4. 如果关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2x - m}{x + 1}=1$ 的解是负数，那么实数 $ m $ 的取值范围是().

A.$ m ＜ -1 $
B.$ m ＞ -1 $，且 $ m ≠ 0 $
C.$ m ＞ -1 $
D.$ m ＜ -1 $，且 $ m ≠ -2 $

4. D 解析 方程两边乘$(x+1)$,得
$2x-m=x+1.$
解得 $x=m+1.$
因为原分式方程的解是负数，
所以 $m+1＜0$,且 $m+1+1≠0$,
所以 $m＜-1$,且 $m≠-2$,故选 D.

【分析】
解决这道题可按三步思路推导：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x的解；第二步，结合“方程的解是负数”的条件，列出关于m的不等式求出初步范围；第三步，注意分式方程的分母不能为0，否则解为增根不成立，需要额外排除使分母为0的m的取值，最后综合两个限制条件得到m的最终取值范围。
【解析】
解：方程两边同乘最简公分母$(x+1)$，去分母得：
$2x - m = x + 1$
移项合并同类项，解得：$x = m + 1$
∵原分式方程的解是负数
∴$x ＜ 0$，即$m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -1$
又
∵分式分母不能为0，即$x + 1 ≠ 0$，$x ≠ -1$
∴$m + 1 ≠ -1$，解得$m ≠ -2$
综上，实数$m$的取值范围是$m ＜ -1$，且$m ≠ -2$，故选D。
【答案】D
【知识点】
解分式方程；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程解的取值范围类的典型考题，易错点是容易忽略分式分母不为0的限制，遗漏增根的情况导致错选，求解这类问题时一定要注意对求出的解进行检验，排除使原方程无意义的参数取值。
【难度系数】
0.6

5. 已知分式方程$\frac{▲}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚.
（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解.
（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数.

5. 解 (1)$\frac{6}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$,
方程两边乘$(x-3)$,得
$6-(x-1)=x-3.$
解得 $x=5.$
检验:当 $x=5$ 时,$x-3≠0$,
所以,原分式方程的解为 $x=5.$
(2)设$▲=m$,$\frac{m}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$,
方程两边乘$(x-3)$,得
$m-(x-1)=x-3.$
解得 $x=\frac{m}{2}+2.$
因为原分式方程无解,所以 $x-3=0$,
即 $x=3$,所以$\frac{m}{2}+2=3.$
解得 $m=2.$
所以,原分式方程中“▲”代表的数为 2.

【分析】
（1）当▲为6时，属于常规分式方程求解问题，首先将第二个分式的分母$3-x$变形为$-(x-3)$，确定最简公分母为$(x-3)$，给方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后检验所得解是否使原分母不为0，即可得到分式方程的解。
（2）分式方程无解的核心原因是去分母后得到的整式方程的解是原分式方程的增根，也就是令原分式分母为0的$x$值，本题中原分母为$x-3$，因此增根为$x=3$。先设▲代表的数为$m$，同样去分母得到含$m$的整式方程，用含$m$的式子表示$x$，再将增根$x=3$代入表达式，即可求出$m$的值。
【解析】
（1）把▲=6代入原方程得：$\frac{6}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$
方程两边同时乘$(x-3)$，得：
$6-(x-1)=x-3$
去括号得$6-x+1=x-3$，移项合并同类项得$-2x=-10$
解得 $x=5$
检验：当 $x=5$ 时，$x-3=2≠0$，因此$x=5$是原分式方程的解。
（2）设“▲”代表的数为$m$，则原方程为$\frac{m}{x-3}+\frac{x-1}{3-x}=1$
方程两边同时乘$(x-3)$，得：
$m-(x-1)=x-3$
整理得$2x=m+4$，即$x=\frac{m}{2}+2$
∵原分式方程无解，说明解为增根，即$x-3=0$，得$x=3$
将$x=3$代入$x=\frac{m}{2}+2$，得$\frac{m}{2}+2=3$
解得 $m=2$
即原分式方程中“▲”代表的数为2。
【答案】
（1）$x=5$；（2）2
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的增根，分式方程无解判定
【点评】
本题是分式方程的典型常考题，既考查了分式方程的基本求解流程，也考查了分式方程无解的内在逻辑，解题时要牢记解分式方程必须检验，处理无解问题时抓住增根的特征代入计算即可，考查形式灵活但难度不大。
【难度系数】
0.7

6. 已知关于$x$的分式方程$\frac{x-2}{x+2} - \frac{mx}{x^2 -4}=1$无解，求所有满足条件的整数$m$的值。

6. 解 方程两边乘$(x+2)(x-2)$,得
$(x-2)^2 -mx=(x+2)(x-2).$
解得 $x=\frac{8}{m+4}.$
因为关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x-2}{x+2}-\frac{mx}{x^2-4}=1$ 无解，
所以 $m+4=0$ 或$(x+2)(x-2)=0$,
所以 $m=-4$ 或$\frac{8}{m+4}=±2$,
即 $m=-4$ 或 $m=0$ 或 $m=-8$,所以,所有满足条件的整数 $m$ 的值为 $-4$ 或$-8$ 或 $0.$

