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如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD 于点 M,若 AB = 8,OM:OC = 3:5,则 AC 的长为______.
【点睛】思考问题不全面,出现漏解,弦 AB 既可能在圆心 O 的左侧,也可能在圆心 O 的右侧.
【点睛】思考问题不全面,出现漏解,弦 AB 既可能在圆心 O 的左侧,也可能在圆心 O 的右侧.
答案
$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$
1. 下列说法：①经过圆心的直线是圆的对称轴；②直径是圆的对称轴；③圆的对称轴有无数条；④当圆绕它的圆心旋转 180°时,仍会与原来的圆重合. 其中正确的有______.(填序号)
答案
①③④
2. (2024 长沙中考)在⊙O 中,弦 AB 的长为 8,圆心 O 到 AB 的距离为 4,则⊙O 的半径长为______.
答案
$4\sqrt{2}$
3. (2024 新疆中考)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为 E. 若 CD = 8,OD = 5,则 BE 的长为______.
答案
2
4. 如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足为 E,∠A = 15°,半径为 2,则弦 CD 的长为______.
答案
2
5. (教材 $ P_{90}T_9 $ 变式)如图,两个圆都以点 O 为圆心,大⊙O 的弦 AB 交小⊙O 于点 C,D.
(1) 求证：AC = BD；
(2) 若大、小圆的半径分别为 $ 3\sqrt{5} $ 和 5,CD = 8,求 AB 的长.
(1) 求证：AC = BD；
(2) 若大、小圆的半径分别为 $ 3\sqrt{5} $ 和 5,CD = 8,求 AB 的长.
答案
解：(1)过点$O$作$OE\perp AB$于点$E$，
$\therefore AE = BE$，$CE = DE$，
$\therefore AE - CE = BE - DE$，
$\therefore AC = BD$；
(2)连接$OC$，$OA$。
由(1)知$OE\perp AB$，
$\therefore CE=\frac{1}{2}CD = 4$，
$\therefore OE=\sqrt{OC^{2}-CE^{2}} = 3$。
$\therefore AE=\sqrt{OA^{2}-OE^{2}} = 6$，
$\therefore AB = 2AE = 12$。
$\therefore AE = BE$，$CE = DE$，
$\therefore AE - CE = BE - DE$，
$\therefore AC = BD$；
(2)连接$OC$，$OA$。
由(1)知$OE\perp AB$，
$\therefore CE=\frac{1}{2}CD = 4$，
$\therefore OE=\sqrt{OC^{2}-CE^{2}} = 3$。
$\therefore AE=\sqrt{OA^{2}-OE^{2}} = 6$，
$\therefore AB = 2AE = 12$。
6. 如图,⊙O 是一个盛有水的容器的横截面,⊙O 的半径为 10 cm,水的最深处到水面 AB 的距离为 4 cm,则水面 AB 的宽度为______cm.
答案
16
7. (教材 $ P_{82} $ 例 2 变式)赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为 37 m,拱高约为 7 m,则赵州桥主桥拱半径 R 约为______m.(保留整数)
答案
28
