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9.跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，其中蕴含的数学基本事实是
.
两点确定一条直线
.
答案
9. 两点确定一条直线
解析
【分析】
解题时需先将生活场景转化为数学模型：可把跳高横杆看作一条直线，两个固定支点对应平面内两个不同的点。题目中“两个支点即可固定横杆”，本质是两个点能够确定唯一的一条直线，结合所学直线相关的基本事实就能得出答案。
【解析】
第一步：将实际物品抽象为几何元素：跳高横杆可对应一条直线，两个固定支点对应平面内两个不同的点；
第二步：结合直线的基本性质：平面内经过两点有且只有一条直线，也就是两点确定一条直线，因此两个支点就能固定住横杆，对应数学基本事实为两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
直线的基本性质
实际问题数学转化
【点评】
本题是几何基本事实在生活中的典型应用，解题的关键是将生活中的实际物体抽象为对应的几何元素，能够帮助大家体会数学与生活的紧密联系，强化对基础几何性质的理解与应用意识。
【难度系数】
0.9
解题时需先将生活场景转化为数学模型：可把跳高横杆看作一条直线，两个固定支点对应平面内两个不同的点。题目中“两个支点即可固定横杆”，本质是两个点能够确定唯一的一条直线，结合所学直线相关的基本事实就能得出答案。
【解析】
第一步：将实际物品抽象为几何元素：跳高横杆可对应一条直线，两个固定支点对应平面内两个不同的点；
第二步：结合直线的基本性质：平面内经过两点有且只有一条直线，也就是两点确定一条直线，因此两个支点就能固定住横杆，对应数学基本事实为两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
直线的基本性质
实际问题数学转化
【点评】
本题是几何基本事实在生活中的典型应用，解题的关键是将生活中的实际物体抽象为对应的几何元素，能够帮助大家体会数学与生活的紧密联系，强化对基础几何性质的理解与应用意识。
【难度系数】
0.9
10.如图，直线$ l $上依次有三个点$ A $，$ B $，$ C $.
(1)直线$ l $上共有多少条射线？共有多少条线段？
(2)如果直线$ l $上共有$ n $个点，则共有多少条射线？共有多少条线段？
(1)直线$ l $上共有多少条射线？共有多少条线段？
(2)如果直线$ l $上共有$ n $个点，则共有多少条射线？共有多少条线段？
答案
10. 解:(1)以 A,B,C 为端点的射线各有 2 条，因而共有 6 条射线.线段有 AB,AC,BC,因而共有 3条线段.
(2)由(1)可得共有 2n 条射线，共有$\frac{1}{2}n(n-1)$条线段.
(2)由(1)可得共有 2n 条射线，共有$\frac{1}{2}n(n-1)$条线段.
解析
【分析】
解决本题首先要明确射线、线段的定义：射线有1个端点，可向一端无限延伸；线段有2个端点，不可延伸。第(1)问先算射线数量：直线上每个点可向左右两个方向各引出1条射线，因此每个点对应2条射线，代入3个点就能算出总射线数；再算线段数量：按顺序枚举两两端点组成的线段，避免重复遗漏即可。第(2)问将3个点的规律推广到n个点：射线数量直接按每个点对应2条推导；线段数量可理解为每个点和其余点组合成线段，去掉重复计算的部分就能得到通用公式。
【解析】
解：(1) 根据射线的定义，直线上的每个点都能向左、向右各引出1条射线，因此以A、B、C为端点的射线各有2条，总射线数为$3×2=6$条；
线段有两个端点，按顺序枚举：以A为左端点的线段有AB、AC，以B为左端点的线段有BC，共$2+1=3$条线段。
(2) 推广到n个点的情况：每个点仍可引出2条射线，因此总射线数为$2n$条；
对于线段，每个点可与其余$(n-1)$个点组成线段，此时每条线段会被计算2次（如线段AB会被点A、点B各计算一次），因此总线段数为$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)$条。
【答案】
(1) 共有6条射线，3条线段；
(2) 共有$2n$条射线，共有$\frac{1}{2}n(n-1)$条线段。
【知识点】
射线与线段的定义，图形计数，规律探究
【点评】
本题是直线、射线、线段相关的基础题，解题关键是准确把握射线和线段的特征，计数时做到不重不漏，同时掌握从特殊个例推导一般规律的思维方法。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确射线、线段的定义：射线有1个端点，可向一端无限延伸；线段有2个端点，不可延伸。第(1)问先算射线数量：直线上每个点可向左右两个方向各引出1条射线，因此每个点对应2条射线，代入3个点就能算出总射线数；再算线段数量：按顺序枚举两两端点组成的线段，避免重复遗漏即可。第(2)问将3个点的规律推广到n个点：射线数量直接按每个点对应2条推导；线段数量可理解为每个点和其余点组合成线段，去掉重复计算的部分就能得到通用公式。
【解析】
解：(1) 根据射线的定义，直线上的每个点都能向左、向右各引出1条射线，因此以A、B、C为端点的射线各有2条，总射线数为$3×2=6$条；
线段有两个端点，按顺序枚举：以A为左端点的线段有AB、AC，以B为左端点的线段有BC，共$2+1=3$条线段。
(2) 推广到n个点的情况：每个点仍可引出2条射线，因此总射线数为$2n$条；
对于线段，每个点可与其余$(n-1)$个点组成线段，此时每条线段会被计算2次（如线段AB会被点A、点B各计算一次），因此总线段数为$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)$条。
【答案】
(1) 共有6条射线，3条线段；
(2) 共有$2n$条射线，共有$\frac{1}{2}n(n-1)$条线段。
【知识点】
射线与线段的定义，图形计数，规律探究
【点评】
本题是直线、射线、线段相关的基础题，解题关键是准确把握射线和线段的特征，计数时做到不重不漏，同时掌握从特殊个例推导一般规律的思维方法。
【难度系数】
0.8
11.如图，往返于甲、乙两地的火车，中途有三个站，其中每两站的票价不同.