【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的根）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论计算参数m的值即可。
【解析】
首先对原方程去分母，方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$(x-2)^2 - mx = (x+2)(x-2)$
展开并整理等式：
左边为$x^2 -4x +4 - mx$，右边为$x^2 -4$，两边消去$x^2$后移项合并同类项得：$(m+4)x = 8$
当$m+4 ≠ 0$时，解得$x = \frac{8}{m+4}$
因为原分式方程无解，分两种情况讨论：
1. 整式方程无解：即$m+4=0$，此时$0 · x =8$，方程无实根，解得$m=-4$；
2. 整式方程的解是原分式方程的增根：增根满足最简公分母$(x+2)(x-2)=0$，即$x=2$或$x=-2$
当$x=2$时，代入$x = \frac{8}{m+4}$得$\frac{8}{m+4}=2$，解得$m=0$；
当$x=-2$时，代入$x = \frac{8}{m+4}$得$\frac{8}{m+4}=-2$，解得$m=-8$。
【答案】
$-4$，$-8$，$0$
【知识点】
分式方程无解的判定、分式方程的增根、解一元一次方程
【点评】
本题重点考查分式方程无解的分类讨论思路，解题时需注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，同时要找准所有可能的增根代入计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6

7.阅读材料:关于$x$的分式方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{1}{c}$；
$x-\frac{1}{x}=c-\frac{1}{c}$(即$x+\frac{-1}{x}=c+\frac{-1}{c}$)的解是$x_1=c,x_2=-\frac{1}{c}$；
$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$；
$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{3}{c}$；
……
(1)请观察上述方程与解的特征,猜想关于$x$的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解是什么?并利用“方程的解”的概念进行验证.
(2)根据以上的规律方法解关于$x$的方程:$x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$

解 (1)关于 $x$ 的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}$
$(m≠0)$的解为 $x_1=c$,$x_2=\frac{m}{c}.$
验证:把 $x=c$ 代入方程,得左边$=c+\frac{m}{c}$,右边$=c+\frac{m}{c}$,即左边=右边,符合题意；
把 $x=\frac{m}{c}$ 代入方程,得左边$=\frac{m}{c}+\frac{m}{\frac{m}{c}}=c+\frac{m}{c}=$右边,即左边=右边,符合题意.
(2)$\because x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$,
$\therefore x-1+\frac{2}{x-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$,
$\therefore x-1+\frac{2}{x-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$的解为
$x_1-1=a-1$,$x_2-1=\frac{2}{a-1}$,
$\therefore x_1=a$,$x_2=\frac{a+1}{a-1}($或 $1+\frac{2}{a-1}).$

【分析】
（1）观察给出的分式方程及其解的共同特征：方程左边为x加常数m与x的商，右边为常数c加相同常数m与c的商，对应解一个等于c，另一个等于m/c，据此可猜想方程的解；验证时只需将两个解分别代入方程左右两边，判断两边是否相等即可。
（2）待解方程与已知规律的形式不匹配，先对原方程变形：左右两边同时减1，将x-1看作整体，原方程转化为符合规律的标准形式，再套用第一问的规律求解，最后化简得到x的解即可。
【解析】
(1) 猜想：关于$x$的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解为$x_1=c$，$x_2=\frac{m}{c}$。
验证：
①将$x=c$代入方程，左边$=c+\frac{m}{c}$，右边$=c+\frac{m}{c}$，左边=右边，故$x=c$是方程的解；
②将$x=\frac{m}{c}$代入方程，左边$=\frac{m}{c}+\frac{m}{\frac{m}{c}}=\frac{m}{c}+c$，右边$=c+\frac{m}{c}$，左边=右边，故$x=\frac{m}{c}$是方程的解。
(2) 对原方程$x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$变形：
方程左右两边同时减1，可得：
$x-1+\frac{2}{x-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$
将$x-1$看作整体，对应(1)的规律（此时$m=2$，类比规律中的$c$为$a-1$），可得：
$x-1=a-1$ 或 $x-1=\frac{2}{a-1}$
分别求解：
解$x-1=a-1$，得$x_1=a$；
解$x-1=\frac{2}{a-1}$，得$x_2=1+\frac{2}{a-1}=\frac{a+1}{a-1}$。
经检验，$x_1=a$、$x_2=\frac{a+1}{a-1}$均为原分式方程的解。
【答案】
(1) 解为$\boldsymbol{x_1=c,x_2=\frac{m}{c}}$，验证成立；
(2) 方程的解为$\boldsymbol{x_1=a,x_2=\frac{a+1}{a-1}}$
【知识点】
分式方程解的验证；规律探究；整体思想解方程
【点评】
本题是规律应用类分式方程题，核心是先从已知材料中归纳通用规律，再通过变形将待解方程转化为符合规律的结构，套用规律即可快速求解，解题时要注意整体代换思想的运用，最后需确认解不会使原方程分母为0。
【难度系数】
0.7