半径为r，$∠A=α$，则$BF+CE-BC$的值和$∠FDE$的度数分别为(
A.$2r$、$90^{\circ }-α$
B.$0$、$90^{\circ }-α$
C.$2r$、$90^{\circ }-\frac {1}{2}α$
D.$0$、$90^{\circ }-\frac {1}{2}α$
D
)A.$2r$、$90^{\circ }-α$
B.$0$、$90^{\circ }-α$
C.$2r$、$90^{\circ }-\frac {1}{2}α$
D.$0$、$90^{\circ }-\frac {1}{2}α$
答案
6. D
解析
解：设$\odot I$与$AB$、$BC$、$CA$分别相切于点$F$、$D$、$E$，则$BF = BD$，$CD = CE$。
$BF + CE - BC = BF + CE - (BD + CD) = BD + CE - BD - CD = 0$。
连接$IF$、$IE$，则$IF \perp AB$，$IE \perp AC$，$\angle IFA = \angle IEA = 90°$。
在四边形$AFIE$中，$\angle FIE = 180° - \angle A = 180° - \alpha$。
$\angle FDE = \frac{1}{2}\angle FIE = \frac{1}{2}(180° - \alpha) = 90° - \frac{1}{2}\alpha$。
答案：D
$BF + CE - BC = BF + CE - (BD + CD) = BD + CE - BD - CD = 0$。
连接$IF$、$IE$，则$IF \perp AB$，$IE \perp AC$，$\angle IFA = \angle IEA = 90°$。
在四边形$AFIE$中，$\angle FIE = 180° - \angle A = 180° - \alpha$。
$\angle FDE = \frac{1}{2}\angle FIE = \frac{1}{2}(180° - \alpha) = 90° - \frac{1}{2}\alpha$。
答案：D