(1)要有多少种不同的票价？
(2)要准备多少种车票？
(1)要有多少种不同的票价？
(2)要准备多少种车票？
答案
11. 解:根据线段的定义,可知图中线段有 AC,AD,AE,AB,CD,CE,CB,DE,DB,EB,共 10 条.
(1)要有 10 种不同的票价.
(2)因车票需要考虑方向性,如“A→C”与“C→A”票价相同,但方向不同,故需要准备 20 种车票.
(1)要有 10 种不同的票价.
(2)因车票需要考虑方向性,如“A→C”与“C→A”票价相同,但方向不同,故需要准备 20 种车票.
解析
【分析】
解决本题的核心是将实际问题转化为线段计数的数学问题：把5个站点看作线段的5个端点。①不同的票价对应不同的线段，因为两个站点之间往返的票价一致，所以不同线段的数量就是不同票价的数量；②车票需要考虑方向性，同一段线段往返对应两种不同的车票，因此车票总数是线段总数的2倍。解题时先数出所有不重复的线段，再分别计算两问的结果即可。
【解析】
首先统计图中所有不重复的线段：
以A为左端点的线段：AC、AD、AE、AB，共4条；
以C为左端点的线段：CD、CE、CB，共3条；
以D为左端点的线段：DE、DB，共2条；
以E为左端点的线段：EB，共1条；
总线段数：$4+3+2+1=10$条。
(1) 由于两个站点之间往返票价相同，不同的线段对应不同的票价，因此不同票价的数量等于线段总数，为10种。
(2) 车票需要考虑方向性，如“A→C”和“C→A”是两种不同的车票，因此车票总数是线段总数的2倍，即$10×2=20$种。
【答案】
(1)10种；(2)20种
【知识点】
线段的计数、实际问题建模
【点评】
本题是线段计数的实际应用类题目，解题的关键是明确票价和车票的区别：票价仅与两站的相对位置有关，无需考虑方向；车票需要区分出发站和到达站，具有方向性，计数时不要混淆两者的差异。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是将实际问题转化为线段计数的数学问题：把5个站点看作线段的5个端点。①不同的票价对应不同的线段，因为两个站点之间往返的票价一致，所以不同线段的数量就是不同票价的数量；②车票需要考虑方向性，同一段线段往返对应两种不同的车票，因此车票总数是线段总数的2倍。解题时先数出所有不重复的线段，再分别计算两问的结果即可。
【解析】
首先统计图中所有不重复的线段：
以A为左端点的线段：AC、AD、AE、AB，共4条；
以C为左端点的线段：CD、CE、CB，共3条；
以D为左端点的线段：DE、DB，共2条；
以E为左端点的线段：EB，共1条；
总线段数：$4+3+2+1=10$条。
(1) 由于两个站点之间往返票价相同，不同的线段对应不同的票价，因此不同票价的数量等于线段总数，为10种。
(2) 车票需要考虑方向性，如“A→C”和“C→A”是两种不同的车票，因此车票总数是线段总数的2倍，即$10×2=20$种。
【答案】
(1)10种；(2)20种
【知识点】
线段的计数、实际问题建模
【点评】
本题是线段计数的实际应用类题目，解题的关键是明确票价和车票的区别：票价仅与两站的相对位置有关，无需考虑方向；车票需要区分出发站和到达站，具有方向性，计数时不要混淆两者的差异。
【难度系数】
0.8
12.如图,已知每过两点可以画一条直线.
(1)【试验观察】
①图1最多可以画
②图2最多可以画
③图3最多可以画
(2)【探索归纳】
如果平面上有$n(n≥3)$个点,且任意3个点均不在一条直线上,那么最多可以画
(3)【拓展应用】
某班45名同学在毕业后的一次聚会中互相握手问好,如果每两人握1次手问好,那么共握了
(1)【试验观察】
①图1最多可以画
3
条直线；②图2最多可以画
6
条直线；③图3最多可以画
10
条直线.(2)【探索归纳】
如果平面上有$n(n≥3)$个点,且任意3个点均不在一条直线上,那么最多可以画
$\frac{n(n-1)}{2}$
条直线(用含n的式子表示).(3)【拓展应用】
某班45名同学在毕业后的一次聚会中互相握手问好,如果每两人握1次手问好,那么共握了
990
次手；最后,45名同学互赠手工卡片,那么总共需要1 980
张卡片.答案
12. (1)① 3 ② 6 ③ 10
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$
(3) 990 1 980
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$
(3) 990 1 980
解析
【分析】
解题时首先明确“两点确定一条直线”，且当任意3个点不在同一直线上时，所有两点连线都不重复。①计算固定点数的最多直线数时，可先考虑每个点能和其余所有点各连1条直线，此时每条直线会被两个端点各计算1次，因此总数量要除以2去掉重复计数；②归纳n个点的情况时，将固定点数替换为n即可推导通用公式；③拓展应用中，握手问题和两点连直线逻辑一致，属于无顺序的计数，用通用公式计算；互赠卡片是有顺序的计数，你赠我和我赠你是两张不同的卡片，不需要除以2，直接计算即可。
【解析】
(1) ①图1共有3个点，最多可画直线：$\frac{3×(3-1)}{2}=3$条；
②图2共有4个点，最多可画直线：$\frac{4×(4-1)}{2}=6$条；
③图3共有5个点，最多可画直线：$\frac{5×(5-1)}{2}=10$条；
(2) 平面上有$n(n≥3)$个点，每个点可与剩余$(n-1)$个点各连1条直线，共得到$n(n-1)$条，因每条直线被重复计算1次，故最多可画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线；
(3) 握手问题等价于两点连直线的无顺序计数，代入$n=45$，总握手次数为$\frac{45×(45-1)}{2}=990$次；
互赠卡片是有顺序的计数，每两人之间需要2张卡片，总卡片数为$45×(45-1)=1980$张。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{3}$；②$\boldsymbol{6}$；③$\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$
(3) $\boldsymbol{990}$；$\boldsymbol{1980}$
【知识点】
两点确定一条直线；规律归纳；计数应用
【点评】
本题从基础的直线计数出发，由特殊到一般归纳通用规律，再结合实际场景考察知识迁移能力，需要注意区分有顺序和无顺序的两类计数问题，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确“两点确定一条直线”，且当任意3个点不在同一直线上时，所有两点连线都不重复。①计算固定点数的最多直线数时，可先考虑每个点能和其余所有点各连1条直线，此时每条直线会被两个端点各计算1次，因此总数量要除以2去掉重复计数；②归纳n个点的情况时，将固定点数替换为n即可推导通用公式；③拓展应用中，握手问题和两点连直线逻辑一致，属于无顺序的计数，用通用公式计算；互赠卡片是有顺序的计数，你赠我和我赠你是两张不同的卡片，不需要除以2，直接计算即可。
【解析】
(1) ①图1共有3个点，最多可画直线：$\frac{3×(3-1)}{2}=3$条；
②图2共有4个点，最多可画直线：$\frac{4×(4-1)}{2}=6$条；
③图3共有5个点，最多可画直线：$\frac{5×(5-1)}{2}=10$条；
(2) 平面上有$n(n≥3)$个点，每个点可与剩余$(n-1)$个点各连1条直线，共得到$n(n-1)$条，因每条直线被重复计算1次，故最多可画$\frac{n(n-1)}{2}$条直线；
(3) 握手问题等价于两点连直线的无顺序计数，代入$n=45$，总握手次数为$\frac{45×(45-1)}{2}=990$次；
互赠卡片是有顺序的计数，每两人之间需要2张卡片，总卡片数为$45×(45-1)=1980$张。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{3}$；②$\boldsymbol{6}$；③$\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$
(3) $\boldsymbol{990}$；$\boldsymbol{1980}$
【知识点】
两点确定一条直线；规律归纳；计数应用
【点评】
本题从基础的直线计数出发，由特殊到一般归纳通用规律，再结合实际场景考察知识迁移能力，需要注意区分有顺序和无顺序的两类计数问题，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
